16. [跨学科融合]中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。图①是一个“互”字，图②是由图①抽象成的几何图形，其中$AB// CD$，$MG// FN$，点$E$，$M$，$F$在同一条直线上，点$G$，$N$，$H$在同一条直线上，且$∠ EFN=∠ G$。
(1)$EF$与$GH$平行吗？理由是什么？
(2)试说明：$∠ AEF=∠ GHD$。

16.解:(1)平行。理由如下：
因为$MG// FN$，所以$∠ EFN=∠ EMG$。
因为$∠ EFN=∠ G$，所以$∠ G=∠ EMG$。所以$EF// GH$。
(2)延长$EF$交$CD$于点$P$，如图。
因为$AB// CD$，所以$∠ BEF+∠ MPH=180°$。
由(1)得$EP// GH$，
所以$∠ GHP+∠ MPH=180°$。所以$∠ BEF=∠ GHP$。
因为$∠ BEF=180°-∠ AEF$，$∠ GHP=180°-∠ GHD$，所以$∠ AEF=∠ GHD$。

【分析】
(1)判断两直线平行可通过平行线的判定定理寻找相等的同位角或内错角：已知$MG// FN$，先由平行线的性质得到$∠ EFN$与$∠ EMG$相等，再结合题目给出的$∠ EFN=∠ G$的条件，等量代换得到内错角$∠ EMG=∠ G$，即可推出$EF// GH$。
(2)要证明两个角相等，可通过平行线的性质转化角的关系：通过延长$EF$交$CD$于点$P$构造辅助线，先利用$AB// CD$得到同旁内角互补，再结合(1)中得到的$EF// GH$的结论，得到另一组同旁内角互补，利用同角的补角相等得到$∠ BEF=∠ GHP$，最后结合邻补角的性质，即可推出$∠ AEF=∠ GHD$。
【解析】
(1)$EF$与$GH$平行，推理过程如下：
$\because MG// FN$（已知），
$\therefore ∠ EFN=∠ EMG$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ EFN=∠ G$（已知），
$\therefore ∠ EMG=∠ G$（等量代换），
$\therefore EF// GH$（内错角相等，两直线平行）。
(2)证明：延长$EF$交$CD$于点$P$。
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ BEF + ∠ MPH = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
由(1)可知$EF// GH$，即$EP// GH$，
$\therefore ∠ GHP + ∠ MPH = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ BEF = ∠ GHP$（同角的补角相等），
又$\because ∠ BEF = 180° - ∠ AEF$，$∠ GHP = 180° - ∠ GHD$（邻补角的定义），
$\therefore 180° - ∠ AEF = 180° - ∠ GHD$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ GHD$（等式的性质）。
【答案】
(1)平行。理由如下：
因为$MG// FN$，所以$∠ EFN=∠ EMG$。
因为$∠ EFN=∠ G$，所以$∠ G=∠ EMG$。所以$EF// GH$。
(2)延长$EF$交$CD$于点$P$，如图。
因为$AB// CD$，所以$∠ BEF+∠ MPH=180°$。
由(1)得$EP// GH$，
所以$∠ GHP+∠ MPH=180°$。所以$∠ BEF=∠ GHP$。
因为$∠ BEF=180°-∠ AEF$，$∠ GHP=180°-∠ GHD$，所以$∠ AEF=∠ GHD$。

【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角定义
【点评】
本题结合汉字文化考查平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的相关定理，合理构造辅助线完成角的等量关系转化，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

17.(1)问题发现:如图①,直线AB//CD,连接BE,CE,试说明:∠B+∠C=∠BEC;
(2)拓展探究:如果点E运动到如图②的位置,其他条件不变,试说明:∠B+∠C+∠BEC=360°;
(3)拓展变式:如图③,直线AB//CD,BE平分∠ABF,CE平分∠DCF,∠BEC=132°,则∠BFC=。

假期作业9
年月日 星期

17.解:(1)过点$E$作$EF// AB$，如图①。
因为$AB// DC$，$EF// AB$，所以$EF// DC$，所以$∠ C=∠ CEF$。
因为$EF// AB$，所以$∠ B=∠ BEF$，
所以$∠ B+∠ C=∠ BEF+∠ CEF$，
即$∠ B+∠ C=∠ BEC$。
(2)过点$E$作$EP// AB$，如图②。
因为$AB// DC$，$EP// AB$，所以$EP// DC$，
所以$∠ C+∠ CEP=180°$。
因为$EP// AB$，所以$∠ B+∠ BEP=180°$，
所以$∠ B+∠ BEP+∠ C+∠ CEP=360°$，
即$∠ B+∠ C+∠ BEC=360°$。
(3)因为$BE$平分$∠ ABF$，$CE$平分$∠ DCF$，
所以设$∠ ABE=∠ FBE=α$，$∠ DCE=∠ FCE=β$，
所以$∠ ABF=2α$，$∠ DCF=2β$。
由(1)的结论，得$∠ BEC=∠ ABE+∠ DCE=α+β$。
因为$∠ BEC=132°$，所以$α+β=132°$。
由(2)的结论，得$∠ BFC+∠ ABF+∠ DCF=360°$，
所以$∠ BFC+2α+2β=360°$，
所以$∠ BFC=360°-2(α+β)=360°-2×132°=96°$。
故答案为$96°$。

【分析】
(1) 本题是平行线锯齿型拐角问题，解题关键是过拐点E作平行于AB的辅助线，利用平行线的传递性得辅助线也平行于CD，再结合内错角相等，将∠BEC拆分为分别等于∠B、∠C的两个角，即可完成证明。
(2) 本题为平行线凸型拐角问题，同样过拐点E作AB的平行线，利用平行线同旁内角互补的性质，得到两组和为180°的同旁内角，相加即可得三个角的和为360°。
(3) 本题可直接应用前两问推导的结论，结合角平分线的定义，将∠ABF、∠DCF用与∠BEC相关的量表示，代入第二问的结论即可计算出∠BFC的度数。
【解析】
(1) 过点$E$作$EF// AB$，如图①。
因为$AB// DC$，$EF// AB$，所以$EF// DC$，所以$∠ C=∠ CEF$。
因为$EF// AB$，所以$∠ B=∠ BEF$，
所以$∠ B+∠ C=∠ BEF+∠ CEF$，
即$∠ B+∠ C=∠ BEC$。
(2) 过点$E$作$EP// AB$，如图②。
因为$AB// DC$，$EP// AB$，所以$EP// DC$，
所以$∠ C+∠ CEP=180°$。
因为$EP// AB$，所以$∠ B+∠ BEP=180°$，
所以$∠ B+∠ BEP+∠ C+∠ CEP=360°$，
即$∠ B+∠ C+∠ BEC=360°$。
(3) 因为$BE$平分$∠ ABF$，$CE$平分$∠ DCF$，
所以设$∠ ABE=∠ FBE=α$，$∠ DCE=∠ FCE=β$，
所以$∠ ABF=2α$，$∠ DCF=2β$。
由(1)的结论，得$∠ BEC=∠ ABE+∠ DCE=α+β$。
因为$∠ BEC=132°$，所以$α+β=132°$。
由(2)的结论，得$∠ BFC+∠ ABF+∠ DCF=360°$，
所以$∠ BFC+2α+2β=360°$，
所以$∠ BFC=360°-2(α+β)=360°-2×132°=96°$。
【答案】
$96°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；拐角模型应用
【点评】
本题围绕平行线的性质设置，从基础的辅助线构造、性质证明到已有结论的迁移应用，层层递进，既考查了平行线、角平分线相关基础知识的掌握程度，也锻炼了逻辑推导和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7