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1. 如图,伸缩门的原理是 （
A.三角形的稳定性
B.四边形的不稳定性
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
B
）A.三角形的稳定性
B.四边形的不稳定性
C.两点之间线段最短
D.两点确定一条直线
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆四个选项对应的几何性质的适用场景：三角形的稳定性多用于需要结构稳固的场景，四边形的不稳定性适用于需要结构可变形的场景，两点之间线段最短用于解决最短路径相关问题，两点确定一条直线用于确定直线位置的场景。接下来观察伸缩门的特点：它需要实现自由伸缩变形，结构由多个可活动的四边形组成，刚好符合四边形不稳定性的特征，由此可对应到正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形的稳定性指三角形结构固定后不易发生形变，多用于需要稳固的结构中，不符合伸缩门可伸缩变形的特点，故A错误；
B. 四边形不具有稳定性，容易发生形状改变，伸缩门的主体由多个平行四边形（属于四边形）结构铰接组成，正是利用四边形易形变的特点实现伸缩功能，故B正确；
C. 两点之间线段最短是描述路径长度的原理，和伸缩门的伸缩原理无关，故C错误；
D. 两点确定一条直线多用于确定直线位置的场景（如砌墙拉定位线），和本题无关，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
四边形的不稳定性、三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在生活中的实际应用问题，要求学生能够区分不同几何原理的适用场景，结合生活常识即可快速判断。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆四个选项对应的几何性质的适用场景：三角形的稳定性多用于需要结构稳固的场景，四边形的不稳定性适用于需要结构可变形的场景，两点之间线段最短用于解决最短路径相关问题，两点确定一条直线用于确定直线位置的场景。接下来观察伸缩门的特点：它需要实现自由伸缩变形，结构由多个可活动的四边形组成，刚好符合四边形不稳定性的特征，由此可对应到正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形的稳定性指三角形结构固定后不易发生形变，多用于需要稳固的结构中，不符合伸缩门可伸缩变形的特点，故A错误；
B. 四边形不具有稳定性，容易发生形状改变，伸缩门的主体由多个平行四边形（属于四边形）结构铰接组成，正是利用四边形易形变的特点实现伸缩功能，故B正确；
C. 两点之间线段最短是描述路径长度的原理，和伸缩门的伸缩原理无关，故C错误；
D. 两点确定一条直线多用于确定直线位置的场景（如砌墙拉定位线），和本题无关，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
四边形的不稳定性、三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在生活中的实际应用问题，要求学生能够区分不同几何原理的适用场景，结合生活常识即可快速判断。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$△ ABC$ 的高 $CD$，$BE$ 相交于点 $O$. 如果 $∠ A = 55°$，那么 $∠ BOC$ 的大小为（
A.$125°$
B.$135°$
C.$105°$
D.$145°$
A
）A.$125°$
B.$135°$
C.$105°$
D.$145°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先看到题目给出CD、BE是△ABC的高，可直接得到两个90°的直角；要求∠BOC的度数，我们可以先求它的对顶角∠DOE的度数，∠DOE在四边形ADOE中，已知四边形内角和为360°，再结合已知的∠A=55°，就能算出∠DOE，再利用对顶角相等得到∠BOC的度数。也可以利用三角形外角的性质求解，先求△ABE中∠ABE的度数，再把∠BOC看作△BDO的外角计算即可。
【解析】
解：
∵CD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC = ∠AEB = 90°，
∵四边形ADOE的内角和为360°，且∠A = 55°，
∴∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵∠BOC与∠DOE是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠BOC = ∠DOE = 125°。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是结合高的性质得到直角，再灵活运用内角和公式、对顶角的性质求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先看到题目给出CD、BE是△ABC的高，可直接得到两个90°的直角；要求∠BOC的度数，我们可以先求它的对顶角∠DOE的度数，∠DOE在四边形ADOE中，已知四边形内角和为360°，再结合已知的∠A=55°，就能算出∠DOE，再利用对顶角相等得到∠BOC的度数。也可以利用三角形外角的性质求解，先求△ABE中∠ABE的度数，再把∠BOC看作△BDO的外角计算即可。
【解析】
解：
∵CD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC = ∠AEB = 90°，
∵四边形ADOE的内角和为360°，且∠A = 55°，
∴∠DOE = 360° - ∠A - ∠ADC - ∠AEB = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵∠BOC与∠DOE是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠BOC = ∠DOE = 125°。
【答案】
A
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是结合高的性质得到直角，再灵活运用内角和公式、对顶角的性质求解。
【难度系数】
0.8
3. 若一个多边形的外角和等于 $ 360° $，则它一定是（
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.无法确定
D
）A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.无法确定
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和均为固定值360°，与边数多少无关。已知条件仅给出多边形外角和等于360°，符合所有多边形的特征，因此无法直接判定它的边数，对应选无法确定的选项即可。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意n边形（n≥3，n为正整数）的外角和恒为360°，和多边形的边数没有关系。也就是说三角形、四边形、五边形等所有多边形的外角和都是360°，因此仅通过外角和等于360°这一条件，无法确定该多边形的具体边数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题是基础易错题，核心考查对多边形外角和性质的掌握，注意不要将外角和与随边数变化的内角和混淆，牢记所有多边形的外角和都是固定的360°，避免误以为只有四边形外角和为360°的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和均为固定值360°，与边数多少无关。已知条件仅给出多边形外角和等于360°，符合所有多边形的特征，因此无法直接判定它的边数，对应选无法确定的选项即可。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意n边形（n≥3，n为正整数）的外角和恒为360°，和多边形的边数没有关系。也就是说三角形、四边形、五边形等所有多边形的外角和都是360°，因此仅通过外角和等于360°这一条件，无法确定该多边形的具体边数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题是基础易错题，核心考查对多边形外角和性质的掌握，注意不要将外角和与随边数变化的内角和混淆，牢记所有多边形的外角和都是固定的360°，避免误以为只有四边形外角和为360°的错误。
【难度系数】
0.7
4. 将一个三角形按如图所示的方式剪去一个$45°$的内角,剩下图形的内角和是________.
