14.若$a=1+\sqrt{2},b=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}$，则$a$与$b$的关系是 （）

A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.和为1

14.A

【分析】
要判断a与b的关系，首先需要对分母含二次根式的b进行化简，通过分母有理化将b转化为最简形式，再将化简后的b与a对比，计算两者的和或积即可判断二者的关系。
【解析】
先对b进行分母有理化，给分子、分母同乘分母的有理化因式$1+\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{1-\sqrt{2}}\\&=\frac{1×(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}\\&=\frac{1+\sqrt{2}}{1^2-(\sqrt{2})^2}\\&=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\\&=-(1+\sqrt{2})\end{aligned}$
已知$a=1+\sqrt{2}$，则$a+b=(1+\sqrt{2})+(-1-\sqrt{2})=0$，根据相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，因此a与b互为相反数。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化、相反数的定义、二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，化简后通过简单计算即可判断两数的关系，考查对二次根式化简和实数基本概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8

15. 已知矩形的对角线长为1，面积为$ m $，则矩形的周长为 （）

A.$\dfrac{m^2 - 1}{2}$
B.$\dfrac{m^2 + 1}{2}$
C.$2\sqrt{1 + 2m}$
D.$2\sqrt{1 - 2m}$

15.C

【分析】
首先我们可以设矩形的长为a，宽为b，要求矩形的周长，就需要先得到a+b的值。已知矩形对角线长为1，根据矩形对角线与长、宽满足勾股定理，可得到a² + b²的数值；已知面积为m，可得到ab的数值。再结合完全平方公式，将a+b的平方展开，代入已知的a²+b²和ab的值，即可求出a+b，进而求出周长。
【解析】
设矩形的长为a，宽为b。
1. 根据矩形对角线的性质，结合勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 1^2 = 1$
2. 根据矩形面积公式可得：$ab = m$
3. 矩形的周长为$2(a+b)$，我们先计算$(a+b)^2$，由完全平方公式得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=1$，$ab=m$代入上式，得：
$(a+b)^2 = 1 + 2m$
因为a、b均为正数，所以$a+b = \sqrt{1+2m}$
4. 因此矩形的周长为$2(a+b) = 2\sqrt{1+2m}$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是通过设长宽将几何条件转化为代数关系，再利用完全平方公式完成未知量到已知量的转化，计算难度较低，是矩形性质应用的典型考题。
【难度系数】
0.7

16. 如图所示的是矩形纸片$ABCD$，$AB=6$，$BC=8$，现将其沿$EF$对折，使得点$C$与点$A$重合，则$△ AEF$的面积为________。

16.$\frac{75}{4}$

【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到相等的边和角，再结合矩形对边平行的性质推出△AEF为等腰三角形，即AE=AF，此时求△AEF的面积只需要求出AF的长度即可。我们可设BE的长为未知数，用含未知数的式子表示AE的长度，再在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解，算出AE长后就可以用三角形面积公式计算△AEF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴∠B=90°，AD//BC，AD=BC=8，
由折叠的性质可知：AE=EC，∠AFE=∠CFE，
∵AD//BC，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠AFE=∠AEF，即AE=AF。
设BE=x，则EC=BC-BE=8-x，
∴AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
$AB^2 + BE^2 = AE^2$，即$6^2 + x^2 = (8-x)^2$，
展开化简得：$36 = 64 - 16x$，
解得$x=\frac{7}{4}$，
∴$AE=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}$，即$AF=AE=\frac{25}{4}$，
∴$S_{△ AEF}=\frac{1}{2} × AF × AB = \frac{1}{2} × \frac{25}{4} × 6 = \frac{75}{4}$。
【答案】
$\frac{75}{4}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何常考题，解题的关键是结合折叠性质和矩形的性质推导边的等量关系，再借助勾股定理列方程求解，考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

17. 如图所示，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一个动点，连接DE，过点E作$EF ⊥ DE$，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)若$DG=\sqrt{3}$，则矩形DEFG的面积为________；
(2)当线段DE与正方形ABCD的一边的夹角是$35°$时，$∠ EFC$的度数为________.

