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12.(1)画PM//CD，交AB于点M；
(2)画PN⊥CD，垂足为N；
(3)如果∠ACD=118°，那么∠PMC=
(2)画PN⊥CD，垂足为N；
(3)如果∠ACD=118°，那么∠PMC=
62
°。(直接写出结果)答案
12.解:(1)如图,PM即为所求。
(2)如图,PN即为所求。
(3)62
解析
【分析】
本题分为作图和计算两部分：①第(1)(2)问是基础几何作图，作图时分别遵循平行线、垂线的作图规范操作即可；②第(3)问先根据平行关系确定∠ACD和∠PMC是同旁内角，再利用平行线的性质即可计算角度。
【解析】
(1) 用平移法作图：将三角板的一边与直线CD重合，沿直尺平移三角板，使三角板的该边经过点P，沿此边画直线，与AB的交点记为M，PM即为所求平行线。
(2) 用直角三角板作图：将三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段交CD于点N，PN即为所求垂线。
(3) 已知PM//CD，直线AB为截线，因此∠ACD与∠PMC是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠ ACD + ∠ PMC = 180°$
代入$∠ ACD=118°$，计算得$∠ PMC=180°-118°=62°$。
【答案】
(1)如图，PM即为所求；
(2)如图，PN即为所求；
(3)62
【知识点】
平行线的性质；尺规作图；角度计算
【点评】
本题侧重基础能力考查，作图部分要求掌握基本的平行线、垂线作图方法，计算部分需要准确识别平行线被截线形成的角的位置关系，是几何入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题分为作图和计算两部分：①第(1)(2)问是基础几何作图，作图时分别遵循平行线、垂线的作图规范操作即可；②第(3)问先根据平行关系确定∠ACD和∠PMC是同旁内角，再利用平行线的性质即可计算角度。
【解析】
(1) 用平移法作图：将三角板的一边与直线CD重合，沿直尺平移三角板，使三角板的该边经过点P，沿此边画直线，与AB的交点记为M，PM即为所求平行线。
(2) 用直角三角板作图：将三角板的一条直角边与CD重合，移动三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段交CD于点N，PN即为所求垂线。
(3) 已知PM//CD，直线AB为截线，因此∠ACD与∠PMC是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠ ACD + ∠ PMC = 180°$
代入$∠ ACD=118°$，计算得$∠ PMC=180°-118°=62°$。
【答案】
(1)如图，PM即为所求；
(2)如图，PN即为所求；
(3)62
【知识点】
平行线的性质；尺规作图；角度计算
【点评】
本题侧重基础能力考查，作图部分要求掌握基本的平行线、垂线作图方法，计算部分需要准确识别平行线被截线形成的角的位置关系，是几何入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$∠ AOB$的一边$OA$为平面镜，在$OB$上有一点$E$，从点$E$射出一束光线经$OA$上一点$D$反射，反射光线$DC$恰好与$OB$平行，且$∠ ODE$与$∠ ADC$相等。若$∠ AOB=37°$，则$∠ DEB$的度数是（
A.$74°$
B.$75°$
C.$84°$
D.$106°$
A
）A.$74°$
B.$75°$
C.$84°$
D.$106°$
答案
13.A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据反射光线DC与OB平行的条件，利用平行线的同位角相等性质，得到∠ADC和∠AOB的等量关系；再结合题目给出的∠ODE与∠ADC相等的条件，推出∠ODE的度数；最后观察∠DEB的位置，它是△ODE的外角，利用三角形外角的性质即可计算出∠DEB的度数。
【解析】
∵ DC//OB，∠AOB=37°
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”，得∠ADC=∠AOB=37°
又
∵ 已知∠ODE=∠ADC
∴ ∠ODE=37°
∵ ∠DEB是△ODE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠DEB=∠AOB + ∠ODE = 37° + 37° = 74°
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质和三角形外角定理结合考查，解题的关键是找准平行线的同位角，以及所求角作为三角形外角对应的两个不相邻内角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先根据反射光线DC与OB平行的条件，利用平行线的同位角相等性质，得到∠ADC和∠AOB的等量关系；再结合题目给出的∠ODE与∠ADC相等的条件，推出∠ODE的度数；最后观察∠DEB的位置，它是△ODE的外角，利用三角形外角的性质即可计算出∠DEB的度数。
【解析】
∵ DC//OB，∠AOB=37°
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”，得∠ADC=∠AOB=37°
又
∵ 已知∠ODE=∠ADC
∴ ∠ODE=37°
∵ ∠DEB是△ODE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠DEB=∠AOB + ∠ODE = 37° + 37° = 74°
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质和三角形外角定理结合考查，解题的关键是找准平行线的同位角，以及所求角作为三角形外角对应的两个不相邻内角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图,点M,N分别在直线AB,CD上,且AB//CD。若在同一平面内存在一点O,使∠OMB=20°,∠OND=50°,则∠MON=
70°或30°
。答案
14.70°或30°
解析
【分析】
本题未明确点O的位置，需分两种情况讨论：①点O在平行线AB、CD之间；②点O在平行线AB、CD的外侧。解题时先过点O作平行于AB的辅助线，结合AB//CD可得辅助线也平行于CD，再利用平行线内错角相等的性质，分别计算两种情况下∠MON的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当点O在AB、CD之间时：
过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵OE//AB，
∴∠MOE=∠OMB=20°（两直线平行，内错角相等），
∵OE//CD，
∴∠NOE=∠OND=50°（两直线平行，内错角相等），
∴∠MON=∠MOE+∠NOE=20°+50°=70°。
