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综合练习（一）
一、选择题
1. 设点$A(a,b)$是正比例函数$y=-\dfrac{3}{2}x$图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（
A.$2a+3b=0$
B.$2a-3b=0$
C.$3a-2b=0$
D.$3a+2b=0$
一、选择题
1. 设点$A(a,b)$是正比例函数$y=-\dfrac{3}{2}x$图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（
D
）A.$2a+3b=0$
B.$2a-3b=0$
C.$3a-2b=0$
D.$3a+2b=0$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路：要判断哪个等式成立，首先明确“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一核心关系，因此只需将点A的横纵坐标代入正比例函数解析式，再通过等式变形整理为整式方程，和选项对比即可得到答案。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在正比例函数$y=-\dfrac{3}{2}x$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入函数解析式，得：
$b = -\dfrac{3}{2}a$
等式两边同时乘2，得：
$2b = -3a$
移项可得：
$3a + 2b = 0$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的性质
3. 等式的变形
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象与解析式的对应关系，即图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，代入后正确进行整式变形即可求解，易错点是代入坐标时混淆横纵坐标，或移项时符号出错。
【难度系数】
0.85
解题思路：要判断哪个等式成立，首先明确“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一核心关系，因此只需将点A的横纵坐标代入正比例函数解析式，再通过等式变形整理为整式方程，和选项对比即可得到答案。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在正比例函数$y=-\dfrac{3}{2}x$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入函数解析式，得：
$b = -\dfrac{3}{2}a$
等式两边同时乘2，得：
$2b = -3a$
移项可得：
$3a + 2b = 0$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的性质
3. 等式的变形
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象与解析式的对应关系，即图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，代入后正确进行整式变形即可求解，易错点是代入坐标时混淆横纵坐标，或移项时符号出错。
【难度系数】
0.85
2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$的图象可能是图23-15中的 (
D
)答案
2.D
解析
【分析】
要判断两个一次函数的图象，需结合一次函数y=kx+b的性质：k的符号决定直线的升降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，再通过参数a的取值范围排除错误选项，最后结合交点特征确定正确答案。
首先$a\ne0（$若a=0，两个函数均为y=0，图象重合，不符合选项），因此$a^2＞0$。第一步，第二个函数$y=a^2x+a$的斜率为$a^2＞0$，直线必然上升，可直接排除两条直线均下降的A；第二步，讨论a的符号：若a＞0，第一个函数$y=ax+a^2$的斜率也为正，也应上升，但剩余选项均只有1条上升直线，因此a＜0；第三步，a＜0时，第二个函数的截距为a＜0，因此上升的直线与y轴交于负半轴，排除B；第四步，联立两个函数求交点，可得交点横坐标恒为1，分析C、D：C中交点在x轴上，需满足a=-1，此时两条直线斜率绝对值相等、倾斜程度相同，与C的图象特征矛盾，排除C，剩余D符合特征。
【解析】
解：$\because$两个函数均为一次函数，$\therefore a\ne0$，故$a^2＞0$。
