8.(2025·淮安区月考)如图，$AD// BC$，$∠ ADC=∠ ACD$，$∠ AED=∠ ABC$.
求证：$△ ABC≌△ DEA$.

8. 证明:$\because ∠ ADC=∠ ACD,\therefore AD=AC.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ ACB=∠ DAE.$
在$△ ABC$与$△ DEA$中,$\begin{cases} ∠ ACB=∠ DAE, \\ ∠ CBA=∠ AED, \\ CA=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ DEA(\mathrm{AAS}).$

【分析】
要证明△ABC≌△DEA，首先回忆全等三角形的判定定理，需要找到三组对应的相等边角条件：第一步，已知∠ADC=∠ACD，根据等腰三角形“等角对等边”的性质，可得AD=AC，得到一组对应边相等；第二步，已知AD//BC，根据平行线的内错角相等性质，可得∠ACB=∠DAE，得到一组对应角相等；第三步，题目直接给出∠AED=∠ABC，得到第二组对应角相等。此时满足两组对应角相等且一组对边相等，符合AAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ADC=∠ACD,\therefore AD=AC$（等角对等边）。
$\because AD// BC,\therefore ∠ACB=∠DAE$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$与$△ DEA$中,
$\begin{cases} ∠ ACB=∠ DAE, \\ ∠ CBA=∠ AED, \\ CA=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △DEA(\mathrm{AAS})_{\circ }$
【答案】
$\because ∠ADC=∠ACD,\therefore AD=AC.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ ACB=∠ DAE.$
在$△ ABC$与$△ DEA$中,$\begin{cases} ∠ ACB=∠ DAE, \\ ∠ CBA=∠ AED, \\ CA=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ DEA(\mathrm{AAS}).$
【知识点】
等角对等边；平行线的性质；全等三角形AAS判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件，借助等腰三角形和平行线的性质推导全等判定需要的边角条件，需要熟练掌握相关性质和判定定理，才能灵活应用完成证明。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$AC$的垂直平分线交$AC$于点$F$,交$BC$于点$E$,$AD\bot BC$且$BD=DE$,连接$AE$.
(1)求证:$AB=EC$;
(2)若$△ ABC$的周长为$28\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,求$DC$的长.

9.(1)证明:$\because EF$垂直平分$AC,\therefore AE=EC.$
$\because AD\bot BC,BD=DE,\therefore AB=AE,\therefore AB=EC.$
(2)解:$\because △ ABC$的周长为$28\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB+BC+AC=28\ \mathrm{cm}.$
$\because AC=12\ \mathrm{cm},\therefore AB+BC=16\ \mathrm{cm}.$
$\because AB=EC,BD=DE,$
$\therefore DC=DE+EC=\frac{1}{2}BE+\frac{1}{2}EC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC)=8\ \mathrm{cm}.$

【分析】
(1) 要证明$AB=EC$，可通过中间量$AE$进行等量代换：首先利用线段垂直平分线的性质，$EF$是$AC$的垂直平分线，可得$AE=EC$；再根据$AD\bot BC$且$BD=DE$，可知$AD$是$BE$的垂直平分线，因此$AB=AE$，等量代换即可得证。
(2) 求$DC$的长时，先根据$△ ABC$的周长和$AC$的长度，先计算出$AB+BC$的和；再将$DC$拆分为$DE+EC$，结合$BD=DE$可得$DE=\frac{1}{2}BE$，再结合(1)的结论$AB=EC$，将$DC$的表达式转化为与$AB+BC$相关的形式，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF$垂直平分$AC$，
$\therefore AE=EC$。
$\because AD\bot BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore AB=EC$。
(2) 解：
$\because △ ABC$的周长为$28\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC+AC=28\ \mathrm{cm}$。
$\because AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC=28-12=16\ \mathrm{cm}$。
$\because BD=DE$，$AB=EC$，
$\therefore DC=DE+EC=\frac{1}{2}BE+EC=\frac{1}{2}(BE+EC+AB)=\frac{1}{2}(AB+BC)$，
$\therefore DC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $DC=8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是基础几何题，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是通过垂直平分线的性质得到相等线段，再结合周长条件对所求线段进行合理拆分转化，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10.(2025·盐城月考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AD$为角平分线,$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$,垂足为$E$,点$F$在边$AC$上,且$DF=DB$.
(1)求证:$CF=BE$;
(2)连接$CE$,求证:$AD$垂直平分$CE$;
(3)若$AB=14$,$AF=4$,求$CF$的长.

10.(1)证明:$\because AD$为角平分线,$∠ C=90°,DE\bot AB$,
$\therefore ∠ C=∠ DEB=90°,DC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△ CDF$与$\mathrm{Rt}△ EDB$中,$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ EDB(\mathrm{HL}),\therefore CF=BE.$
(2)证明:由(1)知$∠ DCF=∠ DEB=90°,DC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$与$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL}),\therefore AC=AE.$
$\because AC=AE,DC=DE,$
$\therefore$点$A,D$都在线段$CE$的垂直平分线上,
$\therefore AD$垂直平分$CE.$
(3)解:由(1)(2)可知$CF=BE,AC=AE,$
$\because AC=AF+CF,\therefore AE=AF+CF,$
$\therefore AB=AE+BE=AF+CF+CF=4+2CF=14,$
解得$CF=5$,即$CF$的长为$5$.

