8.$\sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}}=$.

8.$\sqrt{10}-3$

【分析】
解决这道题首先要回忆二次根式的重要性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此第一步先将原式转化为绝对值的形式；接下来需要判断绝对值内代数式$3-\sqrt{10}$的正负性，我们可以把3转化为$\sqrt{9}$，比较$\sqrt{9}$和$\sqrt{10}$的大小即可判断$3-\sqrt{10}$的符号；最后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号就能得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(3-\sqrt{10})^2}=|3-\sqrt{10}|$
∵ $3=\sqrt{9}$，且$\sqrt{9}＜\sqrt{10}$
∴ $3-\sqrt{10}＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，得：
$|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=\sqrt{10}-3$
【答案】
$\sqrt{10}-3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，易错点是未判断绝对值内式子的正负，直接去掉根号得到错误结果$3-\sqrt{10}$，解题时要牢记先判断符号再化简的步骤，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7

9. 如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,AD=5,则菱形ABCD的面积为.

9.$24$

【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据AC的长度求出AO的长，再在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长度，进而得到BD的长，最后代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$（菱形的对角线互相垂直平分）。
已知$AC=6$，则$AO=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△AOD$中，$AD=5$，$AO=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$BD=2OD=2×4=8$。
根据菱形面积公式：$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
$24$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入面积公式计算即可，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.85

10.如图所示,一个矩形被分割成四部分,已知图形①②③都是正方形,且正方形③的面积为 2,阴影部分的面积为 $2\sqrt{2}$,则正方形①的面积为.

10.$12+8\sqrt{2}$

【分析】
首先根据正方形③的面积求出它的边长，再设正方形②的边长为未知数，利用阴影矩形的面积公式列方程求出②的边长；接着根据三个正方形的边长关系，得到正方形①的边长，最后利用完全平方公式计算正方形①的面积即可。
【解析】
1. 求正方形③的边长：
已知正方形③的面积为2，根据正方形面积公式，可得其边长为$\sqrt{2}$。
2. 求正方形②的边长：
设正方形②的边长为$x$，观察图形可知阴影部分为矩形，它的宽等于正方形③的边长$\sqrt{2}$，长为正方形②的边长减去正方形③的边长，即$x-\sqrt{2}$。
已知阴影面积为$2\sqrt{2}$，根据矩形面积公式列方程：
$\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$
两边同时除以$\sqrt{2}$得：$x-\sqrt{2}=2$，解得$x=2+\sqrt{2}$。
3. 求正方形①的边长及面积：
观察图形可知，正方形①的边长等于正方形②的边长加正方形③的边长，即：
$a = x+\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$
正方形①的面积为：
$a^2=(2+2\sqrt{2})^2=2^2 + 2×2×2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=4+8\sqrt{2}+8=12+8\sqrt{2}$
【答案】
$12+8\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，完全平方公式
【点评】
本题解题核心是梳理清楚三个正方形边长的数量关系，结合阴影部分面积建立方程求解，计算时要注意根式运算和完全平方公式的规范使用，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

11. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=12$，$AC=10$，$BC$边上的高$AD=6$，求$△ ABC$的面积.

11.解:在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB=12$,$AD=6$,
根据勾股定理,得 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC=10$,$AD=6$,
根据勾股定理,得 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
$\therefore BC=BD+DC=6\sqrt{3}+8$.
$\therefore \frac{1}{2}×(6\sqrt{3}+8)×6=18\sqrt{3}+24$. 即$△ ABC$ 的面积为 $18\sqrt{3}+24$.

【分析】
要求△ABC的面积，已知BC边上的高AD=6，只需先求出底边BC的长度即可。观察图形可知BC=BD+CD，BD和CD分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，两个直角三角形均已知斜边和一条直角边，可借助勾股定理分别求出BD、CD的长度，相加得到BC后，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=12$，$AD=6$，
根据勾股定理，得 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=10$，$AD=6$，
根据勾股定理，得 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
$\therefore BC=BD+DC=6\sqrt{3}+8$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×(6\sqrt{3}+8)×6=18\sqrt{3}+24$。
【答案】
$18\sqrt{3}+24$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是将未知的底边拆分为两个直角三角形的直角边，利用勾股定理分别求解后再计算面积，能够很好地巩固勾股定理的应用和三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7

12. 已知 $ a=\sqrt{7}+\sqrt{3}, b=\sqrt{7}-\sqrt{3} $，分别求下列代数式的值：
(1) $ a^2 - b^2 $；
(2) $ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} $。

12.解:(1)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,
当 $a=\sqrt{7}+\sqrt{3}$,$b=\sqrt{7}-\sqrt{3}$ 时,
原式$=(\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{3})[\sqrt{7}+\sqrt{3}-(\sqrt{7}-\sqrt{3})]=2\sqrt{7}×2\sqrt{3}=4\sqrt{21}$.
(2)$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{(a+b)^2}{ab}-2$,
当 $a=\sqrt{7}+\sqrt{3}$,$b=\sqrt{7}-\sqrt{3}$ 时,原式$=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}-2=\frac{(2\sqrt{7})^2}{7-3}-2=5$.

