15. 如图,两个边长分别为$a,b,c$的直角三角形和一个两条直角边都是$c$的直角三角形拼成了一个梯形.用不同的方法计算梯形的面积,可以得到一个等式:$a^2+b^2=c^2$.
(1) 请用两种方法计算梯形的面积,并写出得到等式$a^2+b^2=c^2$的过程.

(2) 如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数,且$m＞n$,证明$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.

(1) 通过两种方法计算梯形面积，化简后得到等式$a^2+b^2=c^2$；
(2) 证明成立，$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数。

(1) 方法一：梯形的上底为$b$，下底为$a$，高为$a+b$，根据梯形面积公式：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$。
方法二：梯形由两个直角边为$a,b$的直角三角形和一个直角边为$c$的直角三角形组成，总面积为三个三角形面积之和：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。
因两种方法计算同一梯形面积，故等式成立：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：已知$m,n$是正整数且$m＞n$，则$2mn$、$m^2-n^2$、$m^2+n^2$均为正整数。
计算得：
$\begin{aligned}(2mn)^2+(m^2-n^2)^2&=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4\\&=m^4+2m^2n^2+n^4\\&=(m^2+n^2)^2\end{aligned}$
即两个较小数的平方和等于最大数的平方，符合勾股数定义，故$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数。

16. 先阅读后解题：
若 $ m^2 + 2m + n^2 - 6n + 10 = 0 $，求 $ m,n $ 的值.
解:把等式的左边整理得 $ m^2 + 2m + 1 + n^2 - 6n + 9 = 0 $，
即 $ (m+1)^2 + (n-3)^2 = 0 $.
因为 $ (m+1)^2 ≥ 0, (n-3)^2 ≥ 0 $，所以 $ m+1=0, n-3=0 $，
即 $ m=-1, n=3 $.
利用以上解法,解下列问题:
已知 $ x^2 + y^2 - x + 4y + \frac{17}{4} = 0 $，求 $ x $ 和 $ y $ 的值.

16. $x=\frac{1}{2},y=-2$

17. (1) 已知 $ x - \frac{1}{x} = 10 $，求 $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ 的值；
(2) 已知 $ (a + 25)^2 = 1000 $，求 $ (a + 15)(a + 35) $ 的值。

17. (1) 102 (2) 900