【分析】
(1) 要证$CF=BE$，可通过证明两条边所在的直角三角形全等推导。首先根据角平分线的性质可得$DC=DE$，结合已知$DF=DB$，用HL定理即可证明两个直角三角形全等，得到对应边相等。
(2) 要证$AD$垂直平分$CE$，根据线段垂直平分线的判定，只需证明点$A$、点$D$都到线段$CE$两端的距离相等。先证$Rt△ACD≌Rt△AED$得到$AC=AE$，结合(1)中$DC=DE$的结论，即可说明$A$、$D$都在$CE$的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此$AD$垂直平分$CE$。
(3) 求$CF$的长可利用前两问的结论：$CF=BE$、$AC=AE$，将$AB$拆分为$AE+BE$，替换为$AF+2CF$，代入已知数值列方程即可求解。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$为角平分线，$∠ C=90°$，$DE\bot AB$，
$\therefore ∠ C=∠ DEB=90°$，$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$与$\mathrm{Rt}△ EDB$中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ EDB(\mathrm{HL})$，$\therefore CF=BE$。
(2) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ACD$与$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$，$\therefore AC=AE$。
$\because AC=AE$，$DC=DE$，
$\therefore$点$A$、$D$都在线段$CE$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
$\therefore AD$垂直平分$CE$。
(3) 解：由(1)(2)可知$CF=BE$，$AC=AE$，
$\because AC=AF+CF$，$\therefore AE=AF+CF$，
$\therefore AB=AE+BE=AF+CF+CF=4+2CF=14$，
解得$CF=5$。
【答案】
(1) 已证$CF=BE$；
(2) 已证$AD$垂直平分$CE$；
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题为三角形综合基础题，三个小问层层递进，解题时要注意利用前序结论推导后续问题，既考查了基础几何定理的应用，也锻炼了逻辑推理能力，熟练掌握角平分线、全等三角形、垂直平分线的相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$P$为边$BC$上一点,$BC=3BP$,且$∠ PAB=15°$,点$C$关于直线$PA$的对称点为$D$,连接$AD$,$BD$,$AH⊥ BC$于点$H$.
(1)求$∠ BPD$的大小;
(2)判断直线$BD$,$AH$是否平行,并说明理由;
(3)证明:$∠ BAP=∠ CAH$.

11.(1)解:$\because ∠ PAB=15°,∠ ABC=45°,$
$\therefore ∠ APC=15°+45°=60°.$
$\because$点$C$关于直线$PA$的对称点为$D$,
$\therefore PD=PC,AD=AC,∠ APC=∠ APD=60°,$
$\therefore ∠ BPD=180°-60°-60°=60°.$
(2)解:直线$BD,AH$平行.理由:$\because BC=3BP,$
$\therefore BP=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}PD.$
如答图①,取$PD$的中点$E$,连接$BE$,则$BP=PE.$
$\because ∠ BPD=60°,\therefore △ BEP$为等边三角形,$△ BDE$为等腰三角形,

$\therefore ∠ BEP=60°,BE=PE=DE,$
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BEP=30°,$
$\therefore ∠ DBP=90°,$即$BD\bot BC.$
又$\because AH\bot BC,\therefore BD// AH.$
(3)证明:如答图②,过点$A$作$AG\bot BD$,交$BD$的延长线于点$G$,作$AF\bot DP$于点$F$.
$\because ∠ APC=∠ APD$,即点$A$在$∠ DPC$的平分线上,
$\therefore AH=AF.$
$\because ∠ CBD=90°,∠ ABC=45°,$
$\therefore ∠ GBA=∠ CBA=45°,$
即点$A$在$∠ GBC$的平分线上,$\therefore AG=AH,$
$\therefore AG=AF,$
$\therefore$点$A$在$∠ GDP$的平分线上.
又$\because ∠ BDP=30°,$
$\therefore ∠ GDP=150°,\therefore ∠ ADP=\frac{1}{2}×150°=75°,$
$\therefore ∠ C=∠ ADP=75°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$∠ CAH=15°,$
$\therefore ∠ BAP=∠ CAH.$

