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1.(2025·无锡开学)9 的平方根是 (
A.3
B.－3
C.$\pm 3$
D.$\pm\sqrt{3}$
C
)A.3
B.－3
C.$\pm 3$
D.$\pm\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查平方根的计算，先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的平方根；其次要牢记正数有两个互为相反数的平方根，不能只考虑正的情况。接下来找平方后等于9的数，3的平方是9，-3的平方也是9，即可得出9的平方根。
【解析】
根据平方根的定义：若$x^2=a$，则x为a的平方根。
因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义，正数平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题时要注意区分平方根和算术平方根，正数的平方根有两个，不要漏记负的平方根。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确本题考查平方根的计算，先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的平方根；其次要牢记正数有两个互为相反数的平方根，不能只考虑正的情况。接下来找平方后等于9的数，3的平方是9，-3的平方也是9，即可得出9的平方根。
【解析】
根据平方根的定义：若$x^2=a$，则x为a的平方根。
因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义，正数平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题时要注意区分平方根和算术平方根，正数的平方根有两个，不要漏记负的平方根。
【难度系数】
0.85
2.(2025·海门区月考)有下列各数:$3.1415,\sqrt{8},\frac{12}{7},0.321,-\sqrt{9},π,2.32232223…$(相邻的两个3之间依次多一个2),其中无理数有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
解题的核心是掌握无理数的定义和常见类型，首先回忆无理数的三类常见形式：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但无限不循环的小数。接下来先对带根号的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确概念：无限不循环小数叫做无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。逐个判断各数：
1. $3.1415$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
3. $\frac{12}{7}$是分数，属于有理数；
4. $0.321$是有限小数，属于有理数；
5. $-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数；
6. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
7. $2.32232223…$（相邻两个3之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、实数的分类、二次根式化简
【点评】
本题重点考查对无理数概念的辨识，易错点是忽略带根号的数需先化简再判断，或是误将有规律的无限不循环小数归为有理数，牢记无理数的三类常见形式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握无理数的定义和常见类型，首先回忆无理数的三类常见形式：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但无限不循环的小数。接下来先对带根号的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确概念：无限不循环小数叫做无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。逐个判断各数：
1. $3.1415$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
3. $\frac{12}{7}$是分数，属于有理数；
4. $0.321$是有限小数，属于有理数；
5. $-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数；
6. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
7. $2.32232223…$（相邻两个3之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、实数的分类、二次根式化简
【点评】
本题重点考查对无理数概念的辨识，易错点是忽略带根号的数需先化简再判断，或是误将有规律的无限不循环小数归为有理数，牢记无理数的三类常见形式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法中,错误的是（
A.0 的平方根是 0
B.1 的立方根是 1
C.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm 4$
D.2 是 4 的算术平方根
C
）A.0 的平方根是 0
B.1 的立方根是 1
C.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm 4$
D.2 是 4 的算术平方根
答案
3.C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需结合平方根、立方根、算术平方根的定义逐一验证，尤其注意带根号的数要先化简再计算它的平方根，避免直接把根号下的数当作计算对象出错。解题时先回忆三类根的定义，再逐个分析选项，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 根据平方根的定义，0的平方根是0，该说法正确，不符合题意；
B. 根据立方根的定义，$1^3=1$，且立方根具有唯一性，因此1的立方根是1，该说法正确，不符合题意；
C. 先化简$\sqrt{16}=4$，再求4的平方根：正数的平方根有两个，互为相反数，即4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$，该说法错误，符合题意；
D. 根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此4的算术平方根是2，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方根，立方根，算术平方根
