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5. 如图23-9,已知直线$y=kx+5$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,且点$A$的坐标为$(5,0)$,直线$y=2x-4$交$x$轴于点$D$,与直线$AB$相交于点$C$.
(1)求点$C$的坐标;
(2)根据图象,写出关于$x$的不等式$2x-4＞kx+5$的解集;
(3)求$△ ADC$的面积.
(1)求点$C$的坐标;
(2)根据图象,写出关于$x$的不等式$2x-4＞kx+5$的解集;
(3)求$△ ADC$的面积.
答案
5. (1)$\because$ 直线 $y=kx+5$ 经过点 $A(5,0)$,$\therefore 5k+5=0$. 解得 $k=-1$. $\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=-x+5$. 由 $\begin{cases}y=-x+5, \\y=2x-4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$ $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$.
(2)观察函数图象可知,当 $x＞3$ 时,直线 $y=2x-4$ 在直线 $y=-x+5$ 的上方,$\therefore$ 不等式 $2x-4＞kx+5$ 的解集为 $x＞3$.
(3)当 $y=2x-4=0$ 时,$x=2$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(2,0)$. $\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}(x_A-x_D)· y_C=\dfrac{1}{2}×(5-2)×2=3$.
(2)观察函数图象可知,当 $x＞3$ 时,直线 $y=2x-4$ 在直线 $y=-x+5$ 的上方,$\therefore$ 不等式 $2x-4＞kx+5$ 的解集为 $x＞3$.
(3)当 $y=2x-4=0$ 时,$x=2$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(2,0)$. $\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}(x_A-x_D)· y_C=\dfrac{1}{2}×(5-2)×2=3$.
解析
【分析】
(1) 要求两直线交点C的坐标，首先需先求出直线AB的解析式：已知直线$y=kx+5$过点$A(5,0)$，将A点坐标代入解析式即可求出k的值，得到AB的解析式后，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组就能得到C点坐标。
(2) 不等式$2x-4＞kx+5$的几何意义是直线$y=2x-4$的图象在直线$y=kx+5$图象上方时对应的x的取值范围，结合两直线交点C的横坐标，观察图象即可直接写出解集。
(3) 求$△ ADC$的面积，首先确定D点坐标：D是直线$y=2x-4$与x轴的交点，令y=0求出x即可得到D点坐标；AD边在x轴上，长度为A、D两点横坐标的差，AD边上的高为C点的纵坐标，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) $\because$直线$y=kx+5$经过点$A(5,0)$，将$A(5,0)$代入解析式得：
$5k + 5 = 0$，解得$k = -1$，
$\therefore$直线AB的解析式为$y = -x + 5$。
联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x+5 \\ y=2x-4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3 \\ y=2 \end{cases}$，
$\therefore$点C的坐标为$(3,2)$。
(2) 观察函数图象，两直线交点C的横坐标为3，当$x＞3$时，直线$y=2x-4$在直线$y=-x+5$的上方，
$\therefore$不等式$2x-4＞kx+5$的解集为$x＞3$。
(3) 对于直线$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x - 4 = 0$，解得$x=2$，
$\therefore$点D的坐标为$(2,0)$。
$\because A(5,0)$，$C(3,2)$，AD在x轴上，
$\therefore$AD的长度为$5 - 2 = 3$，AD边上的高为C点的纵坐标2，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AD × y_C = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
【答案】
(1) $\boxed{(3,2)}$；(2) $\boxed{x＞3}$；(3) $\boxed{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握一次函数相关的基础性质，理解函数图象和不等式的对应关系，解题过程中要注意数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求两直线交点C的坐标，首先需先求出直线AB的解析式：已知直线$y=kx+5$过点$A(5,0)$，将A点坐标代入解析式即可求出k的值，得到AB的解析式后，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组就能得到C点坐标。
(2) 不等式$2x-4＞kx+5$的几何意义是直线$y=2x-4$的图象在直线$y=kx+5$图象上方时对应的x的取值范围，结合两直线交点C的横坐标，观察图象即可直接写出解集。
(3) 求$△ ADC$的面积，首先确定D点坐标：D是直线$y=2x-4$与x轴的交点，令y=0求出x即可得到D点坐标；AD边在x轴上，长度为A、D两点横坐标的差，AD边上的高为C点的纵坐标，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) $\because$直线$y=kx+5$经过点$A(5,0)$，将$A(5,0)$代入解析式得：
$5k + 5 = 0$，解得$k = -1$，
$\therefore$直线AB的解析式为$y = -x + 5$。
联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x+5 \\ y=2x-4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3 \\ y=2 \end{cases}$，
$\therefore$点C的坐标为$(3,2)$。
(2) 观察函数图象，两直线交点C的横坐标为3，当$x＞3$时，直线$y=2x-4$在直线$y=-x+5$的上方，
$\therefore$不等式$2x-4＞kx+5$的解集为$x＞3$。
