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1. 下列各式中，与$\sqrt{10}$是同类二次根式的是 （
A.$\sqrt{40}$
B.$\sqrt{60}$
C.$\sqrt{80}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
A
）A.$\sqrt{40}$
B.$\sqrt{60}$
C.$\sqrt{80}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个选项与$\sqrt{10}$是同类二次根式，首先需明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，即为同类二次根式。因此解题步骤为：先回忆二次根式的化简方法，再逐个化简选项中的二次根式，最后对比化简后的被开方数是否与$\sqrt{10}$的被开方数（10）一致即可。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
已知$\sqrt{10}$已经是最简二次根式，被开方数为10，接下来逐个化简各选项：
A. $\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，化简后被开方数为10，与$\sqrt{10}$的被开方数相同，是同类二次根式；
B. $\sqrt{60}=\sqrt{4×15}=\sqrt{4}×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，化简后被开方数为15，与10不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=\sqrt{16}×\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与10不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{5}{25}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，化简后被开方数为5，与10不同，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，核心考查同类二次根式的判断方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，注意必须先化为最简二次根式再判断是否为同类二次根式，避免直接看原式的被开方数造成错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项与$\sqrt{10}$是同类二次根式，首先需明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，即为同类二次根式。因此解题步骤为：先回忆二次根式的化简方法，再逐个化简选项中的二次根式，最后对比化简后的被开方数是否与$\sqrt{10}$的被开方数（10）一致即可。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
已知$\sqrt{10}$已经是最简二次根式，被开方数为10，接下来逐个化简各选项：
A. $\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，化简后被开方数为10，与$\sqrt{10}$的被开方数相同，是同类二次根式；
B. $\sqrt{60}=\sqrt{4×15}=\sqrt{4}×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，化简后被开方数为15，与10不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=\sqrt{16}×\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与10不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{5}{25}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，化简后被开方数为5，与10不同，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，核心考查同类二次根式的判断方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，注意必须先化为最简二次根式再判断是否为同类二次根式，避免直接看原式的被开方数造成错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列运算中,正确的是 （
A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{3}$
D.$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 3$
C
）A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{3}$
D.$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 3$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需逐个分析选项，结合二次根式相关运算法则逐一验证：首先明确只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数加减，根式部分不变；其次二次根式除法运算遵循“被开方数相除后再开方”的规则；遇到符合乘法公式结构的根式乘法，可以套用公式简化计算，最终选出运算正确的选项。
【解析】
对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法直接合并相减，运算错误；
B选项：同类二次根式相加，系数相加、根式部分不变，即$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}≠6\sqrt{2}$，运算错误；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$，运算正确；
D选项：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1≠3$，运算错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，同类二次根式，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的四则运算法则和乘法公式的应用，解题时要注意只有同类二次根式才能合并，运算时需仔细核对系数计算、公式套用是否正确。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需逐个分析选项，结合二次根式相关运算法则逐一验证：首先明确只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数加减，根式部分不变；其次二次根式除法运算遵循“被开方数相除后再开方”的规则；遇到符合乘法公式结构的根式乘法，可以套用公式简化计算，最终选出运算正确的选项。
【解析】
对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法直接合并相减，运算错误；
