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4. 如图23-12,在矩形电子屏ABCD中,AB=8 m,AD=5 m,一条公益广告画面的动态效果设计如下:动点P从点A出发沿边AB,BC以2 m/s的速度向点C运动,随着DP的移动,画面逐渐展开.
(1)写出展开的画面面积S(单位:m²)关于点P的运动时间t(单位:s)的函数解析式;
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语,播放时间持续3 s,求播放结束时展开的画面面积.
(1)写出展开的画面面积S(单位:m²)关于点P的运动时间t(单位:s)的函数解析式;
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{4}$时开始播放广告语,播放时间持续3 s,求播放结束时展开的画面面积.
答案
4. (1)如图①,当 $0≤t≤4$ 时,$S=S_{△ APD}=\dfrac{1}{2}AP× AD=\dfrac{1}{2}×2t×5=5t$,如图②,当 $4＜ t≤6.5$ 时,$S=5×8-\dfrac{1}{2}×8×(13-2t)=8t-12$. 综上,$S$(单位:$\mathrm{m^2}$)关于点 $P$ 的运动时间 $t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数解析式为 $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤4), \\8t-12(4＜ t≤6.5).\end{cases}$
(2)$S=\dfrac{1}{4}×5×8=10$,当 $5t=10$ 时,$t=2$,$S=8(3+2)-12=28$;当 $8t-12=10$ 时,$t=\dfrac{11}{4}＜4$(不符合题意). 答:播放结束时展开的画面面积是 $28\ \mathrm{m^2}$.
解析
【分析】
本题属于动点类的一次函数实际应用问题，解题思路如下：①先确定动点P的运动阶段分界点：P在AB上运动的总时长为8÷2=4s，在BC上运动的总时长为5÷2=2.5s，总运动时长为6.5s，因此分$0≤t≤4$和$4＜t≤6.5$两个阶段求面积S；②第一阶段P在AB上时，展开画面为直角三角形APD，直接用三角形面积公式即可写出S与t的关系式；第二阶段P在BC上时，展开画面面积等于矩形总面积减去空白三角形DCP的面积，先表示出CP的长度，再用面积差推导关系式；③第二问先算出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，先求对应开始播放的时间t，排除不符合区间的解后，将结束时间（t+3）代入对应阶段的解析式即可求出结束时的面积。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，点P在AB边上运动，$AP = 2t\ \mathrm{m}$
此时展开画面为$△ APD$，面积：
$S = S_{△ APD} = \frac{1}{2} × AP × AD = \frac{1}{2} × 2t × 5 = 5t$
② 当$4 ＜ t ≤ 6.5$时，点P在BC边上运动，点P运动的总路程为$2t\ \mathrm{m}$
则$BP = 2t - 8\ \mathrm{m}$，$CP = BC - BP = 5 - (2t - 8) = (13 - 2t)\ \mathrm{m}$
矩形ABCD的面积为$8 × 5 = 40\ \mathrm{m}^2$，空白$△ DCP$的面积为：
$S_{△ DCP} = \frac{1}{2} × DC × CP = \frac{1}{2} × 8 × (13 - 2t) = 52 - 8t$
因此展开画面面积：
$S = 40 - (52 - 8t) = 8t - 12$
综上可得S与t的函数解析式。
(2) 电子屏总面积为$8 × 5 = 40\ \mathrm{m}^2$，其$\frac{1}{4}$的面积为$40 × \frac{1}{4} = 10\ \mathrm{m}^2$
将$S=10$代入分段函数求解：
代入$S=5t$得：$5t=10$，解得$t=2$，符合$0 ≤ t ≤ 4$的取值范围；
代入$S=8t-12$得：$8t-12=10$，解得$t=\frac{11}{4}=2.75 ＜ 4$，不符合$4 ＜ t ≤ 6.5$的范围，舍去。
因此开始播放广告语的时间为$t=2\ \mathrm{s}$，播放3s后结束时间为$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，$5\ \mathrm{s}$属于$4 ＜ t ≤ 6.5$的区间，代入解析式得：
$S=8 × 5 - 12 = 28\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤4), \\8t-12(4＜ t≤6.5).\end{cases}$