1. 分析第二个函数$y=a^2x+a$：斜率$k=a^2＞0$，因此该直线从左下向右上上升，排除两条直线均下降的选项A。
2. 讨论a的符号：
若a＞0，则第一个函数$y=ax+a^2$的斜率a＞0，也为上升直线，剩余选项B、C、D均只有1条上升直线，不符合，故a＜0。
3. a＜0时，第二个函数$y=a^2x+a$的截距为a＜0，因此上升直线与y轴交于负半轴，排除上升直线交y正半轴的选项B。
4. 联立两个函数解析式求交点：
$ \begin{cases}$
$ y=ax+a^2 \$
$ y=a^2x+a$
$ \end{cases} $得$ax+a^2=a^2x+a$，整理得$(a-a^2)x=a-a^2$，$\because a\ne1（$若a=1，两个函数均为y=x+1，图象重合，不符合选项），$\therefore x=1$，代入得$y=a+a^2$，即交点横坐标恒为1。5. 分析剩余选项C、D： 选项C中交点在x轴上，即y=0，因此$a+a^2=0$，解得a=-1（a=0舍去），此时第一个函数斜率为-1，第二个为1，两条直线斜率绝对值相等、倾斜程度相同，但C中两条直线倾斜程度不同，矛盾，排除C； 选项D中，上升直线更陡（斜率$a^2＞$|a|，对应a＜-1），交点在第一象限$（y=a+a^2＞0$，符合a＜-1的特征），且下降直线交y正半轴、上升直线交y负半轴，均符合a＜0的性质，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数图象与系数关系的典型题型，需要结合斜率、截距的符号分类讨论参数范围，再通过交点特征验证选项，考查了分类讨论思想和数形结合思想，做题时要注意特殊参数值对应的图象特征，避免错选。
【难度系数】
0.6
要判断两个一次函数的图象，需结合一次函数y=kx+b的性质：k的符号决定直线的升降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，再通过参数a的取值范围排除错误选项，最后结合交点特征确定正确答案。
首先$a\ne0（$若a=0，两个函数均为y=0，图象重合，不符合选项），因此$a^2＞0$。第一步，第二个函数$y=a^2x+a$的斜率为$a^2＞0$，直线必然上升，可直接排除两条直线均下降的A；第二步，讨论a的符号：若a＞0，第一个函数$y=ax+a^2$的斜率也为正，也应上升，但剩余选项均只有1条上升直线，因此a＜0；第三步，a＜0时，第二个函数的截距为a＜0，因此上升的直线与y轴交于负半轴，排除B；第四步，联立两个函数求交点，可得交点横坐标恒为1，分析C、D：C中交点在x轴上，需满足a=-1，此时两条直线斜率绝对值相等、倾斜程度相同，与C的图象特征矛盾，排除C，剩余D符合特征。
【解析】
解：$\because$两个函数均为一次函数，$\therefore a\ne0$，故$a^2＞0$。
1. 分析第二个函数$y=a^2x+a$：斜率$k=a^2＞0$，因此该直线从左下向右上上升，排除两条直线均下降的选项A。
2. 讨论a的符号：
若a＞0，则第一个函数$y=ax+a^2$的斜率a＞0，也为上升直线，剩余选项B、C、D均只有1条上升直线，不符合，故a＜0。
3. a＜0时，第二个函数$y=a^2x+a$的截距为a＜0，因此上升直线与y轴交于负半轴，排除上升直线交y正半轴的选项B。
4. 联立两个函数解析式求交点：
$ \begin{cases}$
$ y=ax+a^2 \$
$ y=a^2x+a$
$ \end{cases} $得$ax+a^2=a^2x+a$，整理得$(a-a^2)x=a-a^2$，$\because a\ne1（$若a=1，两个函数均为y=x+1，图象重合，不符合选项），$\therefore x=1$，代入得$y=a+a^2$，即交点横坐标恒为1。5. 分析剩余选项C、D： 选项C中交点在x轴上，即y=0，因此$a+a^2=0$，解得a=-1（a=0舍去），此时第一个函数斜率为-1，第二个为1，两条直线斜率绝对值相等、倾斜程度相同，但C中两条直线倾斜程度不同，矛盾，排除C； 选项D中，上升直线更陡（斜率$a^2＞$|a|，对应a＜-1），交点在第一象限$（y=a+a^2＞0$，符合a＜-1的特征），且下降直线交y正半轴、上升直线交y负半轴，均符合a＜0的性质，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数图象与系数关系的典型题型，需要结合斜率、截距的符号分类讨论参数范围，再通过交点特征验证选项，考查了分类讨论思想和数形结合思想，做题时要注意特殊参数值对应的图象特征，避免错选。
【难度系数】
0.6
3. 如图23-16,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点$A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5)$,则此函数 (
A.当$x＜1$时,y随x的增大而增大