B选项：同类二次根式相加，系数相加、根式部分不变，即$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}≠6\sqrt{2}$，运算错误；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$，运算正确；
D选项：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1≠3$，运算错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，同类二次根式，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的四则运算法则和乘法公式的应用，解题时要注意只有同类二次根式才能合并，运算时需仔细核对系数计算、公式套用是否正确。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是 （
A.6,8,10
B.7,24,25
C.4,5,6
D.5,12,13
C
）A.6,8,10
B.7,24,25
C.4,5,6
D.5,12,13
答案
3.C
解析
【分析】
判断三个数能否作为直角三角形的三边长，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时对每个选项逐一验证即可：先找出每组数中的最大数，再计算另外两个较小数的平方和，将其与最大数的平方对比，若不相等则对应选项即为答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A. 最大边长为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长；
B. 最大边长为25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长；
C. 最大边长为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足逆定理，不可作为直角三角形三边长；
D. 最大边长为13，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的验证方法，注意计算时优先用两短边平方和与长边平方对比，可降低计算量。
【难度系数】
0.9
判断三个数能否作为直角三角形的三边长，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时对每个选项逐一验证即可：先找出每组数中的最大数，再计算另外两个较小数的平方和，将其与最大数的平方对比，若不相等则对应选项即为答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A. 最大边长为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长；
B. 最大边长为25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长；
C. 最大边长为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足逆定理，不可作为直角三角形三边长；
D. 最大边长为13，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足逆定理，可作为直角三角形三边长。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的验证方法，注意计算时优先用两短边平方和与长边平方对比，可降低计算量。
【难度系数】
0.9
4. 在平面直角坐标系中，点$P(3,-4)$到原点的距离是（
A.3
B.4
C.5
D.$-5$
C
）A.3
B.4
C.5
D.$-5$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先明确所求为点到原点的距离，结合距离的非负性可先排除负数选项D。接下来回忆平面直角坐标系中点到原点距离的计算逻辑：过点向x轴、y轴作垂线，可与原点围成直角三角形，点的横坐标绝对值、纵坐标绝对值分别为两条直角边的长度，点到原点的距离为斜边长，因此可借助勾股定理计算。
【解析】
平面直角坐标系中，点$(x,y)$到原点的距离计算公式为$\sqrt{x^2+y^2}$，该公式由勾股定理推导而来。
将点$P(3,-4)$的坐标代入公式可得：
距离$=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察平面直角坐标系中点到原点距离的计算方法，既可以直接套用公式求解，也可以通过构造直角三角形用勾股定理推导，计算时注意负数的平方为正数，同时可利用距离的非负性快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确所求为点到原点的距离，结合距离的非负性可先排除负数选项D。接下来回忆平面直角坐标系中点到原点距离的计算逻辑：过点向x轴、y轴作垂线，可与原点围成直角三角形，点的横坐标绝对值、纵坐标绝对值分别为两条直角边的长度，点到原点的距离为斜边长，因此可借助勾股定理计算。
【解析】
平面直角坐标系中，点$(x,y)$到原点的距离计算公式为$\sqrt{x^2+y^2}$，该公式由勾股定理推导而来。
将点$P(3,-4)$的坐标代入公式可得：
距离$=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察平面直角坐标系中点到原点距离的计算方法，既可以直接套用公式求解，也可以通过构造直角三角形用勾股定理推导，计算时注意负数的平方为正数，同时可利用距离的非负性快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
5. 如图所示,将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,点A的横坐标为1,则点C的坐标为
（
A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-\sqrt{3})$
D.$(-1,\sqrt{3})$
（
A
）A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-\sqrt{3})$
D.$(-1,\sqrt{3})$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以结合正方形的性质构造直角三角形，利用全等三角形和勾股定理求解。首先正方形的邻边垂直且边长相等，可得OA=OC、∠AOC=90°；过A、C分别作x轴的垂线，可得到两个直角三角形，能证明这两个三角形全等，再结合勾股定理算出相关线段的长度，最后根据C所在的象限确定坐标的符号即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥x$轴于点D，过点C作$CE⊥x$轴于点E，
∴$∠ ADO=∠ OEC=90°$，
∴$∠ OAD + ∠ AOD = 90°$，
∵四边形OABC是正方形，
∴$OA=OC=2$，$∠ AOC=90°$，
∴$∠ AOD + ∠ COE = 90°$，
∴$∠ OAD = ∠ COE$，
在$△ AOD$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ OEC \\∠ OAD=∠ COE \\OA=OC\end{cases}$
∴$△ AOD≌△ OCE$（AAS），
∴$OE=AD$，$CE=OD$，