2. 当点O在AB、CD的外侧时：
过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//CD。
同理可得∠MOE=∠OMB=20°，∠NOE=∠OND=50°，
此时∠MON=∠NOE - ∠MOE=50°-20°=30°。
综上，∠MON的度数为70°或30°。
【答案】
70°或30°
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，平行公理推论
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，易错点是忽略点O位置的不确定性，导致漏解。通过作辅助线构造平行线，将未知角转化为已知角的和或差是解题的核心思路，解题时要养成分情况讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.5
本题未明确点O的位置，需分两种情况讨论：①点O在平行线AB、CD之间；②点O在平行线AB、CD的外侧。解题时先过点O作平行于AB的辅助线，结合AB//CD可得辅助线也平行于CD，再利用平行线内错角相等的性质，分别计算两种情况下∠MON的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当点O在AB、CD之间时：
过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∵OE//AB，
∴∠MOE=∠OMB=20°（两直线平行，内错角相等），
∵OE//CD，
∴∠NOE=∠OND=50°（两直线平行，内错角相等），
∴∠MON=∠MOE+∠NOE=20°+50°=70°。
2. 当点O在AB、CD的外侧时：
过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//CD。
同理可得∠MOE=∠OMB=20°，∠NOE=∠OND=50°，
此时∠MON=∠NOE - ∠MOE=50°-20°=30°。
综上，∠MON的度数为70°或30°。
【答案】
70°或30°
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，平行公理推论
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，易错点是忽略点O位置的不确定性，导致漏解。通过作辅助线构造平行线，将未知角转化为已知角的和或差是解题的核心思路，解题时要养成分情况讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.5
15.如图，已知∠3=∠4。
(1)试说明：AB//CD；
(2)若∠8=100°，求∠1，∠6的度数。
(1)试说明：AB//CD；
(2)若∠8=100°，求∠1，∠6的度数。
答案
15.解:(1)因为$∠ 3=∠ 7$，$∠ 4=∠ 5$，$∠ 3=∠ 4$，
所以$∠ 5=∠ 7$，所以$AB// CD$。
(2)因为$∠ 8=100°$，$∠ 2+∠ 8=180°$。所以$∠ 2=80°$。
由(1)知$AB// CD$，所以$∠ 2=∠ 6$，所以$∠ 6=80°$。
因为$∠ 1+∠ 6=180°$，所以$∠ 1=100°$。
所以$∠ 5=∠ 7$，所以$AB// CD$。
(2)因为$∠ 8=100°$，$∠ 2+∠ 8=180°$。所以$∠ 2=80°$。
由(1)知$AB// CD$，所以$∠ 2=∠ 6$，所以$∠ 6=80°$。
因为$∠ 1+∠ 6=180°$，所以$∠ 1=100°$。
解析
【分析】
(1)要判定AB//CD，可通过证明两直线被截线形成的同位角相等实现。已知∠3=∠4，结合对顶角相等的性质，可推导出同位角∠5和∠7相等，即可证明两直线平行。
(2)先根据邻补角和为180°的性质，由∠8的度数求出∠2的度数，再利用(1)得出的AB//CD的结论，结合平行线的性质得到∠6的度数，最后根据∠1和∠6互为邻补角求出∠1的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠3和∠7是对顶角，∠4和∠5是对顶角
∴∠3=∠7，∠4=∠5（对顶角相等）
又
∵已知∠3=∠4
∴∠5=∠7（等量代换）
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
(2) 解：
∵∠2和∠8互为邻补角
∴∠2+∠8=180°（邻补角的定义）
已知∠8=100°，代入得∠2=180°-100°=80°
由(1)知AB//CD，
∴∠6=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠1和∠6互为邻补角，
∴∠1+∠6=180°
代入∠6=80°得∠1=180°-80°=100°
【答案】
(1) AB//CD，证明如上；
(2) ∠1=100°，∠6=80°
【知识点】
对顶角相等，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，综合考查了角的基本性质和平行线的相关定理，解题时需要准确识别对顶角、同位角、邻补角等位置关系，合理运用等量代换完成推导，是巩固平行线相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1)要判定AB//CD，可通过证明两直线被截线形成的同位角相等实现。已知∠3=∠4，结合对顶角相等的性质，可推导出同位角∠5和∠7相等，即可证明两直线平行。
(2)先根据邻补角和为180°的性质，由∠8的度数求出∠2的度数，再利用(1)得出的AB//CD的结论，结合平行线的性质得到∠6的度数，最后根据∠1和∠6互为邻补角求出∠1的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠3和∠7是对顶角，∠4和∠5是对顶角
∴∠3=∠7，∠4=∠5（对顶角相等）
又
∵已知∠3=∠4
∴∠5=∠7（等量代换）
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
(2) 解：
∵∠2和∠8互为邻补角
∴∠2+∠8=180°（邻补角的定义）
已知∠8=100°，代入得∠2=180°-100°=80°
由(1)知AB//CD，
∴∠6=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠1和∠6互为邻补角，
∴∠1+∠6=180°
代入∠6=80°得∠1=180°-80°=100°
【答案】
(1) AB//CD，证明如上；
(2) ∠1=100°，∠6=80°
【知识点】
对顶角相等，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，综合考查了角的基本性质和平行线的相关定理，解题时需要准确识别对顶角、同位角、邻补角等位置关系，合理运用等量代换完成推导，是巩固平行线相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