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对平方根、立方根、算术平方根定义的理解，易错点是求解带根号数的平方根时，未先对根号式化简直接计算，做题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记正数有两个互为相反数的平方根、立方根仅有一个的性质。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，需结合平方根、立方根、算术平方根的定义逐一验证，尤其注意带根号的数要先化简再计算它的平方根，避免直接把根号下的数当作计算对象出错。解题时先回忆三类根的定义，再逐个分析选项，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 根据平方根的定义，0的平方根是0，该说法正确，不符合题意；
B. 根据立方根的定义，$1^3=1$，且立方根具有唯一性，因此1的立方根是1，该说法正确，不符合题意；
C. 先化简$\sqrt{16}=4$，再求4的平方根：正数的平方根有两个，互为相反数，即4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$，该说法错误，符合题意；
D. 根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此4的算术平方根是2，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方根，立方根，算术平方根
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对平方根、立方根、算术平方根定义的理解，易错点是求解带根号数的平方根时，未先对根号式化简直接计算，做题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，牢记正数有两个互为相反数的平方根、立方根仅有一个的性质。
【难度系数】
0.7
4.(2025·鼓楼区一模)整数$a$满足$\sqrt{17}＜a＜\sqrt{27}$,则$a$的值为 （
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：找出满足$\sqrt{17} ＜ a ＜ \sqrt{27}$的整数$a$。核心思路是先估算两个无理数的取值范围：通过找到被开方数相邻的完全平方数，就能确定对应算术平方根的范围，再从范围内筛选出整数即可。
【解析】
先计算相邻整数的平方，确定两个无理数的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，$6^2=36$
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
同时$\sqrt{25}＜\sqrt{27}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{27}＜6$
结合条件$\sqrt{17}＜a＜\sqrt{27}$，可知$a$的取值范围为大于4且小于6，又因为$a$是整数，因此$a=5$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握利用完全平方数估算无理数大小的方法，只要准确确定两个无理数的取值范围，就能快速筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目要求：找出满足$\sqrt{17} ＜ a ＜ \sqrt{27}$的整数$a$。核心思路是先估算两个无理数的取值范围：通过找到被开方数相邻的完全平方数，就能确定对应算术平方根的范围，再从范围内筛选出整数即可。
【解析】
先计算相邻整数的平方，确定两个无理数的范围：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，$6^2=36$
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
同时$\sqrt{25}＜\sqrt{27}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{27}＜6$
结合条件$\sqrt{17}＜a＜\sqrt{27}$，可知$a$的取值范围为大于4且小于6，又因为$a$是整数，因此$a=5$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握利用完全平方数估算无理数大小的方法，只要准确确定两个无理数的取值范围，就能快速筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
5. 正整数$a,b$分别满足$\sqrt[3]{53}＜ a＜ \sqrt[3]{98}$，$\sqrt{2}＜ b＜ \sqrt{7}$，则$b^a=$ （
A.4
B.8
C.9
D.16
D
）A.4
B.8
C.9
D.16
答案
5.D
解析
【分析】
本题需要先确定正整数a、b的取值，再计算$b^a$的值。解题思路为：先通过立方数、平方数估算三次根号、二次根号对应无理数的大小范围，再结合a、b是正整数的条件确定唯一符合条件的a、b，最后代入乘方运算即可。
【解析】
第一步：确定正整数a的取值
已知$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，因此：
$\sqrt[3]{27}=3＜\sqrt[3]{53}＜\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{64}=4＜\sqrt[3]{98}＜\sqrt[3]{125}=5$
结合$\sqrt[3]{53}＜a＜\sqrt[3]{98}$且a是正整数，可得$a=4$。
第二步：确定正整数b的取值
已知$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，因此：
$\sqrt{1}=1＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}=2$，$\sqrt{4}=2＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}=3$
结合$\sqrt{2}＜b＜\sqrt{7}$且b是正整数，可得$b=2$。
第三步：计算$b^a$
将$a=4$、$b=2$代入得：$b^a=2^4=16$。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；乘方运算
【点评】
本题核心是估算无理数的取值范围，解题关键是利用已知的平方数、立方数确定根号对应无理数的边界，从而筛选出符合条件的正整数，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题需要先确定正整数a、b的取值，再计算$b^a$的值。解题思路为：先通过立方数、平方数估算三次根号、二次根号对应无理数的大小范围，再结合a、b是正整数的条件确定唯一符合条件的a、b，最后代入乘方运算即可。
【解析】
第一步：确定正整数a的取值
已知$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，因此：
$\sqrt[3]{27}=3＜\sqrt[3]{53}＜\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{64}=4＜\sqrt[3]{98}＜\sqrt[3]{125}=5$
结合$\sqrt[3]{53}＜a＜\sqrt[3]{98}$且a是正整数，可得$a=4$。
第二步：确定正整数b的取值
已知$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，因此：
