18. 通过学习,我们知道矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们除了具有平行四边形的性质外,还有各自的特殊性质.根据它们的特殊性质,得到了这些特殊的平行四边形的判定定理.数学课上,老师给出了一道题:如图(1)所示,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作$DP// OC$,且$DP=OC$,连接CP.
(1)判断四边形CODP的形状,并说明理由.
(2)如图(2)所示,若四边形ABCD是菱形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图(3)所示,若四边形ABCD是正方形,四边形CODP是什么特殊的四边形?请说明理由.

假期作业 11
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18.解:(1)四边形CODP是菱形.
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,$\therefore AC=BD$,$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$.$\therefore OC=OD$.
∵$DP// OC$,$DP=OC$,$\therefore$四边形CODP是平行四边形.
∵$OC=OD$,$\therefore$平行四边形CODP是菱形.
(2)(1)中的结论不成立,四边形CODP是矩形.
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥ BD$.$\therefore ∠ DOC=90°$.
∵$DP// OC$,$DP=OC$,$\therefore$四边形CODP是平行四边形.
∵$∠ DOC=90°$,$\therefore$平行四边形CODP是矩形.
(3)四边形CODP是正方形.
理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,$\therefore AC⊥ BD$,$AC=BD$,$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$.
$\therefore ∠ DOC=90°$,$OD=OC$.
∵$DP// OC$,$DP=OC$,$\therefore$四边形CODP是平行四边形.
∵$∠ DOC=90°$,$OD=OC$,
∴平行四边形CODP是正方形.

【分析】
本题三个小问的解题逻辑一致：首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，结合已知$DP//OC$且$DP=OC$，先判定四边形CODP是平行四边形；再根据原四边形（矩形、菱形、正方形）对角线的特殊性质，推导得到平行四边形CODP的边的关系或内角特征，最后结合对应特殊平行四边形的判定定理得出结论即可。具体为：(1)利用矩形对角线相等且平分的性质得$OC=OD$，可证邻边相等的平行四边形是菱形；(2)利用菱形对角线互相垂直的性质得$∠ DOC=90°$，可证有一个直角的平行四边形是矩形；(3)利用正方形对角线相等、互相垂直且平分的性质得$OC=OD$且$∠ DOC=90°$，可证邻边相等且有直角的平行四边形是正方形。
【解析】
(1) 四边形CODP是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
$\therefore AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OC=OD$，
∵$DP//OC$，$DP=OC$，
$\therefore$四边形CODP是平行四边形，
又
∵$OC=OD$，
$\therefore$平行四边形CODP是菱形。
(2) (1)中的结论不成立，四边形CODP是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ DOC=90°$，
∵$DP//OC$，$DP=OC$，
$\therefore$四边形CODP是平行四边形，
又
∵$∠ DOC=90°$，
$\therefore$平行四边形CODP是矩形。
(3) 四边形CODP是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
$\therefore AC⊥ BD$，$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore ∠ DOC=90°$，$OD=OC$，
∵$DP//OC$，$DP=OC$，
$\therefore$四边形CODP是平行四边形，
又
∵$∠ DOC=90°$，$OD=OC$，
$\therefore$平行四边形CODP是正方形。
【答案】
(1) 四边形CODP是菱形；
(2) (1)的结论不成立，四边形CODP是矩形；
(3) 四边形CODP是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定、特殊平行四边形的性质、特殊平行四边形的判定
【点评】
本题属于特殊平行四边形的基础综合题，解题核心是先确定基础的平行四边形，再结合原特殊四边形对角线的性质推导边、角特征，能帮助学生理清各类特殊平行四边形性质与判定的区别和联系。
【难度系数】
0.7