(3) 对于直线$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x - 4 = 0$，解得$x=2$，
$\therefore$点D的坐标为$(2,0)$。
$\because A(5,0)$，$C(3,2)$，AD在x轴上，
$\therefore$AD的长度为$5 - 2 = 3$，AD边上的高为C点的纵坐标2，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AD × y_C = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
【答案】
(1) $\boxed{(3,2)}$；(2) $\boxed{x＞3}$；(3) $\boxed{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握一次函数相关的基础性质，理解函数图象和不等式的对应关系，解题过程中要注意数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.7
四、实际问题与一次函数
1. 甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位:s)之间的关系如图23-10所示.下列说法正确的是(
A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
C.乙无人机上升的速度为8 m/s
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
图23-10 图23-11
1. 甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位:s)之间的关系如图23-10所示.下列说法正确的是(
B
)A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
C.乙无人机上升的速度为8 m/s
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
图23-10 图23-11
答案
1.B
解析
【分析】
这是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先明确两架无人机的初始高度，再结合图像中两者高度相等的时刻，分别计算两架无人机的上升速度，推导高度与上升时间的函数关系式，最后代入对应时间计算高度，逐一验证选项即可得到正确答案。
【解析】
由题意可知：甲无人机初始高度为0m，乙无人机初始高度为20m，两者均匀速上升，高度y与上升时间x满足一次函数关系。
结合图像信息可得，x=5s时，两架无人机高度相同，均为40m。
1. 求甲的速度与高度函数：甲5s上升了40m，上升速度为$40÷5=8\ \mathrm{m/s}$，故甲的高度函数为$y_甲=8x$。
2. 求乙的速度与高度函数：乙5s时高度为40m，上升高度为$40-20=20\ \mathrm{m}$，上升速度为$20÷5=4\ \mathrm{m/s}$，故乙的高度函数为$y_乙=4x+20$。
逐一判断选项：
A. 5s时，甲上升了40m，乙上升了20m，该选项错误；
B. 10s时，$y_甲=8×10=80\ \mathrm{m}$，$y_乙=4×10+20=60\ \mathrm{m}$，高度差为$80-60=20\ \mathrm{m}$，该选项正确；
C. 乙无人机上升速度为4m/s，不是8m/s，该选项错误；
D. 10s时，甲无人机距离地面高度为80m，不是60m，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数实际应用、匀速运动计算、函数图像信息提取
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，核心是从题干和图像中提取有效信息求出两个函数的解析式，再代入数值计算验证，是一次函数板块的常见考法。
【难度系数】
0.7
这是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先明确两架无人机的初始高度，再结合图像中两者高度相等的时刻，分别计算两架无人机的上升速度，推导高度与上升时间的函数关系式，最后代入对应时间计算高度，逐一验证选项即可得到正确答案。
【解析】
由题意可知：甲无人机初始高度为0m，乙无人机初始高度为20m，两者均匀速上升，高度y与上升时间x满足一次函数关系。
结合图像信息可得，x=5s时，两架无人机高度相同，均为40m。
1. 求甲的速度与高度函数：甲5s上升了40m，上升速度为$40÷5=8\ \mathrm{m/s}$，故甲的高度函数为$y_甲=8x$。
2. 求乙的速度与高度函数：乙5s时高度为40m，上升高度为$40-20=20\ \mathrm{m}$，上升速度为$20÷5=4\ \mathrm{m/s}$，故乙的高度函数为$y_乙=4x+20$。
逐一判断选项：
A. 5s时，甲上升了40m，乙上升了20m，该选项错误；
B. 10s时，$y_甲=8×10=80\ \mathrm{m}$，$y_乙=4×10+20=60\ \mathrm{m}$，高度差为$80-60=20\ \mathrm{m}$，该选项正确；
C. 乙无人机上升速度为4m/s，不是8m/s，该选项错误；
D. 10s时，甲无人机距离地面高度为80m，不是60m，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数实际应用、匀速运动计算、函数图像信息提取
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，核心是从题干和图像中提取有效信息求出两个函数的解析式，再代入数值计算验证，是一次函数板块的常见考法。
【难度系数】
0.7
2. 如图23-11,一束光线从点$A(-2,5)$出发,经过$y$轴上的点$B(0,1)$反射后经过点$C(m,n)$,则$2m-n$的值是
-1
.答案
2. $-1$
解析
【分析】
本题是一次函数与光的反射结合的题型，解题思路如下：①根据光的反射性质，入射光线关于反射面（y轴）的对称图形与反射光线共线，因此先找到点A关于y轴的对称点A'，可得A'、B、C三点共线；②用待定系数法求出过A'、B两点的直线解析式；③将点C(m,n)代入解析式，整理变形即可求出2m-n的值。
【解析】
1. 求点A关于y轴的对称点：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知A(-2,5)，因此对称点A'的坐标为(2,5)。
2. 根据光的反射原理，反射光线BC经过点A'，即A'、B、C三点在同一条直线上。
3. 用待定系数法求直线A'B的解析式：
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将B(0,1)、A'(2,5)代入解析式：
把$x=0,y=1$代入得：$b=1$；
把$x=2,y=5,b=1$代入得：$5=2k+1$，解得$k=2$。
因此直线A'B的解析式为$y=2x+1$。