答案
4. 360°
解析
【分析】
解题时首先判断剪切后剩余图形的形状：图中的剪切方式是从三角形的两条边上截剪，不是沿顶点到对边裁剪，因此剪去一个45°内角后，原三角形会多出1条边，剩余图形为四边形。接下来回忆多边形内角和计算公式，将四边形的边数代入公式即可算出内角和。
【解析】
1. 判断剩余图形形状：三角形按图示方式剪去一个内角后，得到的图形是四边形，边数$n=4$。
2. 代入多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且$n$为整数），把$n=4$代入得：
$(4-2)×180°=2×180°=360°$
【答案】
$\boxed{360°}$
【知识点】
多边形内角和计算、图形剪切的边数变化
【点评】
本题的易错点是误判剪完后的图形仍为三角形，错用三角形内角和计算。只要准确判断出剪后得到的是四边形，代入多边形内角和公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先判断剪切后剩余图形的形状：图中的剪切方式是从三角形的两条边上截剪，不是沿顶点到对边裁剪，因此剪去一个45°内角后，原三角形会多出1条边，剩余图形为四边形。接下来回忆多边形内角和计算公式，将四边形的边数代入公式即可算出内角和。
【解析】
1. 判断剩余图形形状：三角形按图示方式剪去一个内角后，得到的图形是四边形，边数$n=4$。
2. 代入多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且$n$为整数），把$n=4$代入得：
$(4-2)×180°=2×180°=360°$
【答案】
$\boxed{360°}$
【知识点】
多边形内角和计算、图形剪切的边数变化
【点评】
本题的易错点是误判剪完后的图形仍为三角形，错用三角形内角和计算。只要准确判断出剪后得到的是四边形，代入多边形内角和公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，小明从O点出发，前进30 m后向右转20°，再前进30 m后又向右转20°……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了
540
m.答案
5. 540
解析
【分析】
首先分析小明的行走规律：每次前进的路程相等，每次右转的角度相同，回到出发点时行走的轨迹是正多边形，其中每次右转的20°就是该正多边形的外角度数。我们知道任意多边形的外角和都是360°，因此可以先通过外角和算出正多边形的边数，再用边数乘每次走的路程就能得到总路程。
【解析】
解：
∵小明每次沿直线前进30m后右转20°，最终回到出发点O，
∴他行走的轨迹是正多边形，该正多边形的每个外角均为20°。
∵任意多边形的外角和为360°，
∴该正多边形的边数$ n = 360° ÷ 20° = 18 $。
∴他第一次回到出发点时走的总路程为 $ 18 × 30 = 540 \, \mathrm{m} $。
【答案】
540
【知识点】
多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题是生活实际与几何知识结合的典型题，解题的关键是将行走路径转化为正多边形模型，明确每次转过的角度对应正多边形的外角，再结合多边形外角和为固定值360°即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先分析小明的行走规律：每次前进的路程相等，每次右转的角度相同，回到出发点时行走的轨迹是正多边形，其中每次右转的20°就是该正多边形的外角度数。我们知道任意多边形的外角和都是360°，因此可以先通过外角和算出正多边形的边数，再用边数乘每次走的路程就能得到总路程。
【解析】
解：
∵小明每次沿直线前进30m后右转20°，最终回到出发点O，
∴他行走的轨迹是正多边形，该正多边形的每个外角均为20°。
∵任意多边形的外角和为360°，
∴该正多边形的边数$ n = 360° ÷ 20° = 18 $。
∴他第一次回到出发点时走的总路程为 $ 18 × 30 = 540 \, \mathrm{m} $。
【答案】
540
【知识点】
多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题是生活实际与几何知识结合的典型题，解题的关键是将行走路径转化为正多边形模型，明确每次转过的角度对应正多边形的外角，再结合多边形外角和为固定值360°即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.若从n边形的一个顶点出发,最多可以作6条对角线,则n边形的内角和是
1 260°
.答案
6. 1 260°
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步先求出多边形的边数n，我们知道从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，能和其余所有顶点连对角线，所以可引出的对角线条数为(n-3)条，题目给出最多引6条对角线，据此列等式就能算出n的值；第二步再代入n边形内角和公式，就能算出对应的内角和。
【解析】
第一步：求多边形的边数n
从n边形的一个顶点出发，最多可作的对角线条数为(n-3)条，根据题意列方程：