$\sqrt{1}=1＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}=2$，$\sqrt{4}=2＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}=3$
结合$\sqrt{2}＜b＜\sqrt{7}$且b是正整数，可得$b=2$。
第三步：计算$b^a$
将$a=4$、$b=2$代入得：$b^a=2^4=16$。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；乘方运算
【点评】
本题核心是估算无理数的取值范围，解题关键是利用已知的平方数、立方数确定根号对应无理数的边界，从而筛选出符合条件的正整数，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
6.(2025·鼓楼区月考)比较大小：$\sqrt[3]{27}$______2.(填“＞”或“＜”)
答案
6.＞
解析
【分析】
要比较$\sqrt[3]{27}$和2的大小，首先需先化简$\sqrt[3]{27}$，根据立方根的定义找到立方等于27的数，得到$\sqrt[3]{27}$的具体数值后，再和2比较大小即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
因为$3^3=3×3×3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
又因为$3＞2$，因此$\sqrt[3]{27}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
立方根的计算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查立方根的化简和实数大小比较的方法，熟练掌握常见整数的立方结果就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要比较$\sqrt[3]{27}$和2的大小，首先需先化简$\sqrt[3]{27}$，根据立方根的定义找到立方等于27的数，得到$\sqrt[3]{27}$的具体数值后，再和2比较大小即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
因为$3^3=3×3×3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
又因为$3＞2$，因此$\sqrt[3]{27}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
立方根的计算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查立方根的化简和实数大小比较的方法，熟练掌握常见整数的立方结果就能快速求解。
【难度系数】
0.9
7.$\sqrt{3} - 2$ 的绝对值是________.
答案
7.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算一个数的绝对值，首先需要回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。因此解题第一步要判断绝对值内的式子$\sqrt{3}-2$的正负性：我们知道$\sqrt{3}\approx1.732$，比2小，因此$\sqrt{3}-2$是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数，即可计算出结果。
【解析】
首先比较$\sqrt{3}$和2的大小：
∵$\sqrt{3}\approx1.732＜2$
∴$\sqrt{3}-2＜0$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left|\sqrt{3}-2\right|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的性质，实数的大小比较
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题的核心是先判断绝对值内部代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算，掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
要计算一个数的绝对值，首先需要回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。因此解题第一步要判断绝对值内的式子$\sqrt{3}-2$的正负性：我们知道$\sqrt{3}\approx1.732$，比2小，因此$\sqrt{3}-2$是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数，即可计算出结果。
【解析】
首先比较$\sqrt{3}$和2的大小：
∵$\sqrt{3}\approx1.732＜2$
∴$\sqrt{3}-2＜0$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left|\sqrt{3}-2\right|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的性质，实数的大小比较
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题的核心是先判断绝对值内部代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算，掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
8.若$a,b$互为相反数，$c$为$8$的立方根，则$2a+2b-c=$
-2
.答案
8.-2
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和立方根的相关性质，第一步，根据互为相反数的两个数之和为0，得到a+b的值；第二步，根据立方根的定义求出c的值；第三步，观察所求代数式2a+2b-c的结构，可提取公因式2将其变形为2(a+b)-c，最后代入a+b和c的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0，
∵c是8的立方根，
∴$c = \sqrt[3]{8} = 2$，
对代数式变形可得：$2a + 2b - c = 2(a + b) - c$，
将$a+b=0$，$c=2$代入上式得：
原式$= 2×0 - 2 = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
相反数的性质，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对基础概念的理解与应用，解题的核心是熟练掌握相反数、立方根的性质，通过对代数式合理变形后代入数值计算即可，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相反数和立方根的相关性质，第一步，根据互为相反数的两个数之和为0，得到a+b的值；第二步，根据立方根的定义求出c的值；第三步，观察所求代数式2a+2b-c的结构，可提取公因式2将其变形为2(a+b)-c，最后代入a+b和c的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0，