(2) 播放结束时展开的画面面积是$28\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
分段函数，三角形面积计算，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合动点场景考查一次函数的实际应用，核心是根据动点的位置正确划分时间区间，分别推导对应区间的函数表达式，求解时要注意验证解是否符合对应区间的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于动点类的一次函数实际应用问题，解题思路如下：①先确定动点P的运动阶段分界点：P在AB上运动的总时长为8÷2=4s，在BC上运动的总时长为5÷2=2.5s，总运动时长为6.5s，因此分$0≤t≤4$和$4＜t≤6.5$两个阶段求面积S；②第一阶段P在AB上时，展开画面为直角三角形APD，直接用三角形面积公式即可写出S与t的关系式；第二阶段P在BC上时，展开画面面积等于矩形总面积减去空白三角形DCP的面积，先表示出CP的长度，再用面积差推导关系式；③第二问先算出电子屏面积的$\frac{1}{4}$，先求对应开始播放的时间t，排除不符合区间的解后，将结束时间（t+3）代入对应阶段的解析式即可求出结束时的面积。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，点P在AB边上运动，$AP = 2t\ \mathrm{m}$
此时展开画面为$△ APD$，面积：
$S = S_{△ APD} = \frac{1}{2} × AP × AD = \frac{1}{2} × 2t × 5 = 5t$
② 当$4 ＜ t ≤ 6.5$时，点P在BC边上运动，点P运动的总路程为$2t\ \mathrm{m}$
则$BP = 2t - 8\ \mathrm{m}$，$CP = BC - BP = 5 - (2t - 8) = (13 - 2t)\ \mathrm{m}$
矩形ABCD的面积为$8 × 5 = 40\ \mathrm{m}^2$，空白$△ DCP$的面积为：
$S_{△ DCP} = \frac{1}{2} × DC × CP = \frac{1}{2} × 8 × (13 - 2t) = 52 - 8t$
因此展开画面面积：
$S = 40 - (52 - 8t) = 8t - 12$
综上可得S与t的函数解析式。
(2) 电子屏总面积为$8 × 5 = 40\ \mathrm{m}^2$，其$\frac{1}{4}$的面积为$40 × \frac{1}{4} = 10\ \mathrm{m}^2$
将$S=10$代入分段函数求解：
代入$S=5t$得：$5t=10$，解得$t=2$，符合$0 ≤ t ≤ 4$的取值范围；
代入$S=8t-12$得：$8t-12=10$，解得$t=\frac{11}{4}=2.75 ＜ 4$，不符合$4 ＜ t ≤ 6.5$的范围，舍去。
因此开始播放广告语的时间为$t=2\ \mathrm{s}$，播放3s后结束时间为$t=2+3=5\ \mathrm{s}$，$5\ \mathrm{s}$属于$4 ＜ t ≤ 6.5$的区间，代入解析式得：
$S=8 × 5 - 12 = 28\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $S=\begin{cases}5t(0≤ t≤4), \\8t-12(4＜ t≤6.5).\end{cases}$
(2) 播放结束时展开的画面面积是$28\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
分段函数，三角形面积计算，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合动点场景考查一次函数的实际应用，核心是根据动点的位置正确划分时间区间，分别推导对应区间的函数表达式，求解时要注意验证解是否符合对应区间的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
5. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家0.6 km,公园离家1.8 km. 小华从家出发,先匀速步行了6 min到书店,在书店停留了12 min,之后匀速步行了12 min到公园,在公园停留25 min后,再用15 min匀速跑步返回家.图23-13中x(单位:min)表示时间,y(单位:km)表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的关系.
图23-13
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
小华离开家的时间x/min 1 6 18 50
小华离家的距离y/km 0.6
②填空:小华从公园返回家的速度为
③当0≤x≤30时,请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式.
