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12.目前,某市对市区居民用气户的燃气收费以户为基础、年为计算周期,设定了如表的三个气量阶梯:
(1)某户的家庭人口为3人,年用气量为200 m³,则该年此户需缴纳燃气费用为
(2)某户的家庭人口不超过4人,年用气量为x m³(x＞1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的关系式;
(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气。(结果精确到1 m³)
(1)某户的家庭人口为3人,年用气量为200 m³,则该年此户需缴纳燃气费用为
534
元;(2)某户的家庭人口不超过4人,年用气量为x m³(x＞1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的关系式;
(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气。(结果精确到1 m³)
答案
12.解:(1)534
(2)$y$与$x$的关系式为$y=400×2.67+(1\ 200-400)×3.15+3.63(x-1\ 200)=3.63x-768(x＞1\ 200)$。
(3)因为$400×2.67+(1\ 200-400)×3.15=3\ 588＜3\ 855$,所以甲户该年的用气量达到了第三阶梯。
由(2)知,当$y=3\ 855$时,$3.63x-768=3\ 855$,解得$x≈1\ 273.6$。
因为$2.67×(100+400)+3.15×(1\ 200+200-500)=4\ 170＞3\ 855$,
且$2.67×(100+400)=1\ 335＜3\ 855$,
所以乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯。
设乙户年用气量为$a\ \mathrm{m^3}$,则有$2.67×500+3.15(a-500)=3\ 855$,解得$a=1\ 300$。
所以$1\ 300-1\ 273.6=26.4≈26(\mathrm{m^3})$。
答:该年乙户比甲户多用约26 $\mathrm{m^3}$的燃气。
(2)$y$与$x$的关系式为$y=400×2.67+(1\ 200-400)×3.15+3.63(x-1\ 200)=3.63x-768(x＞1\ 200)$。
(3)因为$400×2.67+(1\ 200-400)×3.15=3\ 588＜3\ 855$,所以甲户该年的用气量达到了第三阶梯。
由(2)知,当$y=3\ 855$时,$3.63x-768=3\ 855$,解得$x≈1\ 273.6$。
因为$2.67×(100+400)+3.15×(1\ 200+200-500)=4\ 170＞3\ 855$,
且$2.67×(100+400)=1\ 335＜3\ 855$,
所以乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯。
设乙户年用气量为$a\ \mathrm{m^3}$,则有$2.67×500+3.15(a-500)=3\ 855$,解得$a=1\ 300$。
所以$1\ 300-1\ 273.6=26.4≈26(\mathrm{m^3})$。
答:该年乙户比甲户多用约26 $\mathrm{m^3}$的燃气。
解析
【分析】
(1) 首先判断家庭人口3人不超过4人，年用气量200m³属于第一阶梯，直接用气量乘第一阶梯单价即可计算费用。
(2) 家庭人口不超过4人时，x＞1200意味着用气量覆盖三个阶梯：先算第一阶梯400m³的费用，再算第二阶梯1200-400=800m³的费用，最后算超过1200m³部分的费用，三者相加再化简即可得到y与x的关系式。
(3) 先计算甲户（3人）前两阶梯的总费用，和3855元对比判断甲户用气量处于第三阶梯，代入(2)的关系式求出甲的用气量；再根据乙户5人，调整第一、二阶梯的上限（各加100、200），计算乙户第一阶梯总费用和前两阶梯总费用，判断乙户用气量处于第二阶梯，列方程求出乙的用气量，最后两者作差取近似值即可。
【解析】
(1) 3人家庭不超过4人，200m³在第一阶梯，费用为：$200×2.67=534$（元）。
(2) 当x＞1200时，费用由三部分组成：
第一阶梯费用：$400×2.67$，
第二阶梯费用：$(1200-400)×3.15$，
第三阶梯费用：$3.63(x-1200)$，
所以$y=400×2.67+(1200-400)×3.15+3.63(x-1200)$，