4. 因为点$C(m,n)$在直线$y=2x+1$上，将坐标代入得：$n=2m+1$，移项整理可得$2m-n=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的应用；轴对称的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将轴对称性质与一次函数知识结合，核心是利用光的反射原理找到共线的三点，再通过待定系数法建立m、n的关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与光的反射结合的题型，解题思路如下：①根据光的反射性质，入射光线关于反射面（y轴）的对称图形与反射光线共线，因此先找到点A关于y轴的对称点A'，可得A'、B、C三点共线；②用待定系数法求出过A'、B两点的直线解析式；③将点C(m,n)代入解析式，整理变形即可求出2m-n的值。
【解析】
1. 求点A关于y轴的对称点：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知A(-2,5)，因此对称点A'的坐标为(2,5)。
2. 根据光的反射原理，反射光线BC经过点A'，即A'、B、C三点在同一条直线上。
3. 用待定系数法求直线A'B的解析式：
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将B(0,1)、A'(2,5)代入解析式：
把$x=0,y=1$代入得：$b=1$；
把$x=2,y=5,b=1$代入得：$5=2k+1$，解得$k=2$。
因此直线A'B的解析式为$y=2x+1$。
4. 因为点$C(m,n)$在直线$y=2x+1$上，将坐标代入得：$n=2m+1$，移项整理可得$2m-n=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的应用；轴对称的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将轴对称性质与一次函数知识结合，核心是利用光的反射原理找到共线的三点，再通过待定系数法建立m、n的关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积$ y $(单位:L)与气体温度$ x $(单位:$°\mathrm{C}$)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表所示:
(1)求$ y $与$ x $的函数解析式.
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
(1)求$ y $与$ x $的函数解析式.
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
3. (1)$\because y$ 是 $x$ 的一次函数,$\therefore$ 设 $y=kx+b(k≠0)$. 把 $(25,596)$,$(30,606)$ 分别代入,得 $\begin{cases}25k+b=596, \\30k+b=606.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2, \\b=546.\end{cases}$ $\therefore y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=2x+546$.
(2)当 $y=700$ 时,$2x+546=700$,解得 $x=77$. 答:停止加热时的气体温度为 $77\ \mathrm{° C}$.
(2)当 $y=700$ 时,$2x+546=700$,解得 $x=77$. 答:停止加热时的气体温度为 $77\ \mathrm{° C}$.
解析
【分析】
(1)题目明确说明y与x成一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定函数解析式。
(2)要求气体体积为700L时的温度，只需把$y=700$代入第一问求出的函数解析式中，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的x值，也就是停止加热时的气体温度。
【解析】
(1) 已知y是x的一次函数，设函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
从表格中选取两组数据$(25,596)$、$(30,606)$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}25k+b=596 \\30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$25k+b=596$，得$25×2 +b=596$，解得$b=546$。
因此y与x的函数解析式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积$y=700\ \mathrm{L}$时，代入解析式得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77\ \mathrm{° C}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查待定系数法的使用以及一次函数的代入求值，解题时需要准确从表格中提取对应的数据，计算过程简单，掌握一次函数基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)题目明确说明y与x成一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定函数解析式。
(2)要求气体体积为700L时的温度，只需把$y=700$代入第一问求出的函数解析式中，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的x值，也就是停止加热时的气体温度。
【解析】
(1) 已知y是x的一次函数，设函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
从表格中选取两组数据$(25,596)$、$(30,606)$分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}25k+b=596 \\30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$25k+b=596$，得$25×2 +b=596$，解得$b=546$。
因此y与x的函数解析式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积$y=700\ \mathrm{L}$时，代入解析式得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77\ \mathrm{° C}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心考查待定系数法的使用以及一次函数的代入求值，解题时需要准确从表格中提取对应的数据，计算过程简单，掌握一次函数基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
