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三、一次函数与方程（组）、不等式
1. 如图23-5为一次函数$y = kx + b$的图象,则关于$x$的不等式$k(x - 3) + b ＜ 0$的解集为 （
A.$x ＜ -4$
B.$x ＞ -4$
C.$x ＜ 2$
D.$x ＞ 2$
1. 如图23-5为一次函数$y = kx + b$的图象,则关于$x$的不等式$k(x - 3) + b ＜ 0$的解集为 （
D
）A.$x ＜ -4$
B.$x ＞ -4$
C.$x ＜ 2$
D.$x ＞ 2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时可采用整体换元的思路：首先观察已知一次函数$y=kx+b$的图象，得到函数值小于0时自变量$x$的取值范围；再将待解不等式$k(x-3)+b＜0$中的$(x-3)$看作整体，对应上述一次函数中自变量的取值，列关于$x$的不等式求解即可。
【解析】
首先观察一次函数$y=kx+b$的图象，可得该函数与$x$轴的交点为$(-1,0)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此当$y＜0$即$kx+b＜0$时，自变量$x$的取值范围是$x＜-1$。
待解不等式为$k(x-3)+b＜0$，将$(x-3)$看作整体，可得：
$x-3 ＜ -1$
解这个不等式得：$x ＜ 2$。
因此不等式的解集为$x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数和一元一次不等式的结合应用，运用整体思想将$(x-3)$看作整体可简化计算，解题关键是掌握一次函数函数值小于0时，对应图象位于x轴下方的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时可采用整体换元的思路：首先观察已知一次函数$y=kx+b$的图象，得到函数值小于0时自变量$x$的取值范围；再将待解不等式$k(x-3)+b＜0$中的$(x-3)$看作整体，对应上述一次函数中自变量的取值，列关于$x$的不等式求解即可。
【解析】
首先观察一次函数$y=kx+b$的图象，可得该函数与$x$轴的交点为$(-1,0)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此当$y＜0$即$kx+b＜0$时，自变量$x$的取值范围是$x＜-1$。
待解不等式为$k(x-3)+b＜0$，将$(x-3)$看作整体，可得：
$x-3 ＜ -1$
解这个不等式得：$x ＜ 2$。
因此不等式的解集为$x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数和一元一次不等式的结合应用，运用整体思想将$(x-3)$看作整体可简化计算，解题关键是掌握一次函数函数值小于0时，对应图象位于x轴下方的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
2. 如图23-6,一次函数$y=k_1x+b$经过点$A(0,4)$,与$x$轴交于点$B$,与正比例函数$y=k_2x$交于点$P(1,2)$,则下列结论正确的是 （
A.$k_1 - k_2 ＞ 0$
B.$P$为$AB$的中点
C.方程$k_1x + b = k_2x$的解是$x=2$
D.当$x＜1$时,$k_1x + b ＜ k_2x$
B
）A.$k_1 - k_2 ＞ 0$
B.$P$为$AB$的中点
C.方程$k_1x + b = k_2x$的解是$x=2$
D.当$x＜1$时,$k_1x + b ＜ k_2x$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先利用待定系数法，结合已知点坐标求出两个函数的解析式，再依次验证每个选项：①先代入A、P两点坐标求出一次函数的$k_1$、$b$，代入P点坐标求出正比例函数的$k_2$；②再求一次函数与x轴交点B的坐标，验证P是否为AB中点；③结合一次函数与方程、不等式的关系，判断C、D选项是否正确。
【解析】
1. 求函数解析式：
将点$A(0,4)$代入$y=k_1x+b$，得$b=4$；
再将点$P(1,2)$代入$y=k_1x+4$，得$2=k_1+4$，解得$k_1=-2$；
将点$P(1,2)$代入$y=k_2x$，得$k_2=2$。
2. 逐个验证选项：
选项A：$k_1-k_2=-2-2=-4＜0$，故A错误；
选项B：求点B坐标，令一次函数$y=-2x+4$中$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。AB两点的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{4+0}{2})=(1,2)$，与点P坐标一致，故P是AB中点，B正确；
选项C：方程$k_1x+b=k_2x$的解是两个函数图象交点的横坐标，交点为$P(1,2)$，故解为$x=1$，C错误；
选项D：观察函数图象，当$x＜1$时，一次函数$y=k_1x+b$的图象在$y=k_2x$图象上方，即$k_1x+b＞k_2x$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与方程不等式；一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，需要熟练掌握函数解析式的求解方法，能结合图象判断函数值的大小关系、方程的解等，考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用待定系数法，结合已知点坐标求出两个函数的解析式，再依次验证每个选项：①先代入A、P两点坐标求出一次函数的$k_1$、$b$，代入P点坐标求出正比例函数的$k_2$；②再求一次函数与x轴交点B的坐标，验证P是否为AB中点；③结合一次函数与方程、不等式的关系，判断C、D选项是否正确。
【解析】
1. 求函数解析式：
将点$A(0,4)$代入$y=k_1x+b$，得$b=4$；
再将点$P(1,2)$代入$y=k_1x+4$，得$2=k_1+4$，解得$k_1=-2$；
将点$P(1,2)$代入$y=k_2x$，得$k_2=2$。
2. 逐个验证选项：
选项A：$k_1-k_2=-2-2=-4＜0$，故A错误；
选项B：求点B坐标，令一次函数$y=-2x+4$中$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即$B(2,0)$。AB两点的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{4+0}{2})=(1,2)$，与点P坐标一致，故P是AB中点，B正确；
选项C：方程$k_1x+b=k_2x$的解是两个函数图象交点的横坐标，交点为$P(1,2)$，故解为$x=1$，C错误；
选项D：观察函数图象，当$x＜1$时，一次函数$y=k_1x+b$的图象在$y=k_2x$图象上方，即$k_1x+b＞k_2x$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与方程不等式；一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，需要熟练掌握函数解析式的求解方法，能结合图象判断函数值的大小关系、方程的解等，考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图23-7,直线$y=kx+b$过$A(-1,2),B(-2,0)$两点,则$0≤ kx+b≤ -2x$的解集为________.