B.当$x＜1$时,y随x的增大而减小
C.当$x＞1$时,y随x的增大而增大
D.当$x＞1$时,y随x的增大而减小
A
)A.当$x＜1$时,y随x的增大而增大
B.当$x＜1$时,y随x的增大而减小
C.当$x＞1$时,y随x的增大而增大
D.当$x＞1$时,y随x的增大而减小
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要明确该函数是分段函数，需按x的取值范围拆分对应的图象段分别分析增减性：第一步先确定各段图象对应的x范围，射线BA对应x＜1的区间，线段BC对应1＜x＜2的区间，射线CD对应x＞2的区间；第二步根据图象走势判断增减性：图象从左到右上升则y随x增大而增大，从左到右下降则y随x增大而减小；第三步逐一对比选项得出正确结论。
【解析】
我们分区间分析函数的增减性：
1. 当x＜1时，对应图象为射线BA：已知A(-1,2)，B(1,3)，x从-1增大到1时，y从2增大到3，图象从左到右上升，因此y随x的增大而增大，故A选项正确，B选项错误。
2. 当x＞1时，包含两段图象：
①1＜x＜2时，对应线段BC：已知B(1,3)，C(2,1)，x增大时y减小，图象从左到右下降，y随x增大而减小；
②x＞2时，对应射线CD：已知C(2,1)，D(6,5)，x增大时y增大，图象从左到右上升，y随x增大而增大。
因此x＞1时，y不是一直增大也不是一直减小，故C、D选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分段函数的图象，一次函数的增减性
【点评】
本题考查根据分段函数的图象判断函数的增减性，解题核心是准确区分不同x区间对应的图象段，结合图象的升降走势判断y随x的变化规律，是对函数图象基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确该函数是分段函数，需按x的取值范围拆分对应的图象段分别分析增减性：第一步先确定各段图象对应的x范围，射线BA对应x＜1的区间，线段BC对应1＜x＜2的区间，射线CD对应x＞2的区间；第二步根据图象走势判断增减性：图象从左到右上升则y随x增大而增大，从左到右下降则y随x增大而减小；第三步逐一对比选项得出正确结论。
【解析】
我们分区间分析函数的增减性：
1. 当x＜1时，对应图象为射线BA：已知A(-1,2)，B(1,3)，x从-1增大到1时，y从2增大到3，图象从左到右上升，因此y随x的增大而增大，故A选项正确，B选项错误。
2. 当x＞1时，包含两段图象：
①1＜x＜2时，对应线段BC：已知B(1,3)，C(2,1)，x增大时y减小，图象从左到右下降，y随x增大而减小；
②x＞2时，对应射线CD：已知C(2,1)，D(6,5)，x增大时y增大，图象从左到右上升，y随x增大而增大。
因此x＞1时，y不是一直增大也不是一直减小，故C、D选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分段函数的图象，一次函数的增减性
【点评】
本题考查根据分段函数的图象判断函数的增减性，解题核心是准确区分不同x区间对应的图象段，结合图象的升降走势判断y随x的变化规律，是对函数图象基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图23-17,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(0,2),B(0,6)$,动点$C$在直线$y=x$上.若以$A,B,C$三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点$C$的个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4.B
解析
【分析】
要解决等腰三角形存在性问题，需先梳理已知条件：点A(0,2)、B(0,6)，可先算出AB长度为4，且AB在y轴上；动点C在直线y=x上，可设C坐标为(x,x)。再按等腰三角形的三种分类逐一讨论：①AB为腰、A为顶点（AB=AC）；②AB为腰、B为顶点（AB=BC）；③AB为底边（AC=BC）。分别列方程求解后，排除无法构成三角形的情况，统计有效C点个数即可。
【解析】
步骤1：计算AB的长度
∵A(0,2)，B(0,6)，两点都在y轴上，
∴AB=6-2=4。
设动点C的坐标为(x,x)（因C在直线y=x上，横纵坐标相等）。
步骤2：分三类讨论等腰三角形的情况
① 当AB=AC=4时：
根据两点间距离公式，$AC=\sqrt{(x-0)^2+(x-2)^2}=4$，两边平方得：
$x^2+(x-2)^2=16$，展开整理得$x^2-2x-6=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-6)=28＞0$，有2个不同的实根，对应2个不共线的有效C点。
