登录
1. 设 $ a $，$ b $，$ c $ 为平面上三条不同的直线. 若 $ a // b $，$ b // c $，则 $ a $ 与 $ c $ 的位置关系是 ______；若 $ a ⊥ b $，$ b ⊥ c $，则 $ a $ 与 $ c $ 的位置关系是 ______；若 $ a // b $，$ b ⊥ c $，则 $ a $ 与 $ c $ 的位置关系是 ______.
答案
1. 平行 平行 垂直
解析
【分析】
本题考查同一平面内不同直线的平行、垂直位置关系的判定，解题时可结合对应的几何基本推论分别判断三个空的结果：①判断第一空时，回忆平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，直接套用即可得到a与c的位置关系；②判断第二空时，根据同一平面内垂直的相关性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可得出a与c的位置关系；③判断第三空时，结合平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的其中一条，那么它也垂直于另一条，即可得到a与c的位置关系。
【解析】
结合平面内直线平行、垂直的相关性质逐一分析：
1. 已知$a// b$，$b// c$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$a// c$，因此第一空填平行；
2. 已知$a⊥ b$，$b⊥ c$，根据同一平面内的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$a// c$，因此第二空填平行；
3. 已知$a// b$，$b⊥ c$，根据平行线的相关性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于这组平行线中的另一条直线，可得$a⊥ c$，因此第三空填垂直。
【答案】
平行 平行 垂直
【知识点】
平行公理推论、垂直与平行的转化、平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平面内直线平行、垂直的基本性质和推论的掌握，熟练记忆相关结论即可快速解题，这类基础结论是后续几何推理的重要依据。
【难度系数】
0.9
本题考查同一平面内不同直线的平行、垂直位置关系的判定，解题时可结合对应的几何基本推论分别判断三个空的结果：①判断第一空时，回忆平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，直接套用即可得到a与c的位置关系；②判断第二空时，根据同一平面内垂直的相关性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可得出a与c的位置关系；③判断第三空时，结合平行线的性质：若一条直线垂直于一组平行线中的其中一条，那么它也垂直于另一条，即可得到a与c的位置关系。
【解析】
结合平面内直线平行、垂直的相关性质逐一分析：
1. 已知$a// b$，$b// c$，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$a// c$，因此第一空填平行；
2. 已知$a⊥ b$，$b⊥ c$，根据同一平面内的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$a// c$，因此第二空填平行；
3. 已知$a// b$，$b⊥ c$，根据平行线的相关性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于这组平行线中的另一条直线，可得$a⊥ c$，因此第三空填垂直。
【答案】
平行 平行 垂直
【知识点】
平行公理推论、垂直与平行的转化、平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平面内直线平行、垂直的基本性质和推论的掌握，熟练记忆相关结论即可快速解题，这类基础结论是后续几何推理的重要依据。
【难度系数】
0.9
2. 如图，已知 $a // b$，$∠ 1 = 45°$，则 $∠ 2$ 的度数为 ______。
答案
2. 135°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由$a// b$，可根据平行线的性质得到$∠1$的同位角与$∠1$相等；再观察$∠2$和该同位角的位置关系，二者是邻补角，和为$180°$，代入角度计算即可得到$∠2$的度数。
【解析】
设与$∠1$互为同位角、位于直线$b$上方的角为$∠3$。
∵ $ a // b $（已知），
∴ $ ∠ 3 = ∠ 1 = 45° $（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $ ∠ 2 $ 与 $ ∠ 3 $ 互为邻补角（邻补角定义），
∴ $ ∠ 2 = 180° - ∠ 3 = 180° - 45° = 135° $。
【答案】
$ 135° $
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合平行线的性质找到角度间的等量关系，再利用邻补角的和为$180°$计算即可，解题难度低。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，首先由$a// b$，可根据平行线的性质得到$∠1$的同位角与$∠1$相等；再观察$∠2$和该同位角的位置关系，二者是邻补角，和为$180°$，代入角度计算即可得到$∠2$的度数。
【解析】
设与$∠1$互为同位角、位于直线$b$上方的角为$∠3$。
∵ $ a // b $（已知），
∴ $ ∠ 3 = ∠ 1 = 45° $（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $ ∠ 2 $ 与 $ ∠ 3 $ 互为邻补角（邻补角定义），
∴ $ ∠ 2 = 180° - ∠ 3 = 180° - 45° = 135° $。
【答案】
$ 135° $
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合平行线的性质找到角度间的等量关系，再利用邻补角的和为$180°$计算即可，解题难度低。
【难度系数】
0.9
3. 如图，直线 $ l // m $，将含有 $ 45° $ 角的三角板 $ ABC $ 的直角顶点 $ C $ 放在直线 $ m $ 上，若 $ ∠ 1 = 25° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为 ______.
