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1. 我们在解二元一次方程组$\begin{cases}y=3x, \\ x+2y=14\end{cases}$时，可将第一个方程代入第二个方程消去$y$，得到$x+6x=14$，从而求解.这种解法体现的数学思想是( )
A.数形结合思想
B.分类讨论思想
C.转化思想
D.整体思想
A.数形结合思想
B.分类讨论思想
C.转化思想
D.整体思想
答案
C
解析
使用代入消元法解该二元一次方程组时，通过代入消去未知数y，将含两个未知数的二元一次方程组转化为已掌握的仅含一个未知数的一元一次方程来求解，该过程体现的是转化思想。
2. 解方程组$\begin{cases}2x - y + 5z = 8, \\3x + y - 8z = 9, \\6x - y + 3z = 6,\end{cases}$若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A.先消去$x$
B.先消去$y$
C.先消去$z$
D.以上说法都不对
A.先消去$x$
B.先消去$y$
C.先消去$z$
D.以上说法都不对
答案
B
解析
观察方程组三个方程中y的系数，分别为-1、1、-1，将任意两个方程直接相加即可消去y，无需对方程进行倍数变形，运算最简便，因此应选取先消去y。
3. 写出一个解为$\begin{cases} x=0, \\ y=1 \end{cases}$的二元一次方程组：______.
答案
$\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=-1 \end{cases}$（答案不唯一）
解析
已知方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}$，我们可以将x、y的取值代入构造两个不同的二元一次等式：比如计算得$x+y=0+1=1$，$x-y=0-1=-1$，将这两个二元一次方程组合，即可得到符合要求的方程组，本题答案不唯一，只要满足方程组的解为给定的x、y取值即可。
4.若关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x+y=m, \\ 4x+y=3-2m \end{cases} $ 的解也是方程 $ x+2y=5 $ 的解，则 $ m=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
$2$
解析
第一步，解关于$x$、$y$的原方程组：
用方程$4x+y=3-2m$减去方程$x+y=m$，得：
$3x=3-3m$，解得$x=1-m$。
把$x=1-m$代入$x+y=m$，得：
$1-m + y = m$，解得$y=2m-1$。
第二步，将$x=1-m$，$y=2m-1$代入方程$x+2y=5$，得：
$1-m + 2(2m-1)=5$
展开计算：$1-m+4m-2=5$，合并同类项得$3m-1=5$，移项得$3m=6$，解得$m=2$。
用方程$4x+y=3-2m$减去方程$x+y=m$，得：
$3x=3-3m$，解得$x=1-m$。
把$x=1-m$代入$x+y=m$，得：
$1-m + y = m$，解得$y=2m-1$。
第二步，将$x=1-m$，$y=2m-1$代入方程$x+2y=5$，得：
$1-m + 2(2m-1)=5$
展开计算：$1-m+4m-2=5$，合并同类项得$3m-1=5$，移项得$3m=6$，解得$m=2$。
5.若方程组$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}, \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \end{cases}$则方程组$\begin{cases} 2a_{1}x+3b_{1}y=3c_{1}, \\ 2a_{2}x+3b_{2}y=3c_{2} \end{cases}$的解是________.
答案
$\begin{cases} x=3 \\ y=3 \end{cases}$
解析
首先将已知解$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$代入第一个原方程组，可得：
$2a_1 + 3b_1 = c_1$，$2a_2 + 3b_2 = c_2$。
将待求解的方程组$\begin{cases} 2a_{1}x+3b_{1}y=3c_{1} \\ 2a_{2}x+3b_{2}y=3c_{2} \end{cases}$的两个方程两边同时除以3，变形为：
$\begin{cases} a_1· \dfrac{2x}{3} + b_1· y = c_1 \\ a_2· \dfrac{2x}{3} + b_2· y = c_2 \end{cases}$
对比第一个方程组的结构，可得$\begin{cases} \dfrac{2x}{3}=2 \\ y=3 \end{cases}$，解这个方程组得$x=3$，$y=3$。
$2a_1 + 3b_1 = c_1$，$2a_2 + 3b_2 = c_2$。
将待求解的方程组$\begin{cases} 2a_{1}x+3b_{1}y=3c_{1} \\ 2a_{2}x+3b_{2}y=3c_{2} \end{cases}$的两个方程两边同时除以3，变形为：
$\begin{cases} a_1· \dfrac{2x}{3} + b_1· y = c_1 \\ a_2· \dfrac{2x}{3} + b_2· y = c_2 \end{cases}$
对比第一个方程组的结构，可得$\begin{cases} \dfrac{2x}{3}=2 \\ y=3 \end{cases}$，解这个方程组得$x=3$，$y=3$。
6. 按要求解下列方程组.
