2. 漏刻计时
漏刻是中国古代的一种计时工具，其工作原理主要基于水位的均匀变化来显示时间. 水从上面的漏壶源源不断地流入下面的漏壶，再均匀地流入最下方的受水壶，使得受水壶中有刻度的小棍匀速升高，从而得到比较精确的时刻. 小宇所在的兴趣小组制作了一个漏刻简易模型，下面是他们研究过程中记录的数据，其中$y$表示小棍露出部分的长度（单位：$\mathrm{cm}$），$x$表示时间（单位：$\mathrm{min}$）.
| $x/\mathrm{min}$ | $0$ | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y/\mathrm{cm}$ | $2$ | $2.6$ | $3.2$ | $3.8$ | $4.4$ | $···$ |


(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并顺次连接各点，再确定符合实际的函数类型，求出相应的函数解析式；
(2)当小棍露出部分为$7.4\ \mathrm{cm}$时，求对应的时间$x$.

解:(1)描点、连线如图所示.
由图象可知,$y(\mathrm{cm})$是时间$x(\mathrm{min})$的一次函数,故设$y=kx+b(k≠0)$,
将$(0,2)$,$(10,2.6)$代入函数解析式,得$\begin{cases} b=2,\\ 10k+b=2.6, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{50},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{3}{50}x+2$.
(2)当$y=7.4\ \mathrm{cm}$时,则有$\dfrac{3}{50}x+2=7.4$,
解得$x=90$.
故当小棍露出部分为$7.4\ \mathrm{cm}$时,对应的时间$x$为$90\ \mathrm{min}$.

【分析】
(1) 观察表格数据可知，时间x每增加10min，小棍露出长度y就固定增加0.6cm，变化率恒定，描点连线后图像为直线，可判断为一次函数；求解一次函数解析式使用待定系数法，先设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，再代入两组已知的x、y值，解二元一次方程组求出k、b即可得到解析式，注意x代表时间，取值范围为$x≥0$。
(2) 第二问是已知函数值求自变量，直接将$y=7.4$代入第一问求出的函数解析式，解一元一次方程就能得到对应的时间x。
【解析】
(1) 按照表格数据在坐标系中描出对应点，顺次连接各点得到直线。
由图像可知y是x的一次函数，设函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将$(0,2)$、$(10,2.6)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=2\\ 10k + b = 2.6 \end{cases}$
将$b=2$代入第二个方程，解得$k=\dfrac{3}{50}$。
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{3}{50}x + 2\ (x≥0)$。
(2) 当$y=7.4\ \mathrm{cm}$时，代入解析式得：
$\dfrac{3}{50}x + 2 = 7.4$
移项计算得$\dfrac{3}{50}x=5.4$，解得$x=90$。
【答案】
(1) 描点连线见，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{50}x + 2\ (x≥0)}$；
(2) 对应的时间x为$\boldsymbol{90\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一次函数求值
【点评】
本题结合中国古代漏刻计时的传统文化背景考查一次函数的实际应用，解题关键是能根据数据的均匀变化特点判断函数类型，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，掌握函数值与自变量的互算方法。
【难度系数】
0.8

3.沙钟计时
【问题背景】
沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间.综合实践小组在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型[如图(1)所示]制作了一套沙漏计时装置.该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器.沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间(假设沙子足够多).
【实验操作】
该实验小组从函数角度进行了实验.下表是实验小组通过观察，每2 h记录一次的电子秤读数.
漏沙时间 x/h 0 2 4 6 8
电子秤的读数 y/g 图1 18 30 42 54
问题1:建立平面直角坐标系，如图(2)所示，横轴表示漏沙时间 x(单位:h)，纵轴表示精密电子秤的读数 y(单位:g)，描出以表中的数据为坐标的各点.
【建立模型】
问题2:观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上.如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数解析式；如果不在同一条直线上，请说明理由.
【结论应用】
问题3:应用上述发现的规律估算:
(1)若漏沙时间为9 h，则精密电子秤的读数为多少?
(2)若本次实验开始记录的时刻是7:30，当精密电子秤的读数为72 g时是几点钟(时间为24时制)?


图(1) 图(2)
除了圭表、漏刻和沙钟，古代还有许多有趣的计时工具.这些工具虽然简单，却凝聚了古人对时间规律的深刻理解，展现了东方智慧与工艺的完美结合.

解:问题1:如图①所示.
问题2:如图②所示,连线,可得这些点在同一条直线上,并且符合一次函数图象.
设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$,
将$(0,6)$,$(2,18)$代入解析式中,可得$\begin{cases} b=6,\\ 2k+b=18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=6,\\ b=6, \end{cases}$
$\therefore$函数解析式为$y=6x+6$.
问题3:(1)由问题2可知函数解析式为$y=6x+6$,
$\therefore$当$x=9$时,$y=60$.
$\therefore$漏沙时间为9 h时,精密电子秤的读数为60 g.
(2)由问题2可知函数解析式为$y=6x+6$,
$\therefore$当$y=72$时,$x=11$.
$\because$起始时刻是7:30,
$\therefore$经过11 h的漏沙时刻为18:30.

【分析】
解决本题的思路如下：1. 问题1根据表格给出的漏沙时间x和对应电子秤读数y，在坐标系中找到对应坐标的点依次描出即可；2. 问题2先连接描出的点，观察发现所有点共线，符合一次函数图象特征，因此选用一次函数模型，用待定系数法，选取两组已知的x、y值代入一次函数通式$y=kx+b$，求解k和b的值，再验证其余点是否满足得到的解析式，确认解析式正确；3. 问题3的(1)直接将$x=9$代入已求出的函数解析式，计算得到对应的y值就是电子秤读数；(2)先将$y=72$代入解析式求出对应的漏沙时间x，再在实验开始时刻7:30的基础上加上x小时，就能得到对应的时刻。
【解析】
问题1：根据表格数据，对应坐标分别为$(0,6)$、$(2,18)$、$(4,30)$、$(6,42)$、$(8,54)$，在平面直角坐标系中描出各点，如图①所示。
问题2：将描出的各点依次连接，观察可得所有点在同一条直线上，符合一次函数的图象特征，因此设该函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
选取点$(0,6)$和$(2,18)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} b=6\\ 2k+b=18 \end{cases}$
解这个方程组，将$b=6$代入第二个方程，得$2k+6=18$，解得$k=6$，因此$\begin{cases} k=6\\ b=6 \end{cases}$。
将其余点$(4,30)$、$(6,42)$、$(8,54)$代入$y=6x+6$验证，均满足等式，因此函数解析式为$y=6x+6$。
问题3：
(1) 将$x=9$代入$y=6x+6$，得$y=6×9+6=60$，因此漏沙时间为9 h时，电子秤读数为60 g。
(2) 将$y=72$代入$y=6x+6$，得$72=6x+6$，解得$x=11$。已知实验开始记录时刻是7:30，经过11小时后，对应的时刻为7时30分+11小时=18时30分，即18:30。
【答案】
问题1:如图①所示。
问题2:如图②所示，这些点在同一条直线上，函数解析式为$\boldsymbol{y=6x+6}$。
问题3:(1)漏沙时间为9 h时，精密电子秤的读数为$\boldsymbol{60\ g}$；
(2)当精密电子秤的读数为72 g时是$\boldsymbol{18:30}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题以古代沙钟计时为背景，将数学知识与传统文化、生活实际相结合，考查了一次函数的图象、解析式求解及实际应用，需要熟练掌握待定系数法，能灵活运用函数解析式解决求值类问题，实用性较强。
【难度系数】
0.8