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1. 圭表测影
中国天文传统之一，就是“圭表测影”，当用来观察季节或时间时：先“立表”，确保“表”不偏不倚；再放置与之垂直的圭尺；最后观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AM$平分$∠ BAC$，$MD⊥ AC$.
(1)若“表”$AB=6$，$AC=10$，求$CM$的长；
(2)连接$BD$，若$AM=CM$，判断$△ ABD$的形状，并说明理由.
中国天文传统之一，就是“圭表测影”，当用来观察季节或时间时：先“立表”，确保“表”不偏不倚；再放置与之垂直的圭尺；最后观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AM$平分$∠ BAC$，$MD⊥ AC$.
(1)若“表”$AB=6$，$AC=10$，求$CM$的长；
(2)连接$BD$，若$AM=CM$，判断$△ ABD$的形状，并说明理由.
答案
解:(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$AC=10$,$\therefore BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
$\because AM$平分$∠ BAC$,$MD⊥ AC$,$∠ ABC=90°$($MB⊥ AB$),$\therefore BM=MD$.
设$CM=x$,则$BM=8-x$,$MD=8-x$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$,
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$,
$\therefore \frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$. 解得$x=5$,即$CM=5$.
(2)$△ ABD$是等边三角形. 理由如下：
$\because AM=CM$,$\therefore ∠ MAC=∠ C$.
又$\because AM$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAM=∠ MAC$. $\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAM+∠ MAC+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C=30°$,$∠ BAC=60°$.
$\because ∠ ABM=∠ ADM=90°$,$BM=MD$,$AM=AM$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ADM(\mathrm{HL})$.
$\therefore AB=AD$.
又$\because ∠ BAD=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形.
$\because AM$平分$∠ BAC$,$MD⊥ AC$,$∠ ABC=90°$($MB⊥ AB$),$\therefore BM=MD$.
设$CM=x$,则$BM=8-x$,$MD=8-x$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$,
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$,
$\therefore \frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$. 解得$x=5$,即$CM=5$.
(2)$△ ABD$是等边三角形. 理由如下：
$\because AM=CM$,$\therefore ∠ MAC=∠ C$.
又$\because AM$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAM=∠ MAC$. $\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAM+∠ MAC+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C=30°$,$∠ BAC=60°$.
$\because ∠ ABM=∠ ADM=90°$,$BM=MD$,$AM=AM$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ADM(\mathrm{HL})$.
$\therefore AB=AD$.
又$\because ∠ BAD=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形.
解析
【分析】
(1)先根据Rt△ABC的已知边长，用勾股定理求出BC的长度；再利用角平分线的性质得到BM=MD，设CM为未知数，通过“△ABC的面积等于△ABM与△ACM的面积和”的等量关系列方程，即可求解CM的长度。
(2)先由AM=CM结合等边对等角得到∠MAC=∠C，再结合角平分线的性质推出∠BAM=∠MAC=∠C，根据直角三角形两锐角互余算出三个角均为30°，得到∠BAC=60°；然后通过HL证明Rt△ABM≌Rt△ADM，得到AB=AD，最后结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△ABD的形状。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$AC=10$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
$\because AM$平分$∠ BAC$，$MD⊥ AC$，$∠ ABC=90°$（即$MB⊥ AB$），
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore BM=MD$.
设$CM=x$，则$BM=8-x$，$MD=8-x$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$，
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$，
代入得：$\frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$，
解得$x=5$，即$CM=5$.
(2)$△ ABD$是等边三角形，理由如下：
$\because AM=CM$，根据等边对等角得$∠ MAC=∠ C$.
又$\because AM$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAM=∠ MAC$.
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC+∠ C=90°$，即$∠ BAM+∠ MAC+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C=30°$，$\therefore ∠ BAC=60°$.
$\because ∠ ABM=∠ ADM=90°$，$BM=MD$，$AM=AM$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ADM(\mathrm{HL})$.
$\therefore AB=AD$.
又$\because ∠ BAD=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形。
【答案】
(1)$CM=5$；(2)$△ABD$是等边三角形
【知识点】
1.角平分线的性质
2.勾股定理
3.等边三角形的判定
【点评】
本题结合中国传统天文“圭表测影”的背景，综合考查了直角三角形、角平分线、全等三角形以及特殊三角形判定的相关知识，解题时需灵活转化边角关系，合理运用面积法、全等判定等方法推导，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
(1)先根据Rt△ABC的已知边长，用勾股定理求出BC的长度；再利用角平分线的性质得到BM=MD，设CM为未知数，通过“△ABC的面积等于△ABM与△ACM的面积和”的等量关系列方程，即可求解CM的长度。
(2)先由AM=CM结合等边对等角得到∠MAC=∠C，再结合角平分线的性质推出∠BAM=∠MAC=∠C，根据直角三角形两锐角互余算出三个角均为30°，得到∠BAC=60°；然后通过HL证明Rt△ABM≌Rt△ADM，得到AB=AD，最后结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△ABD的形状。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$AC=10$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
$\because AM$平分$∠ BAC$，$MD⊥ AC$，$∠ ABC=90°$（即$MB⊥ AB$），
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore BM=MD$.
设$CM=x$，则$BM=8-x$，$MD=8-x$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$，
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2}AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$，
代入得：$\frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$，
解得$x=5$，即$CM=5$.
(2)$△ ABD$是等边三角形，理由如下：
$\because AM=CM$，根据等边对等角得$∠ MAC=∠ C$.
又$\because AM$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAM=∠ MAC$.
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC+∠ C=90°$，即$∠ BAM+∠ MAC+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ BAM=∠ MAC=∠ C=30°$，$\therefore ∠ BAC=60°$.
$\because ∠ ABM=∠ ADM=90°$，$BM=MD$，$AM=AM$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ ADM(\mathrm{HL})$.
$\therefore AB=AD$.
又$\because ∠ BAD=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形。
【答案】
(1)$CM=5$；(2)$△ABD$是等边三角形
【知识点】
1.角平分线的性质
2.勾股定理
3.等边三角形的判定
【点评】
本题结合中国传统天文“圭表测影”的背景，综合考查了直角三角形、角平分线、全等三角形以及特殊三角形判定的相关知识，解题时需灵活转化边角关系，合理运用面积法、全等判定等方法推导，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