(1) $\begin{cases} 5x - y = 3, \\ 3x + 2y = 7; \end{cases}$（用代入法）
(2) $\begin{cases} 2x + 3y = 1, \\ 3x - 2y = 8. \end{cases}$（用加减法）
(1) $\begin{cases} 5x - y = 3, \\ 3x + 2y = 7; \end{cases}$（用代入法）
(2) $\begin{cases} 2x + 3y = 1, \\ 3x - 2y = 8. \end{cases}$（用加减法）
答案
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
解析
(1) 用代入法求解：
① 从方程$5x - y = 3$移项，变形得$y = 5x - 3$；
② 将$y = 5x - 3$代入方程$3x + 2y = 7$，得：
$3x + 2(5x - 3) = 7$
展开计算：$3x + 10x - 6 = 7$，合并同类项得$13x = 13$，解得$x=1$；
③ 把$x=1$代入$y=5x-3$，得$y=5×1 - 3=2$。
(2) 用加减法求解：
① 消去未知数$y$，将方程$2x + 3y = 1$两边同时乘2，得$4x + 6y = 2$ ①；
将方程$3x - 2y = 8$两边同时乘3，得$9x - 6y = 24$ ②；
② 将①+②，得$13x = 26$，解得$x=2$；
③ 把$x=2$代入$2x + 3y = 1$，得$2×2 + 3y =1$，解得$y=-1$。
① 从方程$5x - y = 3$移项，变形得$y = 5x - 3$；
② 将$y = 5x - 3$代入方程$3x + 2y = 7$，得：
$3x + 2(5x - 3) = 7$
展开计算：$3x + 10x - 6 = 7$，合并同类项得$13x = 13$，解得$x=1$；
③ 把$x=1$代入$y=5x-3$，得$y=5×1 - 3=2$。
(2) 用加减法求解：
① 消去未知数$y$，将方程$2x + 3y = 1$两边同时乘2，得$4x + 6y = 2$ ①；
将方程$3x - 2y = 8$两边同时乘3，得$9x - 6y = 24$ ②；
② 将①+②，得$13x = 26$，解得$x=2$；
③ 把$x=2$代入$2x + 3y = 1$，得$2×2 + 3y =1$，解得$y=-1$。
7. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x-y=2a-5,\\x+2y=3a+3\end{cases}$的解中，$x$是负数，$y$是正数.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简$3|a+2|+|3a-4|$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简$3|a+2|+|3a-4|$.
答案
(1) $-2＜a＜1$；(2) $10$
解析
(1) 用加减消元法解给定的二元一次方程组：
给方程$3x-y=2a-5$两边同乘2，得$6x-2y=4a-10$，
将其与方程$x+2y=3a+3$相加，得$7x=7a-7$，解得$x=a-1$。
把$x=a-1$代入$3x-y=2a-5$，得$3(a-1)-y=2a-5$，解得$y=a+2$。
由题意$x$是负数，$y$是正数，可得不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \\a+2＞0 \end{cases}$
解不等式$a-1＜0$得$a＜1$，解不等式$a+2＞0$得$a＞-2$，因此$a$的取值范围是$-2＜a＜1$。
(2) 根据(1)中$a$的取值范围判断绝对值内式子的符号：
因为$-2＜a＜1$，所以$a+2＞0$，$3a-4＜0$，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对式子化简：
$3|a+2|+|3a-4|=3(a+2)+(4-3a)=3a+6+4-3a=10$
给方程$3x-y=2a-5$两边同乘2，得$6x-2y=4a-10$，
将其与方程$x+2y=3a+3$相加，得$7x=7a-7$，解得$x=a-1$。
把$x=a-1$代入$3x-y=2a-5$，得$3(a-1)-y=2a-5$，解得$y=a+2$。
由题意$x$是负数，$y$是正数，可得不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \\a+2＞0 \end{cases}$
解不等式$a-1＜0$得$a＜1$，解不等式$a+2＞0$得$a＞-2$，因此$a$的取值范围是$-2＜a＜1$。
(2) 根据(1)中$a$的取值范围判断绝对值内式子的符号：
因为$-2＜a＜1$，所以$a+2＞0$，$3a-4＜0$，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对式子化简：
$3|a+2|+|3a-4|=3(a+2)+(4-3a)=3a+6+4-3a=10$
