登录
14. 求 $ x $ 的值：
(1)$ 9(x+1)^2 - 16 = 0 $；
(2)$ -8(1-x)^3 = 27 $。
(1)$ 9(x+1)^2 - 16 = 0 $；
(2)$ -8(1-x)^3 = 27 $。
答案
14.解:(1)$9(x+1)^2-16=0,9(x+1)^2=16$,
开方,得$3(x+1)=\pm4$,解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{7}{3}$.
(2)$-8(1-x)^3=27,8(x-1)^3=27$,
开立方,得$2(x-1)=3$,解得$x=\frac{5}{2}$.
开方,得$3(x+1)=\pm4$,解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{7}{3}$.
(2)$-8(1-x)^3=27,8(x-1)^3=27$,
开立方,得$2(x-1)=3$,解得$x=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
这两道题是利用开方运算求解未知数的方程，解题思路如下：（1）题含有$(x+1)$的平方项，先通过移项将平方项单独放在等号一侧，再根据平方根的性质开平方，注意平方根有正负两个值，分别求解对应的一元一次方程即可得到$x$的两个解；（2）题含有$(1-x)$的立方项，先对原式变形将立方项单独整理到等号一侧，再根据立方根的性质开立方（立方根只有唯一值，符号和被开方数一致），求解一元一次方程得到$x$的值。
【解析】
(1) 移项得：$9(x+1)^2=16$，
两边同时开平方得：$3(x+1)=\pm4$，
当$3(x+1)=4$时，解得$x_1=\frac{1}{3}$；
当$3(x+1)=-4$时，解得$x_2=-\frac{7}{3}$。
(2) 原式变形得：$8(x-1)^3=27$，
两边同时开立方得：$2(x-1)=3$，
化简求解得：$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{7}{3}$；(2)$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，开方解方程
【点评】
本题主要考查平方根和立方根性质的应用，解题时要注意开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解；开立方只有唯一结果，不要多写解，计算时注意符号变换即可正确作答。
【难度系数】
0.8
这两道题是利用开方运算求解未知数的方程，解题思路如下：（1）题含有$(x+1)$的平方项，先通过移项将平方项单独放在等号一侧，再根据平方根的性质开平方，注意平方根有正负两个值，分别求解对应的一元一次方程即可得到$x$的两个解；（2）题含有$(1-x)$的立方项，先对原式变形将立方项单独整理到等号一侧，再根据立方根的性质开立方（立方根只有唯一值，符号和被开方数一致），求解一元一次方程得到$x$的值。
【解析】
(1) 移项得：$9(x+1)^2=16$，
两边同时开平方得：$3(x+1)=\pm4$，
当$3(x+1)=4$时，解得$x_1=\frac{1}{3}$；
当$3(x+1)=-4$时，解得$x_2=-\frac{7}{3}$。
(2) 原式变形得：$8(x-1)^3=27$，
两边同时开立方得：$2(x-1)=3$，
化简求解得：$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{7}{3}$；(2)$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，开方解方程
【点评】
本题主要考查平方根和立方根性质的应用，解题时要注意开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解；开立方只有唯一结果，不要多写解，计算时注意符号变换即可正确作答。
【难度系数】
0.8
15. 如图，A 是数轴上表示实数 a 的点.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点 P;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和 a 的大小,并说明理由.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点 P;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和 a 的大小,并说明理由.
答案
15.解:(1)如答图,点 P 即为所求.
(2)$a＞\sqrt{2}$,理由如下:
如答图,点 A 在点 P 的右侧,$\therefore a＞\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要在数轴上作出表示$\sqrt{2}$的点，可利用“边长为1的等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$”的性质：先构造直角边为1的等腰直角三角形，得到长度为$\sqrt{2}$的线段，再用圆规将该线段截取到数轴正半轴即可得到点P。
(2) 数轴上的点与实数一一对应，且右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，只需观察点A和点P的左右位置，即可判断$\sqrt{2}$和$a$的大小。
【解析】
(1) 作图步骤思路：以数轴上表示0和1的线段为一条直角边，过表示1的点作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与垂线上的端点，所得线段长度即为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是所求的点P，作图痕迹如答图所示。
(2) 大小比较：根据数轴的性质，数轴上右侧的点对应的实数大于左侧的点对应的实数。观察数轴可得，点A在点P的右侧，因此点A对应的实数$a$大于点P对应的实数$\sqrt{2}$，即$a＞\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如答图,点 P 即为所求.
