6. 下列说法错误的有().
① 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
② 在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③ 一条线段有无数条垂线；
④ 在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. B

【分析】
这道题考查垂线的相关概念与性质，解题时先回忆垂线性质的核心限定条件：只有在同一平面内，过一点（直线上或直线外）才有且只有一条直线垂直于已知直线；再明确线段垂线的定义：只要与线段所在直线垂直的直线，都是该线段的垂线。接下来逐个判断4个说法的正误，统计错误说法的数量即可。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
① 垂线“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的性质，必须限定在同一平面内才成立，该说法没有说明平面范围，空间中过直线上一点可作无数条直线与已知直线垂直，因此①错误；
② 该说法明确限定“在平面内”，符合平面内垂线的性质：平面内过任意一点（含直线外一点）都有且只有一条直线垂直于已知直线，因此②正确；
③ 只要与线段所在直线垂直的直线都属于线段的垂线，垂足可落在线段上或者线段的延长线上，因此一条线段有无数条垂线，③正确；
④ 在平面内，没有“过一点”的限定时，垂直于已知直线的直线有无数条，它们互相平行，因此④错误。
综上，错误的说法是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂线的性质，线段的垂线
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略垂线性质中“同一平面内”“过一点”的前提条件，或是误认为线段的垂线只能垂足落在线段上，只有少数几条，学习时要注意记清概念的限定范围。
【难度系数】
0.7

7. 下列说法正确的是().
① 若两条直线被第三条直线所截，则内错角相等；
② 若平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
③ 三条直线任意两条都不平行，则它们一定有三个交点；
④ 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

A.①②
B.②③④
C.①③④
D.②④

7. D

【分析】
要判断本题的正确选项，需逐一分析4个说法的正误，结合平行线相关定理的适用前提、平面内直线的位置关系特点来判断：首先回忆每个结论成立的条件，判断说法是否遗漏必要前提，再通过逻辑推理或举反例验证对错，最终选出所有正确说法对应的选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本说法未说明两条直线平行，因此结论不成立，①错误；
② 假设平面内这条直线和两条平行线中的另一条不相交，根据同一平面内不相交的两条直线互相平行，可得这条直线与另一条平行线平行，结合平行公理（平行于同一条直线的两条直线互相平行），可推出它也和第一条平行线平行，与“它和两条平行线中的一条相交”矛盾，因此假设不成立，②正确；
③ 若三条直线任意两条都不平行，存在三条直线交于同一点的情况，此时只有1个交点，并非一定有3个交点，③错误；
④ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，与这条直线的夹角均为90°，根据同位角相等两直线平行，可判断这两条直线互相平行，④正确。
综上，正确的说法是②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质与判定；平行公理；平面内直线的位置关系
【点评】
本题重点考查平面内直线位置关系的相关概念与定理，解题时需注意各个结论成立的前提条件，避免因忽略前提、考虑不全面而错选。
【难度系数】
0.7

8. 下面两个角的平分线互相垂直的是().

A.对顶角
B.互补的两个角
C.相邻的两个角
D.互为邻补角的两个角

8. D

【分析】
要判断哪组角的平分线互相垂直，我们可以先回忆各类角的定义，再逐一分析每个选项中两条角平分线的夹角大小：首先明确角平分线会把一个角分成两个相等的小角，若两条平分线垂直，说明它们的夹角为90°，对应两个原角的一半之和为90°，也就是两个原角之和为180°，同时还要满足两个角有公共顶点和公共边，才能让两条平分线的夹角等于两个半角的和，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 对顶角：对顶角大小相等，它们的角平分线在同一条直线上，夹角为180°，不垂直，排除A；
B. 互补的两个角：仅满足两个角的和为180°，但不一定有公共顶点和公共边，角平分线的位置无法确定，不一定垂直，排除B；
C. 相邻的两个角：仅满足有公共顶点和公共边，两个角的和不一定为180°，因此角平分线的夹角等于两个角和的一半，不一定等于90°，排除C；
D. 互为邻补角的两个角：既满足和为180°，又有公共顶点和公共边，角平分线将两个角各分成一半，两个半角的和为180°÷2=90°，因此两条角平分线的夹角为90°，互相垂直，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；垂直的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握各类角的定义，易错点是易误选B或C，忽略互补角不一定相邻、相邻角的和不一定为180°的限制条件。
【难度系数】
0.7

9. 如图, 点 P 在直线 l 外, $PB ⊥ l$ 于点 B, 若 A 为 l 上任意一点, 则 PA 与 PB 的大小关系是().