已知点A的横坐标为1，即$OD=1$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴$OE=AD=\sqrt{3}$，$CE=OD=1$，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为$(\sqrt{3}, -1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质与平面直角坐标系的结合题型，通过构造直角三角形证明全等是解题的突破口，解题时需要注意根据点所在的象限确定坐标的正负。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以结合正方形的性质构造直角三角形，利用全等三角形和勾股定理求解。首先正方形的邻边垂直且边长相等，可得OA=OC、∠AOC=90°；过A、C分别作x轴的垂线，可得到两个直角三角形，能证明这两个三角形全等，再结合勾股定理算出相关线段的长度，最后根据C所在的象限确定坐标的符号即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥x$轴于点D，过点C作$CE⊥x$轴于点E，
∴$∠ ADO=∠ OEC=90°$，
∴$∠ OAD + ∠ AOD = 90°$，
∵四边形OABC是正方形，
∴$OA=OC=2$，$∠ AOC=90°$，
∴$∠ AOD + ∠ COE = 90°$，
∴$∠ OAD = ∠ COE$，
在$△ AOD$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ OEC \\∠ OAD=∠ COE \\OA=OC\end{cases}$
∴$△ AOD≌△ OCE$（AAS），
∴$OE=AD$，$CE=OD$，
已知点A的横坐标为1，即$OD=1$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴$OE=AD=\sqrt{3}$，$CE=OD=1$，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为$(\sqrt{3}, -1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质与平面直角坐标系的结合题型，通过构造直角三角形证明全等是解题的突破口，解题时需要注意根据点所在的象限确定坐标的正负。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示,有一个绳索被拉直的木马秋千,绳索 AB 的长度为 5 m. 若将它沿水平方向向前推进 3 m(即 $ DE=3 \, \mathrm{m} $),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为 (
A.1 m
B.$ \sqrt{2} \, \mathrm{m} $
C.2 m
D.4 m
A
)A.1 m
B.$ \sqrt{2} \, \mathrm{m} $
C.2 m
D.4 m
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先抓住绳索始终拉直、长度不变的隐含条件，可知推进后绳索长度仍为5m，水平移动距离为3m。我们通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出推进后绳索对应的竖直高度，再和原来的竖直绳索长度作差，即可得到木马上升的高度。
【解析】
过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得：CF=DE=3m，AC=AB=5m。
在Rt△ACF中，根据勾股定理可得：
$AF^2 + CF^2 = AC^2$
代入数值：$AF^2 + 3^2 = 5^2$
计算得$AF^2=25-9=16$，所以$AF=4\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
木马上升的高度为$AB - AF = 5 - 4 = 1\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的使用，解题的核心是找到长度不变的量，构造合适的直角三角形将已知条件集中到同一个三角形中计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住绳索始终拉直、长度不变的隐含条件，可知推进后绳索长度仍为5m，水平移动距离为3m。我们通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出推进后绳索对应的竖直高度，再和原来的竖直绳索长度作差，即可得到木马上升的高度。
【解析】
过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得：CF=DE=3m，AC=AB=5m。
在Rt△ACF中，根据勾股定理可得：
$AF^2 + CF^2 = AC^2$
代入数值：$AF^2 + 3^2 = 5^2$
计算得$AF^2=25-9=16$，所以$AF=4\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
木马上升的高度为$AB - AF = 5 - 4 = 1\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的使用，解题的核心是找到长度不变的量，构造合适的直角三角形将已知条件集中到同一个三角形中计算，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$∠ A + ∠ C = 140°$，则$∠ A$ 的度数为 ______。
答案
7.$70°$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的角的性质：平行四边形的两组对角分别相等。题目中给出∠A和∠C的和，而∠A与∠C是平行四边形的一组对角，二者度数相等，因此只需将二者的和平均分为2份，就能得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A = ∠C（平行四边形的对角相等）
又
∵∠A + ∠C = 140°
∴2∠A = 140°
解得∠A = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行四边形对角相等、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形角的性质的直接应用，熟练掌握平行四边形的基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行四边形的角的性质：平行四边形的两组对角分别相等。题目中给出∠A和∠C的和，而∠A与∠C是平行四边形的一组对角，二者度数相等，因此只需将二者的和平均分为2份，就能得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A = ∠C（平行四边形的对角相等）
又
∵∠A + ∠C = 140°
∴2∠A = 140°
解得∠A = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行四边形对角相等、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形角的性质的直接应用，熟练掌握平行四边形的基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