17.(1)3 (2)$35°或125°$

【分析】
(1) 要计算矩形DEFG的面积，先判断矩形的形状：利用正方形对角线的性质，通过作垂线构造全等三角形，证明DE=EF，可得矩形DEFG是正方形，正方形面积等于边长的平方，结合已知DG的长度即可求解。
(2) 需分两种情况讨论：①当DE与AD的夹角为35°时，先求出∠EDC的度数，再用四边形内角和计算∠EFC；②当DE与DC的夹角为35°时，结合全等三角形对应角相等的性质求∠EFC，注意不要漏解。
【解析】
(1) 过点E作$EM⊥CD$于M，$EN⊥BC$于N。
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AC平分$∠BCD$，则$EM=EN$，且$∠MEN=90°$。
∵$EF⊥DE$，
∴$∠DEF=90°$，可得$∠DEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°$，即$∠DEM=∠FEN$。
在$△ DME$和$△ FNE$中：
$\begin{cases}∠DME=∠FNE=90° \\ EM=EN \\ ∠DEM=∠FEN \end{cases}$
∴$△ DME≌△ FNE(ASA)$，则$DE=EF$。
∴矩形DEFG是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴矩形DEFG的面积$=DG^2=(\sqrt{3})^2=3$。
(2) 分两种情况：
①当DE与AD的夹角为$35°$，即$∠ADE=35°$时，
∵$∠ADC=90°$，
∴$∠EDC=90°-35°=55°$，
∵四边形DEFC内角和为$360°$，$∠DEF=∠DCF=90°$，
∴$∠EFC=360°-90°-90°-55°=125°$；
②当DE与DC的夹角为$35°$，即$∠EDC=35°$时，
由$△ DME≌△ FNE$得$∠EDC=∠EFC$，即$∠EFC=35°$。
综上，$∠EFC$的度数为$35°$或$125°$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{35°或125°}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质和全等三角形的应用，解题关键是通过构造全等证明矩形DEFG为正方形，第二问需要分类讨论不同的夹角情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65

18. (1)用“＞”“＜”或“=”填空:$4+3\_\_\_\_\_\_2\sqrt{4×3}$;$1+\frac{1}{6}\_\_\_\_\_\_2\sqrt{1×\frac{1}{6}}$;$5+5\_\_\_\_\_\_2\sqrt{5×5}$.
(2)由(1)中各式猜想$m+n$与$2\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$的大小关系,并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面的问题:某园林设计师要对园林的一个区域进行改造,将该区域用篱笆围成长方形的花圃,如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为了围成面积为$200\ \mathrm{m}^2$的花圃,所用的篱笆至少为多少米?

18.(1)$＞\quad＞\quad=$
(2)解:$m+n≥2\sqrt{mn}\ (m≥0,n≥0)$. 理由如下:
当 $m≥0$,$n≥0$ 时,$\because (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0$,$\therefore (\sqrt{m})^2-2\sqrt{m}·\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2≥0$.
$\therefore m-2\sqrt{mn}+n≥0$.$\therefore m+n≥2\sqrt{mn}$.
(3)解:设花圃的长为 $a\ \mathrm{m}$,宽为 $b\ \mathrm{m}$,则 $a＞0$,$b＞0$,$S=ab=200$.
根据(2)的结论,可得 $a+2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2×200}=2×20=40$,
$\therefore$ 所用的篱笆至少为 $40\ \mathrm{m}$.

【分析】
（1）第(1)问可先分别计算左右两边式子的结果，再直接比较大小即可；
（2）第(2)问根据第(1)问的三组结果归纳猜想大小关系，再利用完全平方的非负性展开推导即可，注意m、n的取值范围是非负数；
（3）第(3)问属于实际应用类问题，先结合图形明确篱笆总长对应的代数式：靠墙一侧为长方形的长，因此篱笆总长=长+2×宽，再设长为a m、宽为b m，已知面积ab=200，将a和2b代入第(2)问得到的不等式，即可求出篱笆的最小值。
【解析】
(1) 计算各式：
左边$4+3=7$，右边$2\sqrt{4×3}=2\sqrt{12}\approx6.93$，故$4+3＞2\sqrt{4×3}$；
左边$1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\approx1.17$，右边$2\sqrt{1×\frac{1}{6}}=2×\frac{\sqrt{6}}{6}\approx0.82$，故$1+\frac{1}{6}＞2\sqrt{1×\frac{1}{6}}$；
左边$5+5=10$，右边$2\sqrt{5×5}=2×5=10$，故$5+5=2\sqrt{5×5}$。
(2) 猜想：$m+n≥2\sqrt{mn}\ (m≥0,n≥0)$，理由如下：
当$m≥0,n≥0$时，根据完全平方的非负性，$(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0$，
将左边展开得：$(\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}·\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2≥0$，
化简得：$m - 2\sqrt{mn} + n≥0$，
移项可得：$m + n≥2\sqrt{mn}$，当且仅当$m=n$时取等号。
(3) 设长方形花圃平行于墙体的长为$a\ \mathrm{m}$，垂直于墙体的宽为$b\ \mathrm{m}$，则$a＞0,b＞0$，
由题意得花圃面积$S=ab=200\ \mathrm{m}^2$，所需篱笆总长为$a + 2b$，
根据(2)的结论，将$a$和$2b$代入不等式可得：
$a + 2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}$，
将$ab=200$代入得：$2\sqrt{2×200}=2\sqrt{400}=2×20=40$，
当且仅当$a=2b$时，等号成立，此时篱笆总长取得最小值。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$；$\boxed{=}$
(2) $\boxed{m+n≥2\sqrt{mn}\ (m≥0,n≥0)}$，理由见解析
(3) 所用的篱笆至少为$\boxed{40\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 完全平方的非负性
2. 二次根式运算
3. 不等式实际应用
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过计算归纳得到不等式关系，再将结论迁移到实际问题中，既考查了代数运算与推导能力，也考查了利用数学知识解决实际问题的应用能力，前后设问关联性强，能够较好地锻炼逻辑思维。
【难度系数】
0.7