② 当AB=BC=4时：
同理$BC=\sqrt{(x-0)^2+(x-6)^2}=4$，两边平方得：
$x^2+(x-6)^2=16$，展开整理得$x^2-6x+10=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，无实根，该情况无符合条件的C点。
③ 当AC=BC时：
此时C在AB的垂直平分线上，AB中点为(0,4)，AB是竖直线段，其垂直平分线为水平线$y=4$。
联立$y=4$和$y=x$，解得$x=4,y=4$，即C(4,4)，该点不与A、B共线，是有效点，共1个。
步骤3：统计有效点个数
总共有$2+0+1=3$个符合条件的C点。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定，两点间距离公式，一次函数图象特征
【点评】
本题属于等腰三角形存在性的常规题型，核心解题思想是分类讨论，需注意不要漏分情况，同时求出点坐标后要验证是否能构成三角形，避免出现三点共线的无效解。
【难度系数】
0.6
要解决等腰三角形存在性问题，需先梳理已知条件：点A(0,2)、B(0,6)，可先算出AB长度为4，且AB在y轴上；动点C在直线y=x上，可设C坐标为(x,x)。再按等腰三角形的三种分类逐一讨论：①AB为腰、A为顶点（AB=AC）；②AB为腰、B为顶点（AB=BC）；③AB为底边（AC=BC）。分别列方程求解后，排除无法构成三角形的情况，统计有效C点个数即可。
【解析】
步骤1：计算AB的长度
∵A(0,2)，B(0,6)，两点都在y轴上，
∴AB=6-2=4。
设动点C的坐标为(x,x)（因C在直线y=x上，横纵坐标相等）。
步骤2：分三类讨论等腰三角形的情况
① 当AB=AC=4时：
根据两点间距离公式，$AC=\sqrt{(x-0)^2+(x-2)^2}=4$，两边平方得：
$x^2+(x-2)^2=16$，展开整理得$x^2-2x-6=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-6)=28＞0$，有2个不同的实根，对应2个不共线的有效C点。
② 当AB=BC=4时：
同理$BC=\sqrt{(x-0)^2+(x-6)^2}=4$，两边平方得：
$x^2+(x-6)^2=16$，展开整理得$x^2-6x+10=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，无实根，该情况无符合条件的C点。
③ 当AC=BC时：
此时C在AB的垂直平分线上，AB中点为(0,4)，AB是竖直线段，其垂直平分线为水平线$y=4$。
联立$y=4$和$y=x$，解得$x=4,y=4$，即C(4,4)，该点不与A、B共线，是有效点，共1个。
步骤3：统计有效点个数
总共有$2+0+1=3$个符合条件的C点。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定，两点间距离公式，一次函数图象特征
【点评】
本题属于等腰三角形存在性的常规题型，核心解题思想是分类讨论，需注意不要漏分情况，同时求出点坐标后要验证是否能构成三角形，避免出现三点共线的无效解。
【难度系数】
0.6
5. 李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图23-18所示的矩形ABCD.设BC边的长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的函数解析式是 (
A.$y=-2x+24(0＜x＜12)$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x+12(0＜x＜24)$
C.$y=2x-24(0＜x＜12)$
D.$y=\dfrac{1}{2}x-12(0＜x＜24)$
B
)A.$y=-2x+24(0＜x＜12)$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x+12(0＜x＜24)$
C.$y=2x-24(0＜x＜12)$
D.$y=\dfrac{1}{2}x-12(0＜x＜24)$
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确篱笆围的是矩形的哪几条边：观察图形可知AD边靠墙不需要篱笆，篱笆围的是AB、BC、CD三边，其中AB和CD长度均为y，BC长度为x，三边总长度为24m。先根据三边总长列等量关系，再变形得到y关于x的函数解析式，最后结合边长为正的实际意义确定x的取值范围即可。
【解析】
由题意得，篱笆总长为AB+BC+CD=24m，其中AB=CD=y m，BC=x m，因此可列等式：
$2y + x = 24$
对等式变形求y：
$2y = 24 - x$
两边同时除以2得：$y = -\frac{1}{2}x + 12$
接下来确定x的取值范围：