(2)$a＞\sqrt{2}$,理由如下:
如答图,点 A 在点 P 的右侧,$\therefore a＞\sqrt{2}$.
【知识点】
尺规作图，实数与数轴，实数大小比较
【点评】
本题结合了几何作图与实数性质，既考查了利用勾股定理构造表示无理数的线段的方法，又考查了数轴上数的大小比较规则，能帮助加深对无理数几何意义的理解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.8
(1) 要在数轴上作出表示$\sqrt{2}$的点，可利用“边长为1的等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$”的性质：先构造直角边为1的等腰直角三角形，得到长度为$\sqrt{2}$的线段，再用圆规将该线段截取到数轴正半轴即可得到点P。
(2) 数轴上的点与实数一一对应，且右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，只需观察点A和点P的左右位置，即可判断$\sqrt{2}$和$a$的大小。
【解析】
(1) 作图步骤思路：以数轴上表示0和1的线段为一条直角边，过表示1的点作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与垂线上的端点，所得线段长度即为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该线段长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是所求的点P，作图痕迹如答图所示。
(2) 大小比较：根据数轴的性质，数轴上右侧的点对应的实数大于左侧的点对应的实数。观察数轴可得，点A在点P的右侧，因此点A对应的实数$a$大于点P对应的实数$\sqrt{2}$，即$a＞\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如答图,点 P 即为所求.
(2)$a＞\sqrt{2}$,理由如下:
如答图,点 A 在点 P 的右侧,$\therefore a＞\sqrt{2}$.
【知识点】
尺规作图，实数与数轴，实数大小比较
【点评】
本题结合了几何作图与实数性质，既考查了利用勾股定理构造表示无理数的线段的方法，又考查了数轴上数的大小比较规则，能帮助加深对无理数几何意义的理解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.8
16. 对于实数$ a $，我们规定用$\{\sqrt{a}\}$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数，称$\{\sqrt{a}\}$为$ a $的根整数，如$\{\sqrt{10}\}=4$。
(1)计算：$\{\sqrt{9}\}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)现对$ a $进行连续求根整数，直到结果为2为止，例如，对12进行连续求根整数，第一次$\{\sqrt{12}\}=4$，再进行第二次求根整数$\{\sqrt{4}\}=2$，表示对12连续求根整数2次可得结果为2。对101进行连续求根整数，________次后结果为2；
(3)若$\{\sqrt{m}\}=3$，写出满足题意的$ m $的整数值。
(1)计算：$\{\sqrt{9}\}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)现对$ a $进行连续求根整数，直到结果为2为止，例如，对12进行连续求根整数，第一次$\{\sqrt{12}\}=4$，再进行第二次求根整数$\{\sqrt{4}\}=2$，表示对12连续求根整数2次可得结果为2。对101进行连续求根整数，________次后结果为2；
(3)若$\{\sqrt{m}\}=3$，写出满足题意的$ m $的整数值。
答案
16.(1)3 (2)3
(3)解:$\because \{\sqrt{m}\}=3,\therefore 2＜\sqrt{m}≤3,\therefore 4＜m≤9$,
$\therefore$满足题意的$m$的整数值为5,6,7,8,9.
(3)解:$\because \{\sqrt{m}\}=3,\therefore 2＜\sqrt{m}≤3,\therefore 4＜m≤9$,
$\therefore$满足题意的$m$的整数值为5,6,7,8,9.
