登录
6. 某游泳馆普通票价 20 元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价 600 元/张,每次凭卡不再收费;
②银卡售价 150 元/张,每次凭卡另收 10 元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳 x 次时,所需总费用为 y 元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y 与 x 之间的函数解析式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图 23-14 所示,请求出点 A,B,C 的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
①金卡售价 600 元/张,每次凭卡不再收费;
②银卡售价 150 元/张,每次凭卡另收 10 元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳 x 次时,所需总费用为 y 元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y 与 x 之间的函数解析式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图 23-14 所示,请求出点 A,B,C 的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
答案
6. (1)银卡消费:$y=10x+150$;普通票消费:$y=20x$.
(2)由 $10x+150=20x$,解得 $x=15$,则 $y=300$. $\therefore B(15,300)$. 对于 $y=10x+150$,当 $x=0$ 时,$y=150$. $\therefore A(0,150)$. 由 $y=10x+150=600$,解得 $x=45$,则 $y=600$. $\therefore C(45,600)$.
(3)当 $0＜x＜15$ 时,普通票消费更合算;当 $x=15$ 时,银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;当 $15＜x＜45$ 时,银卡消费更合算;当 $x=45$ 时,金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;当 $x＞45$ 时,金卡消费更合算.
(2)由 $10x+150=20x$,解得 $x=15$,则 $y=300$. $\therefore B(15,300)$. 对于 $y=10x+150$,当 $x=0$ 时,$y=150$. $\therefore A(0,150)$. 由 $y=10x+150=600$,解得 $x=45$,则 $y=600$. $\therefore C(45,600)$.
(3)当 $0＜x＜15$ 时,普通票消费更合算;当 $x=15$ 时,银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;当 $15＜x＜45$ 时,银卡消费更合算;当 $x=45$ 时,金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;当 $x＞45$ 时,金卡消费更合算.
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 列函数解析式时，根据总费用的构成分析：银卡消费总费用=卡的售价+每次消费的费用×次数，普通票总费用=单次票价×次数，代入对应数值即可得到解析式；
(2) 求点坐标时，A点是银卡函数图象与y轴的交点，即x=0时银卡的费用，直接代入银卡解析式计算即可；B点是银卡与普通票函数图象的交点，即两种消费费用相等时的x、y值，联立两个解析式解方程即可；C点是银卡与金卡消费费用相等的点，金卡总费用固定为600元，令银卡解析式的y=600，解出x即可得到C点坐标；
(3) 选择合算的消费方式，就是比较相同x下三个函数的y值大小，函数图象在下方的对应的消费方式费用更低，结合A、B、C三个交点分区间讨论即可。
【解析】
(1) 银卡消费：总费用包含150元卡费和每次10元的消费，因此总费用与次数的关系为$ y = 10x + 150 $；
普通票消费：总费用为每次20元乘消费次数，因此总费用与次数的关系为$ y = 20x $。
(2) 求点A坐标：
点A是银卡函数图象与y轴的交点，即消费次数$ x=0 $，代入$ y=10x+150 $得：$ y=10×0+150=150 $，故$ A(0,150) $。
求点B坐标：
点B是银卡与普通票函数图象的交点，即两种消费的总费用相等，联立两个解析式得：
$ 10x + 150 = 20x $
解得$ x=15 $，代入$ y=20x $得$ y=20×15=300 $，故$ B(15,300) $。
求点C坐标：
点C是银卡与金卡消费总费用相等的点，金卡总费用固定为600元，令$ 10x + 150 = 600 $