化简得：$y=3.63x-768（x＞1200）$。
(3) 先计算甲户前两阶梯总费用：$400×2.67+(1200-400)×3.15=1068+2520=3588$元，3588＜3855，说明甲户用气量在第三阶梯。
将y=3855代入$y=3.63x-768$，得：
$3.63x-768=3855$，解得$x≈1273.6$。
乙户5人，比4人多1人，所以第一阶梯上限为$400+100=500$m³，第二阶梯上限为$1200+200=1400$m³。
计算乙户第一阶梯总费用：$2.67×500=1335$元，前两阶梯总费用：$1335+3.15×(1400-500)=1335+2835=4170$元，1335＜3855＜4170，说明乙户用气量在第二阶梯。
设乙户年用气量为$a\ \mathrm{m^3}$，列方程：
$2.67×500+3.15(a-500)=3855$，
解得$a=1300$。
所以乙户比甲户多用气量：$1300-1273.6≈26(\mathrm{m^3})$。
【答案】
(1) $\boxed{534}$
(2) $\boxed{y=3.63x-768(x＞1200)}$
(3) $\boxed{26\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
分段计费问题，一次函数应用，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯燃气收费场景，考查分段计费的计算逻辑，解题关键是先根据家庭人口确定对应阶梯的气量上限，再通过费用区间判断用气量所属的阶梯，再列式或列方程求解，需要注意分类讨论，避免搞错阶梯的计费范围。
【难度系数】
0.6
(1) 首先判断家庭人口3人不超过4人，年用气量200m³属于第一阶梯，直接用气量乘第一阶梯单价即可计算费用。
(2) 家庭人口不超过4人时，x＞1200意味着用气量覆盖三个阶梯：先算第一阶梯400m³的费用，再算第二阶梯1200-400=800m³的费用，最后算超过1200m³部分的费用，三者相加再化简即可得到y与x的关系式。
(3) 先计算甲户（3人）前两阶梯的总费用，和3855元对比判断甲户用气量处于第三阶梯，代入(2)的关系式求出甲的用气量；再根据乙户5人，调整第一、二阶梯的上限（各加100、200），计算乙户第一阶梯总费用和前两阶梯总费用，判断乙户用气量处于第二阶梯，列方程求出乙的用气量，最后两者作差取近似值即可。
【解析】
(1) 3人家庭不超过4人，200m³在第一阶梯，费用为：$200×2.67=534$（元）。
(2) 当x＞1200时，费用由三部分组成：
第一阶梯费用：$400×2.67$，
第二阶梯费用：$(1200-400)×3.15$，
第三阶梯费用：$3.63(x-1200)$，
所以$y=400×2.67+(1200-400)×3.15+3.63(x-1200)$，
化简得：$y=3.63x-768（x＞1200）$。
(3) 先计算甲户前两阶梯总费用：$400×2.67+(1200-400)×3.15=1068+2520=3588$元，3588＜3855，说明甲户用气量在第三阶梯。
将y=3855代入$y=3.63x-768$，得：
$3.63x-768=3855$，解得$x≈1273.6$。
乙户5人，比4人多1人，所以第一阶梯上限为$400+100=500$m³，第二阶梯上限为$1200+200=1400$m³。
计算乙户第一阶梯总费用：$2.67×500=1335$元，前两阶梯总费用：$1335+3.15×(1400-500)=1335+2835=4170$元，1335＜3855＜4170，说明乙户用气量在第二阶梯。
设乙户年用气量为$a\ \mathrm{m^3}$，列方程：
$2.67×500+3.15(a-500)=3855$，
解得$a=1300$。
所以乙户比甲户多用气量：$1300-1273.6≈26(\mathrm{m^3})$。
【答案】
(1) $\boxed{534}$
(2) $\boxed{y=3.63x-768(x＞1200)}$
(3) $\boxed{26\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
分段计费问题，一次函数应用，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯燃气收费场景，考查分段计费的计算逻辑，解题关键是先根据家庭人口确定对应阶梯的气量上限，再通过费用区间判断用气量所属的阶梯，再列式或列方程求解，需要注意分类讨论，避免搞错阶梯的计费范围。
【难度系数】
0.6