$n - 3 = 6$
解得：$n = 9$，即这个多边形是九边形。
第二步：计算九边形的内角和
n边形内角和公式为：$(n - 2)×180°$
将$n=9$代入公式得：
$(9 - 2)×180° = 7×180° = 1260°$
【答案】
$1260°$
【知识点】
1.多边形对角线计数规律
2.多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形相关性质的基础应用题，解题核心是先根据对角线的条数确定多边形的边数，再代入内角和公式计算，只要熟练掌握相关基础公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步思考：第一步先求出多边形的边数n，我们知道从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，能和其余所有顶点连对角线，所以可引出的对角线条数为(n-3)条，题目给出最多引6条对角线，据此列等式就能算出n的值；第二步再代入n边形内角和公式，就能算出对应的内角和。
【解析】
第一步：求多边形的边数n
从n边形的一个顶点出发，最多可作的对角线条数为(n-3)条，根据题意列方程：
$n - 3 = 6$
解得：$n = 9$，即这个多边形是九边形。
第二步：计算九边形的内角和
n边形内角和公式为：$(n - 2)×180°$
将$n=9$代入公式得：
$(9 - 2)×180° = 7×180° = 1260°$
【答案】
$1260°$
【知识点】
1.多边形对角线计数规律
2.多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形相关性质的基础应用题，解题核心是先根据对角线的条数确定多边形的边数，再代入内角和公式计算，只要熟练掌握相关基础公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图,已知正六边形 $ABCDEF$ 和正方形 $ABGH$,求$∠ BCG$ 的度数.
答案
7. 解:$∠BCG$ 的度数为 $15°$.
解析
【分析】
要求∠BCG的度数，首先观察到正六边形和正方形有公共边AB，可得正六边形的边BC与正方形的边BG长度相等，即△BCG为等腰三角形，只需先求出等腰三角形的顶角∠CBG的度数，再结合三角形内角和定理即可求出底角∠BCG的度数。解题步骤依次为：1.计算正六边形的内角度数；2.结合周角性质计算∠CBG的度数；3.利用等腰三角形性质计算∠BCG。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB=BC，正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABC=120°$
∵四边形ABGH是正方形
∴AB=BG，$∠ ABG=90°$
∴BC=BG，即△BCG是等腰三角形，$∠ BCG=∠ BGC$
∵围绕点B的周角为$360°$
∴$∠ CBG=360°-∠ ABC-∠ ABG=360°-120°-90°=150°$
在△BCG中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BCG=\frac{180°-∠ CBG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是常见的多边形结合的几何计算题，解题核心是抓住正六边形和正方形公共边带来的边相等关系，推导得到等腰三角形，再结合周角、三角形内角和的性质求解，能够很好地考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠BCG的度数，首先观察到正六边形和正方形有公共边AB，可得正六边形的边BC与正方形的边BG长度相等，即△BCG为等腰三角形，只需先求出等腰三角形的顶角∠CBG的度数，再结合三角形内角和定理即可求出底角∠BCG的度数。解题步骤依次为：1.计算正六边形的内角度数；2.结合周角性质计算∠CBG的度数；3.利用等腰三角形性质计算∠BCG。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB=BC，正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABC=120°$
∵四边形ABGH是正方形
∴AB=BG，$∠ ABG=90°$
∴BC=BG，即△BCG是等腰三角形，$∠ BCG=∠ BGC$
∵围绕点B的周角为$360°$
∴$∠ CBG=360°-∠ ABC-∠ ABG=360°-120°-90°=150°$
在△BCG中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BCG=\frac{180°-∠ CBG}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是常见的多边形结合的几何计算题，解题核心是抓住正六边形和正方形公共边带来的边相等关系，推导得到等腰三角形，再结合周角、三角形内角和的性质求解，能够很好地考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