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个x的值,小华离家的距离为y₁(单位:km),小华的妈妈离家的距离为y₂(单位:km),当y₁＜y₂时,求x的取值范围.
图23-13
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
小华离开家的时间x/min 1 6 18 50
小华离家的距离y/km 0.6
②填空:小华从公园返回家的速度为
0.12
km/min;③当0≤x≤30时,请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式.
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个x的值,小华离家的距离为y₁(单位:km),小华的妈妈离家的距离为y₂(单位:km),当y₁＜y₂时,求x的取值范围.
答案
5. (1)①0.1 0.6 1.8 ②0.12 ③$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤6), \\0.6(6＜ x≤18), \\0.1x-1.2(18＜ x≤30).\end{cases}$
(2)妈妈从家到公园所用时间为 $1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$,则小华的妈妈离家的距离为 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示
. $y_2$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_2=0.05x(0≤x≤36)$. 当 $6＜x≤18$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.05x=0.6$,解得 $x=12$. 当 $18＜x≤30$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.1x-1.2=0.05x$,解得 $x=24$. 结合图象可知,当 $y_1＜y_2$ 时,$x$ 的取值范围为 $12＜x＜24$.解析
【分析】
解决本题需结合行程过程分析图象各段的含义，分步求解：
1. 解答(1)①：先计算小华各阶段的运动速度，再判断x所属的时间段，对应计算y值：0~6min步行速度为0.6÷6=0.1km/min，6~18min在书店停留，离家距离不变，30~55min在公园停留，离家距离不变，据此计算对应x的y值；
2. 解答(1)②：公园到家路程为1.8km，返回用时15min，用路程除以时间即可得返回速度；
3. 解答(1)③：分0≤x≤6、6＜x≤18、18＜x≤30三段，分别根据行程关系或待定系数法求每段的函数解析式；
4. 解答(2)：先求出妈妈的函数解析式y₂=0.05x，再分时间段求y₁=y₂的交点，结合图象即可判断y₁＜y₂时x的取值范围。
【解析】
(1)① 小华0~6min的步行速度：$v_1=\frac{0.6}{6}=0.1\ \mathrm{km/min}$，故x=1min时，$y=0.1×1=0.1\ \mathrm{km}$；
x=18min时，小华仍在书店停留，离家距离不变，故y=0.6km；
x=50min时，小华在公园停留（30~55min停留在公园），离家距离为1.8km。
② 小华从公园回家的路程为1.8km，用时15min，故返回速度$v=\frac{1.8}{15}=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③ 当$0≤x≤6$时，小华匀速步行，速度为0.1km/min，故$y=0.1x$；
当$6＜x≤18$时，小华在书店停留，离家距离不变，故$y=0.6$；
当$18＜x≤30$时，设解析式为$y=kx+b$，将点(18,0.6)、(30,1.8)代入得：
$\begin{cases}18k+b=0.6 \\30k+b=1.8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=0.1 \\b=-1.2 \end{cases}$，故$y=0.1x-1.2$。
综上，$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤6), \\0.6(6＜ x≤18), \\0.1x-1.2(18＜ x≤30).\end{cases}$
(2) 妈妈步行到公园的总时间：$1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$，故妈妈的离家距离与时间的函数解析式为$y_2=0.05x(0≤x≤36)$，图象如图所示。
分情况求交点：
当$6＜x≤18$时，令$y_1=y_2$，即$0.05x=0.6$，解得$x=12$；
当$18＜x≤30$时，令$y_1=y_2$，即$0.1x-1.2=0.05x$，解得$x=24$。
结合图象可知，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围为$12＜x＜24$。
【答案】
(1)①0.1 0.6 1.8 ②0.12 ③$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤6), \\0.6(6＜ x≤18), \\0.1x-1.2(18＜ x≤30).\end{cases}$
(2)妈妈从家到公园所用时间为 $1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$,则小华的妈妈离家的距离为 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示. $y_2$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_2=0.05x(0≤x≤36)$. 当 $6＜x≤18$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.05x=0.6$,解得 $x=12$. 当 $18＜x≤30$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.1x-1.2=0.05x$,解得 $x=24$. 结合图象可知,当 $y_1＜y_2$ 时,$x$ 的取值范围为 $12＜x＜24$.