图23-7
图23-7
答案
3. $-2≤x≤-1$
解析
【分析】
要解不等式$0≤ kx+b≤ -2x$，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的解析式：已知直线过$A(-1,2)$、$B(-2,0)$两点，用待定系数法代入两点坐标即可求出$k$、$b$的值。再将$k$、$b$代入不等式，转化为一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取公共解集，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：求直线$y=kx+b$的解析式
将$A(-1,2)$、$B(-2,0)$代入$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases} -k + b = 2 \\ -2k + b = 0 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k + b = 0$，解得$b=4$，因此直线解析式为$y=2x+4$。
第二步：解不等式组$0≤2x+4≤-2x$
将不等式拆分为两个不等式：
1. 解$2x+4≥0$：
移项得$2x≥-4$，解得$x≥-2$
2. 解$2x+4≤-2x$：
移项得$2x+2x≤-4$，即$4x≤-4$，解得$x≤-1$
取两个解集的公共部分，得$-2≤x≤-1$。
【答案】
$-2≤x≤-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的解法；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题融合了一次函数解析式求解和不等式组的应用，既可以用代数方法计算，也可以结合函数图像直观判断取值范围，重点考查对一次函数和不等式关联知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解不等式$0≤ kx+b≤ -2x$，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的解析式：已知直线过$A(-1,2)$、$B(-2,0)$两点，用待定系数法代入两点坐标即可求出$k$、$b$的值。再将$k$、$b$代入不等式，转化为一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取公共解集，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：求直线$y=kx+b$的解析式
将$A(-1,2)$、$B(-2,0)$代入$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases} -k + b = 2 \\ -2k + b = 0 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k + b = 0$，解得$b=4$，因此直线解析式为$y=2x+4$。
第二步：解不等式组$0≤2x+4≤-2x$
将不等式拆分为两个不等式：
1. 解$2x+4≥0$：
移项得$2x≥-4$，解得$x≥-2$
2. 解$2x+4≤-2x$：
移项得$2x+2x≤-4$，即$4x≤-4$，解得$x≤-1$
取两个解集的公共部分，得$-2≤x≤-1$。
【答案】
$-2≤x≤-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的解法；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题融合了一次函数解析式求解和不等式组的应用，既可以用代数方法计算，也可以结合函数图像直观判断取值范围，重点考查对一次函数和不等式关联知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两人相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15 min到缆车站,再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(单位:m)与甲登山的时间x(单位:min)之间的函数图象如图23-8所示.
(1)当$15≤x≤40$时,求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数解析式;
(2)求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
(1)当$15≤x≤40$时,求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数解析式;
(2)求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
答案
4. (1)设乙距山脚的垂直高度 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=kx+b$. $\because$ 直线过 $(15,0)$ 和 $(40,300)$,$\therefore \begin{cases}15k+b=0, \\40k+b=300.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=12, \\b=-180.\end{cases}$ $\therefore$ 乙距山脚的垂直高度 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=12x-180$.
(2)当 $25≤x≤60$ 时,设甲的函数解析式为 $y=mx+n$. 将 $(25,160)$ 和 $(60,300)$ 分别代入,得 $\begin{cases}160=25m+n, \\300=60m+n.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=4, \\n=60.\end{cases}$ $\therefore y=4x+60$. 当 $12x-180=4x+60$ 时,$x=30$. $\therefore 12x-180=4x+60=180$. $\therefore$ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 180 m.