① 边长x为正数，故$x＞0$；
② 边长y为正数，故$-\frac{1}{2}x + 12 ＞ 0$，解得$x＜24$。
综上，x的取值范围是$0＜x＜24$，对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 12(0＜x＜24)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形边长关系
【点评】
本题是结合生活实际的一次函数基础题，解题的核心是准确判断篱笆对应的矩形边长，不要误把靠墙的边算入篱笆总长，同时要结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确篱笆围的是矩形的哪几条边：观察图形可知AD边靠墙不需要篱笆，篱笆围的是AB、BC、CD三边，其中AB和CD长度均为y，BC长度为x，三边总长度为24m。先根据三边总长列等量关系，再变形得到y关于x的函数解析式，最后结合边长为正的实际意义确定x的取值范围即可。
【解析】
由题意得，篱笆总长为AB+BC+CD=24m，其中AB=CD=y m，BC=x m，因此可列等式：
$2y + x = 24$
对等式变形求y：
$2y = 24 - x$
两边同时除以2得：$y = -\frac{1}{2}x + 12$
接下来确定x的取值范围：
① 边长x为正数，故$x＞0$；
② 边长y为正数，故$-\frac{1}{2}x + 12 ＞ 0$，解得$x＜24$。
综上，x的取值范围是$0＜x＜24$，对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 12(0＜x＜24)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形边长关系
【点评】
本题是结合生活实际的一次函数基础题，解题的核心是准确判断篱笆对应的矩形边长，不要误把靠墙的边算入篱笆总长，同时要结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中, 已知点$A(2,3),B(4,7)$, 直线$y=kx-k(k≠0)$与线段$AB$有交点, 则$k$的取值范围为
$\dfrac{7}{3}≤ k≤3$
.答案
6. $\dfrac{7}{3}≤ k≤3$
解析
【分析】
首先观察直线解析式$y=kx-k$，可变形为$y=k(x-1)$，可知无论$k$取何非零值，直线恒过定点$P(1,0)$。直线与线段$AB$有交点，说明直线的边界位置刚好经过线段的两个端点$A$、$B$，我们只需要分别求出直线经过$A$、$B$两点时对应的$k$值，即可确定$k$的取值范围。
【解析】
步骤1：确定直线恒过的定点
将直线解析式变形：$y=kx-k=k(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$P(1,0)$。
步骤2：求直线经过点$A$时的$k$值
把点$A(2,3)$代入$y=kx-k$得：
$3 = 2k - k$
解得$k=3$。
步骤3：求直线经过点$B$时的$k$值
把点$B(4,7)$代入$y=kx-k$得：
$7 = 4k - k$
即$3k=7$，解得$k=\frac{7}{3}$。
步骤4：确定$k$的取值范围
因为直线与线段$AB$有交点，所以$k$的取值需介于两个边界值之间，即$\frac{7}{3}≤ k≤3$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}≤ k≤3$
【知识点】
一次函数定点特征；待定系数法；一次函数交点问题
【点评】
本题解题的核心是先挖掘出直线恒过的定点，将动态的直线与线段相交问题转化为边界过端点的取值问题，降低了解题难度，解题时要注意验证端点处的取值是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.6
首先观察直线解析式$y=kx-k$，可变形为$y=k(x-1)$，可知无论$k$取何非零值，直线恒过定点$P(1,0)$。直线与线段$AB$有交点，说明直线的边界位置刚好经过线段的两个端点$A$、$B$，我们只需要分别求出直线经过$A$、$B$两点时对应的$k$值，即可确定$k$的取值范围。
【解析】
步骤1：确定直线恒过的定点
将直线解析式变形：$y=kx-k=k(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$P(1,0)$。
步骤2：求直线经过点$A$时的$k$值
把点$A(2,3)$代入$y=kx-k$得：
$3 = 2k - k$
解得$k=3$。
步骤3：求直线经过点$B$时的$k$值
把点$B(4,7)$代入$y=kx-k$得：
$7 = 4k - k$
即$3k=7$，解得$k=\frac{7}{3}$。
步骤4：确定$k$的取值范围