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查一次函数的实际应用，需要学生准确读取图象信息，对不同时间段的函数关系分类讨论，通过求函数交点解决不等式问题，能有效提升学生的读图分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合行程过程分析图象各段的含义，分步求解：
1. 解答(1)①：先计算小华各阶段的运动速度，再判断x所属的时间段，对应计算y值：0~6min步行速度为0.6÷6=0.1km/min，6~18min在书店停留，离家距离不变，30~55min在公园停留，离家距离不变，据此计算对应x的y值；
2. 解答(1)②：公园到家路程为1.8km，返回用时15min，用路程除以时间即可得返回速度；
3. 解答(1)③：分0≤x≤6、6＜x≤18、18＜x≤30三段，分别根据行程关系或待定系数法求每段的函数解析式；
4. 解答(2)：先求出妈妈的函数解析式y₂=0.05x，再分时间段求y₁=y₂的交点，结合图象即可判断y₁＜y₂时x的取值范围。
【解析】
(1)① 小华0~6min的步行速度：$v_1=\frac{0.6}{6}=0.1\ \mathrm{km/min}$，故x=1min时，$y=0.1×1=0.1\ \mathrm{km}$；
x=18min时，小华仍在书店停留，离家距离不变，故y=0.6km；
x=50min时，小华在公园停留（30~55min停留在公园），离家距离为1.8km。
② 小华从公园回家的路程为1.8km，用时15min，故返回速度$v=\frac{1.8}{15}=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③ 当$0≤x≤6$时，小华匀速步行，速度为0.1km/min，故$y=0.1x$；
当$6＜x≤18$时，小华在书店停留，离家距离不变，故$y=0.6$；
当$18＜x≤30$时，设解析式为$y=kx+b$，将点(18,0.6)、(30,1.8)代入得：
$\begin{cases}18k+b=0.6 \\30k+b=1.8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=0.1 \\b=-1.2 \end{cases}$，故$y=0.1x-1.2$。
综上，$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤6), \\0.6(6＜ x≤18), \\0.1x-1.2(18＜ x≤30).\end{cases}$
(2) 妈妈步行到公园的总时间：$1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$，故妈妈的离家距离与时间的函数解析式为$y_2=0.05x(0≤x≤36)$，图象如图所示
。分情况求交点：
当$6＜x≤18$时，令$y_1=y_2$，即$0.05x=0.6$，解得$x=12$；
当$18＜x≤30$时，令$y_1=y_2$，即$0.1x-1.2=0.05x$，解得$x=24$。
结合图象可知，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围为$12＜x＜24$。
【答案】
(1)①0.1 0.6 1.8 ②0.12 ③$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤6), \\0.6(6＜ x≤18), \\0.1x-1.2(18＜ x≤30).\end{cases}$
(2)妈妈从家到公园所用时间为 $1.8÷0.05=36(\mathrm{min})$,则小华的妈妈离家的距离为 $y_2$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示
. $y_2$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_2=0.05x(0≤x≤36)$. 当 $6＜x≤18$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.05x=0.6$,解得 $x=12$. 当 $18＜x≤30$ 时,由 $y_1=y_2$,得 $0.1x-1.2=0.05x$,解得 $x=24$. 结合图象可知,当 $y_1＜y_2$ 时,$x$ 的取值范围为 $12＜x＜24$.【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中的行程场景考查一次函数的实际应用，需要学生准确读取图象信息，对不同时间段的函数关系分类讨论，通过求函数交点解决不等式问题，能有效提升学生的读图分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