(2)当 $25≤x≤60$ 时,设甲的函数解析式为 $y=mx+n$. 将 $(25,160)$ 和 $(60,300)$ 分别代入,得 $\begin{cases}160=25m+n, \\300=60m+n.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=4, \\n=60.\end{cases}$ $\therefore y=4x+60$. 当 $12x-180=4x+60$ 时,$x=30$. $\therefore 12x-180=4x+60=180$. $\therefore$ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 180 m.
解析
【分析】
（1）要求$15≤x≤40$时乙的$y$与$x$的函数解析式，观察图象可知该段为一次函数图象，因此采用待定系数法求解。首先提取该段图象上的两个已知点：$x=15$时乙刚乘坐缆车，高度为0，即点$(15,0)$；$x=40$时乙到达山顶，高度为300m，即点$(40,300)$，将两点代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到解析式。
（2）要求乙乘坐缆车时和甲同一高度的垂直高度，即求两个函数图象交点的纵坐标。首先确定甲在$25≤x≤60$阶段的函数解析式，该段同样为一次函数，提取点$(25,160)$和$(60,300)$，用待定系数法求出甲的解析式，再联立乙和甲的解析式，解方程求出$x$的值，代入解析式即可得到对应的高度。
【解析】
(1) 当$15≤x≤40$时，设乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b$。
由图象可知，函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$，代入得：
$\begin{cases}15k+b=0 \\40k+b=300\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$25k=300$，解得$k=12$，
将$k=12$代入$15k+b=0$，得$15×12 + b=0$，解得$b=-180$。
因此乙的函数解析式为$y=12x-180\quad(15≤x≤40)$。
(2) 当$25≤x≤60$时，设甲的函数解析式为$y=mx+n$。
由图象可知，函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$，代入得：
$\begin{cases}25m+n=160 \\60m+n=300\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$35m=140$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$25m+n=160$，得$25×4 +n=160$，解得$n=60$。
因此甲的函数解析式为$y=4x+60\quad(25≤x≤60)$。
当乙和甲处于同一高度时，两者的$y$值相等，即：
$12x-180=4x+60$
移项得：$8x=240$，解得$x=30$，符合取值范围要求。
将$x=30$代入$y=12x-180$，得$y=12×30 -180=180$。
【答案】
(1) $y=12x-180\quad(15≤x≤40)$
(2) $180\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合登山的实际情境考查一次函数的应用，解题关键是从函数图象中准确提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解对应区间的一次函数解析式，再通过方程思想求解两个函数的交点纵坐标，注重对学生读图能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要求$15≤x≤40$时乙的$y$与$x$的函数解析式，观察图象可知该段为一次函数图象，因此采用待定系数法求解。首先提取该段图象上的两个已知点：$x=15$时乙刚乘坐缆车，高度为0，即点$(15,0)$；$x=40$时乙到达山顶，高度为300m，即点$(40,300)$，将两点代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到解析式。
（2）要求乙乘坐缆车时和甲同一高度的垂直高度，即求两个函数图象交点的纵坐标。首先确定甲在$25≤x≤60$阶段的函数解析式，该段同样为一次函数，提取点$(25,160)$和$(60,300)$，用待定系数法求出甲的解析式，再联立乙和甲的解析式，解方程求出$x$的值，代入解析式即可得到对应的高度。
【解析】
(1) 当$15≤x≤40$时，设乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b$。
由图象可知，函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$，代入得：
$\begin{cases}15k+b=0 \\40k+b=300\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$25k=300$，解得$k=12$，
将$k=12$代入$15k+b=0$，得$15×12 + b=0$，解得$b=-180$。
因此乙的函数解析式为$y=12x-180\quad(15≤x≤40)$。
(2) 当$25≤x≤60$时，设甲的函数解析式为$y=mx+n$。
由图象可知，函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$，代入得：
$\begin{cases}25m+n=160 \\60m+n=300\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$35m=140$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$25m+n=160$，得$25×4 +n=160$，解得$n=60$。
因此甲的函数解析式为$y=4x+60\quad(25≤x≤60)$。
当乙和甲处于同一高度时，两者的$y$值相等，即：
$12x-180=4x+60$
移项得：$8x=240$，解得$x=30$，符合取值范围要求。
将$x=30$代入$y=12x-180$，得$y=12×30 -180=180$。
【答案】
(1) $y=12x-180\quad(15≤x≤40)$
(2) $180\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合登山的实际情境考查一次函数的应用，解题关键是从函数图象中准确提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解对应区间的一次函数解析式，再通过方程思想求解两个函数的交点纵坐标，注重对学生读图能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