A.$PA ≤ PB$
B.$PA ＜ PB$
C.$PA ≥ PB$
D.$PA ＞ PB$

9. C

【分析】
解题时先明确图中PB的性质：PB是点P到直线l的垂线段，再结合所学的垂线段相关性质分析，同时要考虑A点和垂足B重合的特殊情况，就能推导出PA和PB的大小关系。
【解析】
根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
本题中$PB⊥ l$，因此PB是点P到直线l的垂线段，PA是连接点P与直线l上点A的线段：
1. 当点A和点B重合时，$PA=PB$；
2. 当点A不与点B重合时，$PA＞PB$。
综上可得$PA\ge PB$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；线段大小比较
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记垂线段最短的性质，注意不要遗漏点A与垂足B重合时二者相等的特殊情况，避免误判成PA恒大于PB。
【难度系数】
0.9

10. 已知线段AB的长为8 cm，若点A，B到直线l的距离分别为5 cm和3 cm，则符合条件的直线l有().

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

10. C

【分析】
解题时可通过分类讨论梳理所有符合条件的直线：首先明确点到直线的距离是指点到直线的垂线段长度，我们分两类情况思考：第一类是直线l不与线段AB相交，第二类是直线l与线段AB相交。第一类情况中，在线段AB的上下两侧各能找到1条满足距离要求的直线；第二类情况中，因为AB总长为8cm，刚好等于5cm与3cm的和，因此线段AB上存在一个点，距离A点5cm、距离B点3cm，过该点作AB的垂线也符合要求，最后汇总两类情况的直线数量即可。
【解析】
我们分两类情况统计符合条件的直线l：
1. 直线l不与线段AB相交：
在线段AB的两侧（上方、下方），各能画出1条直线，使得点A到直线的垂线段长为5cm，点B到直线的垂线段长为3cm，这类情况共2条直线。
2. 直线l与线段AB相交：
已知AB总长为8cm，且5+3=8cm，因此线段AB上存在点C，满足AC=5cm、CB=3cm。过点C作AB的垂线l，此时点A到l的距离就是AC的长度5cm，点B到l的距离就是CB的长度3cm，符合要求，这类情况共1条直线。
综上，符合条件的直线l总共有2+1=3条。
【答案】
C
【知识点】
点到直线的距离；分类讨论思想；垂线的性质
【点评】
这道题考查对距离概念的理解和全面思考的能力，解题时容易漏掉过线段上点的那条垂线，是几何中较为灵活的基础题。
【难度系数】
0.6

三、解答题
11. 如图，点 D 是三角形 ABC 的边 BC 的中点.
(1) 作 $DE ⊥ AC$，垂足为点 E；
(2) 比较线段 BD 与 DE 的大小：BD ______ DE（填“＞”或“＜”）.

11. (1) 如图 (2) ＞

【分析】
(1) 第一问是垂线作图题，可借助三角板的直角完成操作：先将三角板的一条直角边与AC边重合，平移三角板直到另一条直角边经过点D，沿该直角边画线，与AC（或AC的延长线）的交点即为垂足E，即可得到符合要求的DE⊥AC。
(2) 第二问比较线段长度：首先根据中点的性质可得BD和DC长度相等，再结合“垂线段最短”的性质，DE是点D到直线AC的垂线段，DC是点D到AC上点C的斜线段，因此DC长度大于DE，进而可推导得到BD和DE的大小关系。
【解析】
(1) 按照垂线的规范画法，作出DE垂直AC，垂足为E，作图结果如参考图所示。
(2)
∵点D是BC的中点，
∴$\boldsymbol{BD=CD}$。
又
∵$DE⊥ AC$，根据垂线段最短的性质：直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，因此$\boldsymbol{CD＞DE}$。
结合$BD=CD$，可推出$BD＞DE$。
【答案】
(1) 如图 (2) ＞
【知识点】
垂线的画法、线段中点的定义、垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何题，既考查了基本的几何作图能力，也考查了对垂线段性质、中点定义的理解与简单应用，掌握相关基础概念和作图方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85