∵c是8的立方根，
∴$c = \sqrt[3]{8} = 2$，
对代数式变形可得：$2a + 2b - c = 2(a + b) - c$，
将$a+b=0$，$c=2$代入上式得：
原式$= 2×0 - 2 = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
相反数的性质，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对基础概念的理解与应用，解题的核心是熟练掌握相反数、立方根的性质，通过对代数式合理变形后代入数值计算即可，计算量小。
【难度系数】
0.8
9.若实数$m,n$满足$|m-n-5|+\sqrt{2m+n-4}=0$,则$3m+n=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
9.7
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，即|a|≥0，√a≥0（a≥0）。当两个非负数的和为0时，说明每个非负数的值都为0，由此可以列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值后，代入3m+n计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ |m-n-5|≥0，$\sqrt{2m+n-4}$≥0，且$|m-n-5|+\sqrt{2m+n-4}=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m - n - 5 = 0 ①\\2m + n - 4 = 0 ②\end{cases}$
①+②得：$3m - 9 = 0$，解得$m=3$
把$m=3$代入①得：$3 - n - 5 = 0$，解得$n=-2$
将$m=3$，$n=-2$代入$3m+n$得：$3×3 + (-2)=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类题目，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，据此列方程组求解相关未知数后代入计算即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，即|a|≥0，√a≥0（a≥0）。当两个非负数的和为0时，说明每个非负数的值都为0，由此可以列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值后，代入3m+n计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ |m-n-5|≥0，$\sqrt{2m+n-4}$≥0，且$|m-n-5|+\sqrt{2m+n-4}=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m - n - 5 = 0 ①\\2m + n - 4 = 0 ②\end{cases}$
①+②得：$3m - 9 = 0$，解得$m=3$
把$m=3$代入①得：$3 - n - 5 = 0$，解得$n=-2$
将$m=3$，$n=-2$代入$3m+n$得：$3×3 + (-2)=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类题目，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，据此列方程组求解相关未知数后代入计算即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
10.计算:$(π - 3.14)^{0}+\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
10.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是实数的混合运算题，可拆分两个部分分别计算再求和：①首先处理零指数幂部分，回忆零指数幂的运算法则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$π-3.14$的正负，$π\approx3.14159$，所以$π-3.14＞0$，满足非零条件，可得这部分结果为1；②再处理二次根式部分，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式转化为$|\sqrt{2}-1|$，再判断$\sqrt{2}$和1的大小，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以去绝对值后结果为$\sqrt{2}-1$；最后将两部分结果相加化简即可得到最终答案。
【解析】
解：根据零指数幂的性质、二次根式的性质计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 + |\sqrt{2}-1|\\&=1 + (\sqrt{2}-1)\\&=1+\sqrt{2}-1\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
零指数幂运算、二次根式的化简、绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题，核心考查对零指数幂的取值条件、二次根式化简规则的掌握，解题时需注意先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.8
本题是实数的混合运算题，可拆分两个部分分别计算再求和：①首先处理零指数幂部分，回忆零指数幂的运算法则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$π-3.14$的正负，$π\approx3.14159$，所以$π-3.14＞0$，满足非零条件，可得这部分结果为1；②再处理二次根式部分，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式转化为$|\sqrt{2}-1|$，再判断$\sqrt{2}$和1的大小，$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以去绝对值后结果为$\sqrt{2}-1$；最后将两部分结果相加化简即可得到最终答案。
【解析】
解：根据零指数幂的性质、二次根式的性质计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1 + |\sqrt{2}-1|\\&=1 + (\sqrt{2}-1)\\&=1+\sqrt{2}-1\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
零指数幂运算、二次根式的化简、绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题，核心考查对零指数幂的取值条件、二次根式化简规则的掌握，解题时需注意先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.8
11.如图,实数$-\sqrt{5},\sqrt{15},m$在数轴上所对应的点分别为$A,B,C$,点$B$关于原点$O$的对称点为$D$.若$m$为整数,则$m$的值为________.