【分析】
对于这类已知含二次根式的a、b的值求代数式的题目，若直接代入a、b的原式计算会非常繁琐，因此优先观察所求代数式的结构：(1)中$a^2-b^2$可利用平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$；(2)中$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$可通分后利用完全平方公式变形为含$a+b$、$ab$的形式。我们可以先计算$a+b$、$a-b$、$ab$的值，再整体代入求解，能大幅简化运算，减少出错概率。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，
当$a=\sqrt{7}+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{3}$时，
$a+b=\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{3}=2\sqrt{7}$，
$a-b=\sqrt{7}+\sqrt{3}-(\sqrt{7}-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$，
因此原式$=2\sqrt{7} × 2\sqrt{3}=4\sqrt{21}$。
(2) 先对分式通分变形：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
先计算$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4$，
结合(1)中$a+b=2\sqrt{7}$，代入得：
原式$=\frac{(2\sqrt{7})^2}{4}-2=\frac{28}{4}-2=7-2=5$。
【答案】
(1)$4\sqrt{21}$；(2)$5$
【知识点】
二次根式运算、乘法公式应用、分式化简
【点评】
本题考查代数式的化简求值技巧，核心是通过乘法公式对代数式变形，采用整体代入的思路降低二次根式运算的复杂度，是二次根式求值类题目的常用方法，需要熟练掌握相关公式的变形应用。
【难度系数】
0.7

13. 如图所示,在$□ ABCD$中,$CM$平分$∠ BCD$交$AD$于点$M$.
(1)若$CD=2$,求$DM$的长;
(2)若$M$是$AD$的中点,连接$BM$,求证:$BM$平分$∠ ABC$.

13.(1)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD// BC$.$\therefore ∠ BCM=∠ DMC$.
$\because CM$ 平分$∠ BCD$,$\therefore ∠ BCM=∠ DCM$.$\therefore ∠ DMC=∠ DCM$.
$\therefore DM=DC=2$.
(2)证明:方法一 如图所示,延长 $BA$,$CM$,交于点 $E$,则$∠ AME=∠ DMC$.
$\because BE// CD$,$\therefore ∠ D=∠ EAM$,$∠ E=∠ DCM$.
$\because M$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore DM=AM$.
$\therefore △ CDM≌△ EAM(\mathrm{ASA})$.
$\therefore EM=CM$.
$\because CM$ 平分$∠ BCD$,$\therefore ∠ BCM=∠ DCM$.
$\therefore ∠ E=∠ BCM$.$\therefore BE=BC$.$\therefore BM$ 平分$∠ ABC$.
方法二 由(1),可得 $CD=MD$.
$\because M$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore DM=AM$.
又 $AB=CD$,$\therefore AB=AM$.
$\therefore ∠ ABM=∠ AMB$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ CBM=∠ AMB$.
$\therefore ∠ ABM=∠ CBM$.$\therefore BM$ 平分$∠ ABC$.

【分析】
(1) 求解第一问时，先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义，推导得出△DMC为等腰三角形，最后根据等角对等边的性质即可求出DM的长度。
(2) 证明第二问可选择两种思路：方法一通过延长BA、CM构造全等三角形，结合平行四边形的性质、全等三角形的判定证明EM=CM，再推导得出△EBC为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可证明BM平分∠ABC；方法二直接沿用第一问的结论，结合中点和平行四边形对边相等的性质，推导得出△ABM为等腰三角形，再利用平行线的内错角相等即可证得角平分线的结论。
【解析】
(1)解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ BCM=∠ DMC$。
$\because CM$ 平分$∠ BCD$，$\therefore ∠ BCM=∠ DCM$，$\therefore ∠ DMC=∠ DCM$。
$\therefore DM=DC=2$。
(2)证明：
方法一 如图所示，延长 $BA$，$CM$，交于点 $E$，则$∠ AME=∠ DMC$。
$\because BE// CD$，$\therefore ∠ D=∠ EAM$，$∠ E=∠ DCM$。
$\because M$ 是 $AD$ 的中点，$\therefore DM=AM$。
$\therefore △ CDM≌△ EAM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore EM=CM$。
$\because CM$ 平分$∠ BCD$，$\therefore ∠ BCM=∠ DCM$。
$\therefore ∠ E=∠ BCM$，$\therefore BE=BC$，$\therefore BM$ 平分$∠ ABC$。
方法二 由(1)，可得 $CD=MD$。
$\because M$ 是 $AD$ 的中点，$\therefore DM=AM$。
又 $AB=CD$，$\therefore AB=AM$。
$\therefore ∠ ABM=∠ AMB$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ CBM=∠ AMB$。
$\therefore ∠ ABM=∠ CBM$，$\therefore BM$ 平分$∠ ABC$。
【答案】
(1) $DM=2$；
(2) 证明见上述解析，方法一对应图。
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，核心考查“平行线+角平分线”可推导等腰三角形的常用模型，第二问的两种解法分别从构造全等和利用等腰三角形性质两个角度切入，能够帮助学生拓展几何解题思路，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7