因为直线与线段$AB$有交点，所以$k$的取值需介于两个边界值之间，即$\frac{7}{3}≤ k≤3$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}≤ k≤3$
【知识点】
一次函数定点特征；待定系数法；一次函数交点问题
【点评】
本题解题的核心是先挖掘出直线恒过的定点，将动态的直线与线段相交问题转化为边界过端点的取值问题，降低了解题难度，解题时要注意验证端点处的取值是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.6
7. 在平面直角坐标系中,已知一次函数$y = 2x + 1$的图象经过$P_1(x_1, y_1)$,$P_2(x_2, y_2)$两点,若$x_1 ＜ x_2$,则$y_1$
＜
(填“＞”“＜”或“=”)$y_2$.答案
7. $＜$
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先确定给定一次函数中$k$的符号，再结合$x_1＜x_2$的条件，就能判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
在一次函数$y = 2x + 1$中，$k=2＞0$，
根据一次函数的性质可知，该函数的$y$值随$x$的增大而增大，
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，直接考查一次函数增减性的应用，熟练掌握$k$的正负与函数增减性的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先确定给定一次函数中$k$的符号，再结合$x_1＜x_2$的条件，就能判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
在一次函数$y = 2x + 1$中，$k=2＞0$，
根据一次函数的性质可知，该函数的$y$值随$x$的增大而增大，
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，直接考查一次函数增减性的应用，熟练掌握$k$的正负与函数增减性的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
8. 如图23-19,直线$y_{1}=k_{1}x$与直线$y_{2}=k_{2}x+b$交于点$A(1,2)$.当$y_{1}＜y_{2}$时,$x$的取值范围是________.
答案
8. $x＜1$
解析
【分析】
要解决一次函数值大小比较的问题，可借助数形结合的思路分析：①首先找到两条直线的交点，交点处两个函数的函数值相等，交点的横坐标是函数值大小关系的分界点；②观察分界点两侧的图像，哪条直线在上方，对应的函数值就更大；③本题中交点A的横坐标为1，只需判断哪一侧$y_1$的图像在$y_2$下方，即可得到$y_1＜y_2$时x的取值范围。
【解析】
∵直线$y_1=k_1x$与直线$y_2=k_2x+b$交于点$A(1,2)$
∴当$x=1$时，$y_1=y_2=2$
观察函数图像可知：当$x＜1$时，直线$y_1=k_1x$位于直线$y_2=k_2x+b$的下方，此时满足$y_1＜y_2$
因此$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
一次函数图像性质、一次函数与不等式、函数交点的意义
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，重点考查利用函数图像解不等式的方法，解题关键是理解函数值大小与图像上下位置的对应关系，熟练运用数形结合思想就能快速求解。
【难度系数】
0.85
要解决一次函数值大小比较的问题，可借助数形结合的思路分析：①首先找到两条直线的交点，交点处两个函数的函数值相等，交点的横坐标是函数值大小关系的分界点；②观察分界点两侧的图像，哪条直线在上方，对应的函数值就更大；③本题中交点A的横坐标为1，只需判断哪一侧$y_1$的图像在$y_2$下方，即可得到$y_1＜y_2$时x的取值范围。
【解析】
∵直线$y_1=k_1x$与直线$y_2=k_2x+b$交于点$A(1,2)$
∴当$x=1$时，$y_1=y_2=2$
观察函数图像可知：当$x＜1$时，直线$y_1=k_1x$位于直线$y_2=k_2x+b$的下方，此时满足$y_1＜y_2$
因此$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
一次函数图像性质、一次函数与不等式、函数交点的意义
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，重点考查利用函数图像解不等式的方法，解题关键是理解函数值大小与图像上下位置的对应关系，熟练运用数形结合思想就能快速求解。
【难度系数】
0.85