答案
11.-3
解析
【分析】
要确定整数m的值，首先需明确m的取值范围：①先根据“关于原点对称的两点表示的数互为相反数”，求出点D对应的数；②结合数轴可知点C在D、A之间，因此m介于点D、A表示的数之间；③估算-√15和-√5的取值范围，找出范围内的整数即可得到m的值。
【解析】
∵点B表示的数为√15，点B关于原点O的对称点为D，
∴点D表示的数为-√15。
由数轴可知，点C在点D和点A之间，点A表示的数为-√5，
∴-√15 ＜ m ＜ -√5。
∵9 ＜ 15 ＜ 16，
∴√9 ＜ √15 ＜ √16，即3 ＜ √15 ＜ 4，
∴-4 ＜ -√15 ＜ -3。
∵4 ＜ 5 ＜ 9，
∴√4 ＜ √5 ＜ √9，即2 ＜ √5 ＜ 3，
∴-3 ＜ -√5 ＜ -2。
综上可得-4 ＜ m ＜ -2，
又
∵m为整数，
∴m = -3。
【答案】
-3
【知识点】
实数与数轴；无理数估算；相反数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先结合数轴和对称性质确定m的取值范围，再通过估算无理数的大小锁定符合条件的整数，熟练掌握无理数的估算方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定整数m的值，首先需明确m的取值范围：①先根据“关于原点对称的两点表示的数互为相反数”，求出点D对应的数；②结合数轴可知点C在D、A之间，因此m介于点D、A表示的数之间；③估算-√15和-√5的取值范围，找出范围内的整数即可得到m的值。
【解析】
∵点B表示的数为√15，点B关于原点O的对称点为D，
∴点D表示的数为-√15。
由数轴可知，点C在点D和点A之间，点A表示的数为-√5，
∴-√15 ＜ m ＜ -√5。
∵9 ＜ 15 ＜ 16，
∴√9 ＜ √15 ＜ √16，即3 ＜ √15 ＜ 4，
∴-4 ＜ -√15 ＜ -3。
∵4 ＜ 5 ＜ 9，
∴√4 ＜ √5 ＜ √9，即2 ＜ √5 ＜ 3，
∴-3 ＜ -√5 ＜ -2。
综上可得-4 ＜ m ＜ -2，
又
∵m为整数，
∴m = -3。
【答案】
-3
【知识点】
实数与数轴；无理数估算；相反数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先结合数轴和对称性质确定m的取值范围，再通过估算无理数的大小锁定符合条件的整数，熟练掌握无理数的估算方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
12.对于任何实数$ a $，可用$[a]$表示不超过$ a $的最大整数，如$[4]=4$，$[\sqrt{3}]=1$。现对72进行如下操作：$72\xrightarrow{\mathrm{第一次}} [\sqrt{72}]=8\xrightarrow{\mathrm{第二次}} [\sqrt{8}]=2\xrightarrow{\mathrm{第三次}} [\sqrt{2}]=1$，这样对72进行3次操作后变为1。类似地，对81进行3次操作后变为1。那么只需进行3次操作就可变为1的所有正整数中，最大的是\underline{\hspace{3em}}。
答案
12.255
解析
【分析】
本题是新定义类运算题，核心是理解$[a]$表示不超过$a$的最大整数这一规则。如果正向枚举找仅3次操作变1的最大正整数，计算量太大，因此采用倒推法更简便：从第三次操作后得到1的结果出发，反向推导每次操作前的数的取值范围，每一步都取该阶段的最大可能值，最终就能得到初始正整数的最大值。
【解析】
我们按照操作顺序倒推：
1. 第三次操作后结果为1，设第三次操作的输入为$m$，则$[\sqrt{m}]=1$。根据取整规则，可得：
$1 ≤ \sqrt{m} ＜ 2$，两边平方得$1 ≤ m ＜ 4$，即第二次操作的输出最大为3。
2. 设第二次操作的输入为$k$，则$[\sqrt{k}]=m$，要让$k$最大，取$m$的最大值3，因此：
$3 ≤ \sqrt{k} ＜ 4$，两边平方得$9 ≤ k ＜ 16$，即第一次操作的输出最大为15。
3. 设初始正整数为$n$，则$[\sqrt{n}]=k$，要让$n$最大，取$k$的最大值15，因此：
$15 ≤ \sqrt{n} ＜ 16$，两边平方得$225 ≤ n ＜ 256$。
因为$n$是正整数，所以$n$的最大值为255。
【答案】
255
【知识点】
新定义运算，实数的估算，不等式的应用
【点评】
解决这类新定义取整问题的关键是准确理解取整符号的含义，将取整运算转化为对应的不等关系，采用倒推法能快速缩小初始数的取值范围，避免正向枚举的繁琐，解题时要特别注意不等号的边界是否包含等号。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类运算题，核心是理解$[a]$表示不超过$a$的最大整数这一规则。如果正向枚举找仅3次操作变1的最大正整数，计算量太大，因此采用倒推法更简便：从第三次操作后得到1的结果出发，反向推导每次操作前的数的取值范围，每一步都取该阶段的最大可能值，最终就能得到初始正整数的最大值。
【解析】
我们按照操作顺序倒推：
1. 第三次操作后结果为1，设第三次操作的输入为$m$，则$[\sqrt{m}]=1$。根据取整规则，可得：
$1 ≤ \sqrt{m} ＜ 2$，两边平方得$1 ≤ m ＜ 4$，即第二次操作的输出最大为3。
2. 设第二次操作的输入为$k$，则$[\sqrt{k}]=m$，要让$k$最大，取$m$的最大值3，因此：