答案
3. 20°
解析
【分析】
已知直线$ l // m $，还有含45°角的直角三角板，要求$ ∠2 $的度数，我们可以通过作辅助线构建平行关系，利用平行线的性质转化角度。解题思路：过点B作平行于$ l $的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线同时平行于$ m $，此时$ ∠1 $和$ ∠2 $分别和三角板45°角的两部分互为内错角，再结合已知$ ∠1 $的度数，通过角度和差即可求出$ ∠2 $的度数。
【解析】
解：过点B作$ BD // l $，
∵ $ l // m $（已知），
∴ $ BD // l // m $（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $ ∠1=∠DBC $，$ ∠2=∠ABD $（两直线平行，内错角相等），
∵ 三角板ABC为含45°角的直角三角板，
∴ $ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=45° $，
又
∵ $ ∠1=25° $（已知），
∴ $ ∠DBC=25° $，
∴ $ ∠2=45°-25°=20° $。
【答案】
$ 20° $
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是通过作辅助线建立已知角和未知角的关联，结合三角板的固定角度即可快速求解，能有效考查学生对平行线性质的掌握程度和几何辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.7
已知直线$ l // m $，还有含45°角的直角三角板，要求$ ∠2 $的度数，我们可以通过作辅助线构建平行关系，利用平行线的性质转化角度。解题思路：过点B作平行于$ l $的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线同时平行于$ m $，此时$ ∠1 $和$ ∠2 $分别和三角板45°角的两部分互为内错角，再结合已知$ ∠1 $的度数，通过角度和差即可求出$ ∠2 $的度数。
【解析】
解：过点B作$ BD // l $，
∵ $ l // m $（已知），
∴ $ BD // l // m $（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $ ∠1=∠DBC $，$ ∠2=∠ABD $（两直线平行，内错角相等），
∵ 三角板ABC为含45°角的直角三角板，
∴ $ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=45° $，
又
∵ $ ∠1=25° $（已知），
∴ $ ∠DBC=25° $，
∴ $ ∠2=45°-25°=20° $。
【答案】
$ 20° $
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是通过作辅助线建立已知角和未知角的关联，结合三角板的固定角度即可快速求解，能有效考查学生对平行线性质的掌握程度和几何辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，一个四边形纸片$ABCD$，$∠ B = ∠ D = 90°$，把纸片按如图所示方式折叠，使点$B$落在边$AD$上的点$B'$处，$AE$为折痕. 若$∠ C = 120°$，则$∠ AEB =$
60°
.答案
4. 60°
解析
【分析】
解题时首先利用四边形内角和为360°的性质，结合已知的三个内角度数求出∠BAD的度数；再根据折叠的性质，可知折痕AE平分∠BAD，且折叠后对应角相等；最后在直角△ABE中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠AEB的度数。
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
在四边形ABCD中，内角和为360°，已知∠B=90°，∠D=90°，∠C=120°，
所以$∠ BAD = 360° - ∠ B - ∠ C - ∠ D = 360° - 90° - 120° - 90° = 60°$。
2. 利用折叠性质求∠BAE：
由折叠可知$△ ABE ≌ △ AB'E$，因此AE平分∠BAD，
所以$∠ BAE = ∠ B'AE = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
3. 计算∠AEB的度数：
在$Rt△ ABE$中，∠B=90°，直角三角形两锐角和为90°，
所以$∠ AEB = 90° - ∠ BAE = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
四边形内角和，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠类基础题，重点考查多边形内角和与折叠性质的结合应用，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的突破口，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用四边形内角和为360°的性质，结合已知的三个内角度数求出∠BAD的度数；再根据折叠的性质，可知折痕AE平分∠BAD，且折叠后对应角相等；最后在直角△ABE中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算出∠AEB的度数。
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
在四边形ABCD中，内角和为360°，已知∠B=90°，∠D=90°，∠C=120°，
所以$∠ BAD = 360° - ∠ B - ∠ C - ∠ D = 360° - 90° - 120° - 90° = 60°$。
2. 利用折叠性质求∠BAE：
由折叠可知$△ ABE ≌ △ AB'E$，因此AE平分∠BAD，
所以$∠ BAE = ∠ B'AE = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
3. 计算∠AEB的度数：
在$Rt△ ABE$中，∠B=90°，直角三角形两锐角和为90°，
所以$∠ AEB = 90° - ∠ BAE = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
四边形内角和，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠类基础题，重点考查多边形内角和与折叠性质的结合应用，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的突破口，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$AB // CD$，$∠ BFD = 75°$，$∠ EBF = \dfrac{1}{3}∠ ABF$，$∠ EDF = \dfrac{1}{3}∠ CDF$，则$∠ E =$ ______.