【分析】
(1) 求$∠ BPD$可先利用三角形外角性质求出$∠ APC$的度数，再结合轴对称的性质得到$∠ APD=∠ APC$，最后根据平角的定义计算$∠ BPD$即可。
(2) 要判断$BD$和$AH$是否平行，已知$AH⊥ BC$，只需证明$BD⊥ BC$即可。由$BC=3BP$结合轴对称性质可得$PD=2BP$，取$PD$中点构造等边三角形，通过角度推导得出$∠ DBP=90°$，即可得到$BD$与$AH$都垂直于$BC$，进而判定二者平行。
(3) 要证$∠ BAP=∠ CAH$，已知$∠ BAP=15°$，只需证明$∠ CAH=15°$即可。通过作辅助线，利用角平分线的判定定理，先证$A$在$∠ DPC$和$∠ GBC$的角平分线上，得到$AG=AF$，进而推出$A$在$∠ GDP$的角平分线上，求出$∠ C$的度数，最后在$\mathrm{Rt}△ ACH$中计算$∠ CAH$的度数即可证明结论。
【解析】
(1) 解：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\because ∠ PAB=15°$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore ∠ APC=∠ PAB+∠ ABC=15°+45°=60°$。
$\because$点$C$关于直线$PA$的对称点为$D$，根据轴对称的性质，对应角相等，
$\therefore ∠ APC=∠ APD=60°$，
$\therefore ∠ BPD=180°-∠ APD-∠ APC=180°-60°-60°=60°$。
(2) 解：直线$BD$，$AH$平行，理由如下：
$\because BC=3BP$，$\therefore PC=2BP$，即$BP=\frac{1}{2}PC$。
由轴对称性质得$PD=PC$，$\therefore BP=\frac{1}{2}PD$。
如答图①，取$PD$的中点$E$，连接$BE$，则$PE=\frac{1}{2}PD$，

$\therefore BP=PE$，又$∠ BPD=60°$，
$\therefore △ BEP$为等边三角形，
$\therefore ∠ BEP=60°$，$BE=PE=DE$，
$\therefore △ BDE$为等腰三角形，$∠ BEP$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BEP=30°$，
$\therefore ∠ DBP=180°-60°-30°=90°$，即$BD⊥ BC$。
又$\because AH⊥ BC$，
$\therefore BD// AH$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
(3) 证明：如答图②，过点$A$作$AG⊥ BD$，交$BD$的延长线于点$G$，作$AF⊥ DP$于点$F$。
$\because ∠ APC=∠ APD$，即$PA$平分$∠ DPC$，$AH⊥ BC$，$AF⊥ DP$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore AH=AF$。
$\because ∠ CBD=90°$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore ∠ GBA=∠ CBA=45°$，即$BA$平分$∠ GBC$，
又$AG⊥ BG$，$AH⊥ BC$，$\therefore AG=AH$，
$\therefore AG=AF$，
根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，$\therefore$点$A$在$∠ GDP$的平分线上。
$\because ∠ BDP=30°$，$\therefore ∠ GDP=180°-30°=150°$，
$\therefore ∠ ADP=\frac{1}{2}∠ GDP=75°$，
由轴对称性质得$∠ C=∠ ADP=75°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ CAH+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CAH=90°-75°=15°$，
又$\because ∠ BAP=15°$，
$\therefore ∠ BAP=∠ CAH$。
【答案】
11.(1)解:$\because ∠ PAB=15°,∠ ABC=45°,$
$\therefore ∠ APC=15°+45°=60°.$
$\because$点$C$关于直线$PA$的对称点为$D$,
$\therefore PD=PC,AD=AC,∠ APC=∠ APD=60°,$
$\therefore ∠ BPD=180°-60°-60°=60°.$
(2)解:直线$BD,AH$平行.理由:$\because BC=3BP,$
$\therefore BP=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}PD.$
如答图①,取$PD$的中点$E$,连接$BE$,则$BP=PE.$
$\because ∠ BPD=60°,\therefore △ BEP$为等边三角形,$△ BDE$为等腰三角形,

$\therefore ∠ BEP=60°,BE=PE=DE,$
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BEP=30°,$
$\therefore ∠ DBP=90°,$即$BD\bot BC.$
又$\because AH\bot BC,\therefore BD// AH.$
(3)证明:如答图②,过点$A$作$AG\bot BD$,交$BD$的延长线于点$G$,作$AF\bot DP$于点$F$.
$\because ∠ APC=∠ APD$,即点$A$在$∠ DPC$的平分线上,
$\therefore AH=AF.$
$\because ∠ CBD=90°,∠ ABC=45°,$
$\therefore ∠ GBA=∠ CBA=45°,$
即点$A$在$∠ GBC$的平分线上,$\therefore AG=AH,$
$\therefore AG=AF,$
$\therefore$点$A$在$∠ GDP$的平分线上.
又$\because ∠ BDP=30°,$
$\therefore ∠ GDP=150°,\therefore ∠ ADP=\frac{1}{2}×150°=75°,$
$\therefore ∠ C=∠ ADP=75°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$∠ CAH=15°,$
$\therefore ∠ BAP=∠ CAH.$
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形判定与性质，角平分线的性质与判定
【点评】
本题是几何综合题，融合了三角形外角性质、平行线判定、角平分线相关性质等多个考点，需要学生结合已知条件合理构造辅助线，能够有效考察逻辑推理能力和几何知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6