$3 ≤ \sqrt{k} ＜ 4$，两边平方得$9 ≤ k ＜ 16$，即第一次操作的输出最大为15。
3. 设初始正整数为$n$，则$[\sqrt{n}]=k$，要让$n$最大，取$k$的最大值15，因此：
$15 ≤ \sqrt{n} ＜ 16$，两边平方得$225 ≤ n ＜ 256$。
因为$n$是正整数，所以$n$的最大值为255。
【答案】
255
【知识点】
新定义运算，实数的估算，不等式的应用
【点评】
解决这类新定义取整问题的关键是准确理解取整符号的含义，将取整运算转化为对应的不等关系，采用倒推法能快速缩小初始数的取值范围，避免正向枚举的繁琐，解题时要特别注意不等号的边界是否包含等号。
【难度系数】
0.6
13.计算：
(1)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{16} + 3^0$；
(2)$|2 - \sqrt{5}| - (\sqrt{6})^2 + \sqrt[3]{(-5)^3}$.
(1)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{16} + 3^0$；
(2)$|2 - \sqrt{5}| - (\sqrt{6})^2 + \sqrt[3]{(-5)^3}$.
答案
13.解:(1)原式$=2-4+1=-1$.
(2)原式$=\sqrt{5}-2-6+(-5)=\sqrt{5}-13$.
(2)原式$=\sqrt{5}-2-6+(-5)=\sqrt{5}-13$.
解析
【分析】
本题是实数的混合运算题，解题思路为先分别化简每一个运算项，再按从左到右的顺序做加减运算。
(1) 先依次计算三类基础运算：$\sqrt[3]{8}$是求8的立方根，结果为2；$\sqrt{16}$是求16的算术平方根，结果为4；非零数的0次幂等于1，因此$3^0=1$，再将三个结果相加减即可。
(2) 先依次化简各运算项：因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|$的结果是其相反数$\sqrt{5}-2$；$(\sqrt{6})^2$的运算结果为6；$\sqrt[3]{(-5)^3}$的结果等于被开方数本身，即$-5$，再将化简后的各项合并计算即可。
【解析】
(1) 先化简各项：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{16}=4$，$3^0=1$
原式$=2-4+1=-1$
(2) 先化简各项：
$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$，$(\sqrt{6})^2=6$，$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$
原式$=\sqrt{5}-2-6+(-5)=\sqrt{5}-13$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{5}-13}$
【知识点】
实数混合运算，根式化简，绝对值与零指数幂性质
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，主要考察各类基础运算的化简规则，只要熟练掌握相关定义和性质，按运算顺序分步计算即可得分，需注意化简绝对值时先判断内部式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
本题是实数的混合运算题，解题思路为先分别化简每一个运算项，再按从左到右的顺序做加减运算。
(1) 先依次计算三类基础运算：$\sqrt[3]{8}$是求8的立方根，结果为2；$\sqrt{16}$是求16的算术平方根，结果为4；非零数的0次幂等于1，因此$3^0=1$，再将三个结果相加减即可。
(2) 先依次化简各运算项：因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|$的结果是其相反数$\sqrt{5}-2$；$(\sqrt{6})^2$的运算结果为6；$\sqrt[3]{(-5)^3}$的结果等于被开方数本身，即$-5$，再将化简后的各项合并计算即可。
【解析】
(1) 先化简各项：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{16}=4$，$3^0=1$
原式$=2-4+1=-1$
(2) 先化简各项：
$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$，$(\sqrt{6})^2=6$，$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$
原式$=\sqrt{5}-2-6+(-5)=\sqrt{5}-13$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{5}-13}$
【知识点】
实数混合运算，根式化简，绝对值与零指数幂性质
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，主要考察各类基础运算的化简规则，只要熟练掌握相关定义和性质，按运算顺序分步计算即可得分，需注意化简绝对值时先判断内部式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