答案
5. 50°
解析
【分析】
这是平行线间多拐点的角度计算问题，解题思路如下：1. 遇到平行线间的折线拐点时，过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的内错角相等转化角度关系；2. 先过点F作平行线，推导得到∠BFD等于∠ABF与∠CDF的和，即可得到∠ABF+∠CDF的度数；3. 同理过点E作平行线，推导得到∠E等于∠ABE与∠CDE的和；4. 结合已知的角的比例关系，把∠ABE、∠CDE用∠ABF、∠CDF表示，代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
解：过点F作$FG// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore FG// CD$（平行于同一直线的两直线互相平行）
$\therefore ∠ ABF=∠ BFG$，$∠ CDF=∠ DFG$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ BFD=∠ BFG+∠ DFG=∠ ABF+∠ CDF$
已知$∠ BFD=75°$，可得$∠ ABF+∠ CDF=75°$。
同理，过点E作$EH// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EH// CD$
$\therefore ∠ ABE=∠ BEH$，$∠ CDE=∠ DEH$
$\therefore ∠ E=∠ BEH+∠ DEH=∠ ABE+∠ CDE$
$\because ∠ EBF=\dfrac{1}{3}∠ ABF$，$\therefore ∠ ABE=∠ ABF-∠ EBF=∠ ABF-\dfrac{1}{3}∠ ABF=\dfrac{2}{3}∠ ABF$
同理，$∠ EDF=\dfrac{1}{3}∠ CDF$，$\therefore ∠ CDE=∠ CDF-∠ EDF=\dfrac{2}{3}∠ CDF$
$\therefore ∠ E=\dfrac{2}{3}∠ ABF+\dfrac{2}{3}∠ CDF=\dfrac{2}{3}(∠ ABF+∠ CDF)=\dfrac{2}{3}×75°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题方法是过拐点作平行线转化角度关系，再结合角的比例关系即可求解，需要熟练掌握平行线的性质和辅助线的作法。
【难度系数】
0.6
这是平行线间多拐点的角度计算问题，解题思路如下：1. 遇到平行线间的折线拐点时，过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的内错角相等转化角度关系；2. 先过点F作平行线，推导得到∠BFD等于∠ABF与∠CDF的和，即可得到∠ABF+∠CDF的度数；3. 同理过点E作平行线，推导得到∠E等于∠ABE与∠CDE的和；4. 结合已知的角的比例关系，把∠ABE、∠CDE用∠ABF、∠CDF表示，代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
解：过点F作$FG// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore FG// CD$（平行于同一直线的两直线互相平行）
$\therefore ∠ ABF=∠ BFG$，$∠ CDF=∠ DFG$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ BFD=∠ BFG+∠ DFG=∠ ABF+∠ CDF$
已知$∠ BFD=75°$，可得$∠ ABF+∠ CDF=75°$。
同理，过点E作$EH// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EH// CD$
$\therefore ∠ ABE=∠ BEH$，$∠ CDE=∠ DEH$
$\therefore ∠ E=∠ BEH+∠ DEH=∠ ABE+∠ CDE$
$\because ∠ EBF=\dfrac{1}{3}∠ ABF$，$\therefore ∠ ABE=∠ ABF-∠ EBF=∠ ABF-\dfrac{1}{3}∠ ABF=\dfrac{2}{3}∠ ABF$
同理，$∠ EDF=\dfrac{1}{3}∠ CDF$，$\therefore ∠ CDE=∠ CDF-∠ EDF=\dfrac{2}{3}∠ CDF$
$\therefore ∠ E=\dfrac{2}{3}∠ ABF+\dfrac{2}{3}∠ CDF=\dfrac{2}{3}(∠ ABF+∠ CDF)=\dfrac{2}{3}×75°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题方法是过拐点作平行线转化角度关系，再结合角的比例关系即可求解，需要熟练掌握平行线的性质和辅助线的作法。
【难度系数】
0.6
6. 如图，将一个角为$30°$的三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点$C$在直尺的一边上. 若$∠ 1=30°$，则$∠ 2$的度数为(
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
B
).A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：三角板的直角为90°，直尺的边为直线，对应平角180°。观察图形可知，点C在直尺的边上，∠1、三角板的直角、∠2三个角共同组成一个平角，因此三者之和为180°，代入已知的∠1和直角的度数，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 三角板为直角三角板，直角顶点为C，
∴ ∠ACB=90°，
又
∵ 直尺的边为直线，C点在直尺边上，因此∠1+∠ACB+∠2=180°，
已知∠1=30°，代入得：
30°+90°+∠2=180°，
解得∠2=180°-30°-90°=60°。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义，角度的运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是结合图形梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握平角、直角的度数特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：三角板的直角为90°，直尺的边为直线，对应平角180°。观察图形可知，点C在直尺的边上，∠1、三角板的直角、∠2三个角共同组成一个平角，因此三者之和为180°，代入已知的∠1和直角的度数，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 三角板为直角三角板，直角顶点为C，
∴ ∠ACB=90°，
又
∵ 直尺的边为直线，C点在直尺边上，因此∠1+∠ACB+∠2=180°，
已知∠1=30°，代入得：
30°+90°+∠2=180°，
解得∠2=180°-30°-90°=60°。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义，角度的运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是结合图形梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握平角、直角的度数特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