解析
【分析】
解题核心是先准确理解新定义：$\{\sqrt{a}\}$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数，可将新定义转化为不等式关系解决问题。
(1) 先计算$\sqrt{9}$的准确值，再找不小于该值的最小整数即可。
(2) 按照连续求根整数的规则，逐步对101、第一次的结果、第二次的结果依次求根整数，直到结果为2，统计运算次数。
(3) 根据$\{\sqrt{m}\}=3$，可反推$\sqrt{m}$的取值范围，再将不等式两边平方得到$m$的范围，最后筛选出范围内的整数。
【解析】
(1) $\because \sqrt{9}=3$，不小于3的最小整数是3，$\therefore \{\sqrt{9}\}=3$。
(2) 第一次计算：$\sqrt{101}\approx10.05$，不小于10.05的最小整数是11，即$\{\sqrt{101}\}=11$；
第二次计算：$\sqrt{11}\approx3.32$，不小于3.32的最小整数是4，即$\{\sqrt{11}\}=4$；
第三次计算：$\sqrt{4}=2$，不小于2的最小整数是2，即$\{\sqrt{4}\}=2$；
因此共3次后结果为2。
(3) $\because \{\sqrt{m}\}=3$，根据根整数的定义可得：$2＜\sqrt{m}≤3$，
不等式三边同时平方，不等号方向不变，得$2^2＜m≤3^2$，即$4＜m≤9$，
$\therefore$ 满足题意的$m$的整数值为5,6,7,8,9。
【答案】
(1) 3
(2) 3
(3) 5,6,7,8,9
【知识点】
新定义运算，无理数的估算，实数的大小比较
【点评】
本题围绕新定义“根整数”出题，重点考查对新定义的理解转化能力，以及无理数估算、不等式运算的基础运用能力，解题关键是把陌生的新定义转化为熟悉的不等式关系求解。
【难度系数】
0.7
解题核心是先准确理解新定义：$\{\sqrt{a}\}$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数，可将新定义转化为不等式关系解决问题。
(1) 先计算$\sqrt{9}$的准确值，再找不小于该值的最小整数即可。
(2) 按照连续求根整数的规则，逐步对101、第一次的结果、第二次的结果依次求根整数，直到结果为2，统计运算次数。
(3) 根据$\{\sqrt{m}\}=3$，可反推$\sqrt{m}$的取值范围，再将不等式两边平方得到$m$的范围，最后筛选出范围内的整数。
【解析】
(1) $\because \sqrt{9}=3$，不小于3的最小整数是3，$\therefore \{\sqrt{9}\}=3$。
(2) 第一次计算：$\sqrt{101}\approx10.05$，不小于10.05的最小整数是11，即$\{\sqrt{101}\}=11$；
第二次计算：$\sqrt{11}\approx3.32$，不小于3.32的最小整数是4，即$\{\sqrt{11}\}=4$；
第三次计算：$\sqrt{4}=2$，不小于2的最小整数是2，即$\{\sqrt{4}\}=2$；
因此共3次后结果为2。
(3) $\because \{\sqrt{m}\}=3$，根据根整数的定义可得：$2＜\sqrt{m}≤3$，
不等式三边同时平方，不等号方向不变，得$2^2＜m≤3^2$，即$4＜m≤9$，
$\therefore$ 满足题意的$m$的整数值为5,6,7,8,9。
【答案】
(1) 3
(2) 3
(3) 5,6,7,8,9
【知识点】
新定义运算，无理数的估算，实数的大小比较
【点评】
本题围绕新定义“根整数”出题，重点考查对新定义的理解转化能力，以及无理数估算、不等式运算的基础运用能力，解题关键是把陌生的新定义转化为熟悉的不等式关系求解。
【难度系数】
0.7
17.为了比较$\sqrt{5}+1$与$\sqrt{10}$的大小,小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究.
(1)小伍同学利用计算器得到了$\sqrt{5}\approx2.236,\sqrt{10}\approx3.162$,所以确定$\sqrt{5}+1$
(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发,构造出如图所示的图形,其中$∠ C=90°,BC=3$,点$D$在$BC$上,且$BD=AC=1$.请你利用此图进行计算与推理,帮小陆同学判断$\sqrt{5}+1$和$\sqrt{10}$的大小.