解得$ x=45 $，此时$ y=600 $，故$ C(45,600) $。
(3) 根据函数图象中位置越低对应费用越低的规律，结合交点坐标分情况判断：
当$ 0＜x＜15 $时，普通票的函数图象在最下方，普通票消费更合算；
当$ x=15 $时，银卡和普通票的函数值相等，均小于金卡费用，银卡、普通票总费用相同，均比金卡合算；
当$ 15＜x＜45 $时，银卡的函数图象在最下方，银卡消费更合算；
当$ x=45 $时，金卡和银卡的函数值相等，均小于普通票费用，金卡、银卡总费用相同，均比普通票合算；
当$ x＞45 $时，金卡的函数图象在最下方，金卡消费更合算。
【答案】
(1)银卡消费:$ y=10x+150 $;普通票消费:$ y=20x $。
(2)$ A(0,150) $，$ B(15,300) $，$ C(45,600) $。
(3)当$ 0＜x＜15 $时，普通票消费更合算;当$ x=15 $时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算;当$ 15＜x＜45 $时，银卡消费更合算;当$ x=45 $时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算;当$ x＞45 $时，金卡消费更合算。
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象与性质，最优方案选择
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，需要掌握函数解析式的列写方法、函数交点的求解逻辑，能够通过图象比较函数值大小进行方案判断，有助于提升将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 列函数解析式时，根据总费用的构成分析：银卡消费总费用=卡的售价+每次消费的费用×次数，普通票总费用=单次票价×次数，代入对应数值即可得到解析式；
(2) 求点坐标时，A点是银卡函数图象与y轴的交点，即x=0时银卡的费用，直接代入银卡解析式计算即可；B点是银卡与普通票函数图象的交点，即两种消费费用相等时的x、y值，联立两个解析式解方程即可；C点是银卡与金卡消费费用相等的点，金卡总费用固定为600元，令银卡解析式的y=600，解出x即可得到C点坐标；
(3) 选择合算的消费方式，就是比较相同x下三个函数的y值大小，函数图象在下方的对应的消费方式费用更低，结合A、B、C三个交点分区间讨论即可。
【解析】
(1) 银卡消费：总费用包含150元卡费和每次10元的消费，因此总费用与次数的关系为$ y = 10x + 150 $；
普通票消费：总费用为每次20元乘消费次数，因此总费用与次数的关系为$ y = 20x $。
(2) 求点A坐标：
点A是银卡函数图象与y轴的交点，即消费次数$ x=0 $，代入$ y=10x+150 $得：$ y=10×0+150=150 $，故$ A(0,150) $。
求点B坐标：
点B是银卡与普通票函数图象的交点，即两种消费的总费用相等，联立两个解析式得：
$ 10x + 150 = 20x $
解得$ x=15 $，代入$ y=20x $得$ y=20×15=300 $，故$ B(15,300) $。
求点C坐标：
点C是银卡与金卡消费总费用相等的点，金卡总费用固定为600元，令$ 10x + 150 = 600 $
解得$ x=45 $，此时$ y=600 $，故$ C(45,600) $。
(3) 根据函数图象中位置越低对应费用越低的规律，结合交点坐标分情况判断：
当$ 0＜x＜15 $时，普通票的函数图象在最下方，普通票消费更合算；
当$ x=15 $时，银卡和普通票的函数值相等，均小于金卡费用，银卡、普通票总费用相同，均比金卡合算；
当$ 15＜x＜45 $时，银卡的函数图象在最下方，银卡消费更合算；
当$ x=45 $时，金卡和银卡的函数值相等，均小于普通票费用，金卡、银卡总费用相同，均比普通票合算；
当$ x＞45 $时，金卡的函数图象在最下方，金卡消费更合算。
【答案】
(1)银卡消费:$ y=10x+150 $;普通票消费:$ y=20x $。
(2)$ A(0,150) $，$ B(15,300) $，$ C(45,600) $。
(3)当$ 0＜x＜15 $时，普通票消费更合算;当$ x=15 $时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算;当$ 15＜x＜45 $时，银卡消费更合算;当$ x=45 $时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算;当$ x＞45 $时，金卡消费更合算。
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象与性质，最优方案选择
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，需要掌握函数解析式的列写方法、函数交点的求解逻辑，能够通过图象比较函数值大小进行方案判断，有助于提升将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