(1)小伍同学利用计算器得到了$\sqrt{5}\approx2.236,\sqrt{10}\approx3.162$,所以确定$\sqrt{5}+1$
＞
$\sqrt{10}$;(填“＞”“＜”或“=”)(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发,构造出如图所示的图形,其中$∠ C=90°,BC=3$,点$D$在$BC$上,且$BD=AC=1$.请你利用此图进行计算与推理,帮小陆同学判断$\sqrt{5}+1$和$\sqrt{10}$的大小.
答案
17.(1)＞
(2)解:$\because ∠ C=90°,BC=3,BD=AC=1,\therefore CD=2$,
$\therefore AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=\sqrt{5},AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10}$,
$\therefore BD+AD=\sqrt{5}+1$.
又$\because$在$△ ABD$中,$AD+BD＞AB,\therefore \sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$.
(2)解:$\because ∠ C=90°,BC=3,BD=AC=1,\therefore CD=2$,
$\therefore AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=\sqrt{5},AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10}$,
$\therefore BD+AD=\sqrt{5}+1$.
又$\because$在$△ ABD$中,$AD+BD＞AB,\therefore \sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1)第一问可直接利用给出的无理数近似值，计算$\sqrt{5}+1$的结果后，和$\sqrt{10}$的近似值直接比较大小即可。
(2)第二问首先根据已知的BC、BD长度求出CD的长度，再结合$∠ C=90°$的条件，分别在$Rt△ ACD$和$Rt△ ACB$中用勾股定理计算AD、AB的长度，可发现AD对应$\sqrt{5}$、AB对应$\sqrt{10}$；再观察$△ ABD$，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，将线段长度代入即可得到两个数的大小关系，不需要计算近似值就能完成比较。
【解析】
(1)已知$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}+1\approx2.236+1=3.236$，又$\sqrt{10}\approx3.162$，因为$3.236＞3.162$，所以$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$。
(2)解：$\because ∠ C=90°,BC=3,BD=AC=1$，
$\therefore CD=BC-BD=3-1=2$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\therefore BD+AD=1+\sqrt{5}$，
又$\because$在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$，
$\therefore \sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$。
【答案】
(1)＞；(2)$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$
【知识点】
实数大小比较；勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题考查了实数大小比较的两种常用方法，估算法操作简单直接，几何构造法结合了数形结合思想，借助勾股定理和三角形三边关系完成比较，无需计算近似值，能帮助我们更深入理解无理数的几何意义，拓展了比较无理数大小的思路。
【难度系数】
0.75
(1)第一问可直接利用给出的无理数近似值，计算$\sqrt{5}+1$的结果后，和$\sqrt{10}$的近似值直接比较大小即可。
(2)第二问首先根据已知的BC、BD长度求出CD的长度，再结合$∠ C=90°$的条件，分别在$Rt△ ACD$和$Rt△ ACB$中用勾股定理计算AD、AB的长度，可发现AD对应$\sqrt{5}$、AB对应$\sqrt{10}$；再观察$△ ABD$，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，将线段长度代入即可得到两个数的大小关系，不需要计算近似值就能完成比较。
【解析】
(1)已知$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}+1\approx2.236+1=3.236$，又$\sqrt{10}\approx3.162$，因为$3.236＞3.162$，所以$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$。
(2)解：$\because ∠ C=90°,BC=3,BD=AC=1$，
$\therefore CD=BC-BD=3-1=2$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$\therefore BD+AD=1+\sqrt{5}$，
又$\because$在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$，
$\therefore \sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$。
【答案】
(1)＞；(2)$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$
【知识点】
实数大小比较；勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题考查了实数大小比较的两种常用方法，估算法操作简单直接，几何构造法结合了数形结合思想，借助勾股定理和三角形三边关系完成比较，无需计算近似值，能帮助我们更深入理解无理数的几何意义，拓展了比较无理数大小的思路。
【难度系数】
0.75
