登录
1. 下列是二元一次方程的是()
A.$x+2y=3$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x+\dfrac{1}{y}=2$
D.$2x-1=3$
A.$x+2y=3$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x+\dfrac{1}{y}=2$
D.$2x-1=3$
答案
A
解析
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐一判断：
选项A：含有x、y两个未知数，含未知数的项次数均为1，属于整式方程，符合二元一次方程的要求；
选项B：仅含1个未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求；
选项C：分母含有未知数，不属于整式方程，不符合要求；
选项D：仅含1个未知数x，是一元一次方程，不符合要求。
选项A：含有x、y两个未知数，含未知数的项次数均为1，属于整式方程，符合二元一次方程的要求；
选项B：仅含1个未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求；
选项C：分母含有未知数，不属于整式方程，不符合要求；
选项D：仅含1个未知数x，是一元一次方程，不符合要求。
2.为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动(两种球都买)，其中足球80元/个，篮球120元/个，则购买方案的种数为()
A.6
B.7
C.4
D.5
A.6
B.7
C.4
D.5
答案
C
解析
设购买足球x个，篮球y个，其中x、y均为正整数，根据总费用列方程：
$80x + 120y = 1200$
两边同时除以40化简得：$2x + 3y = 30$，变形为$x=\frac{30-3y}{2}$。
由于x、y都是正整数，因此$30-3y$必须为正偶数，可得y是正偶数且$y＜10$，符合条件的y取值为2、4、6、8，对应x的取值为12、9、6、3，共4组正整数解，即共有4种购买方案。
$80x + 120y = 1200$
两边同时除以40化简得：$2x + 3y = 30$，变形为$x=\frac{30-3y}{2}$。
由于x、y都是正整数，因此$30-3y$必须为正偶数，可得y是正偶数且$y＜10$，符合条件的y取值为2、4、6、8，对应x的取值为12、9、6、3，共4组正整数解，即共有4种购买方案。
3.若方程组$\begin{cases}x^{|m|+1} + y = 2, \\ 2x - my = 3\end{cases}$是二元一次方程组，则$m$的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.上述选项都不对
A.0
B.1
C.2
D.上述选项都不对
答案
A
解析
根据二元一次方程组的定义，方程组共含有2个未知数，所有出现的含未知数的项的次数都为1。首先第一个方程中x的次数需为1，即$|m|+1=1$，解得$m=0$。将$m=0$代入第二个方程，得$2x=3$，此时方程组为$\begin{cases}x+y=2 \\ 2x=3\end{cases}$，满足二元一次方程组的全部要求，因此m的值为0。
4. 已知二元一次方程$2x+y=5$，用含$x$的式子表示$y$，则$y=$.
答案
$5-2x$
解析
根据等式的基本性质，对二元一次方程$2x+y=5$进行移项操作，将含$x$的项$2x$移到等号右侧并改变符号，即可把$y$单独留在等号左侧，得到用含$x$的式子表示$y$的结果。
5.若单项式$-\dfrac{1}{3}x^{a+2b}y^{a-b}$与$3x^4y$是同类项，则$2a+b$的值为________.
答案
5
解析
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相等，可列出方程组：
$\begin{cases} a+2b=4 \\ a-b=1 \end{cases}$
用加减消元法，用第一个方程减去第二个方程，得：$3b=3$，解得$b=1$，
把$b=1$代入$a-b=1$，得$a-1=1$，解得$a=2$，
将$a=2$，$b=1$代入$2a+b$，计算得$2×2 +1=5$。
$\begin{cases} a+2b=4 \\ a-b=1 \end{cases}$
用加减消元法，用第一个方程减去第二个方程，得：$3b=3$，解得$b=1$，
把$b=1$代入$a-b=1$，得$a-1=1$，解得$a=2$，
将$a=2$，$b=1$代入$2a+b$，计算得$2×2 +1=5$。
6.在等式$y=kx+b$中，当$x=1$时，$y=2$；当$x=2$时，$y=-4$。计算式子$3k+2b$的值为________。
答案
-2
解析
将已知的两组x、y的对应值代入等式$y=kx+b$中，得到关于k、b的二元一次方程组：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 2k + b = -4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，解得$k=-6$，将$k=-6$代入$k+b=2$，解得$b=8$。
把$k=-6$、$b=8$代入$3k+2b$，计算得：$3×(-6)+2×8=-18+16=-2$。
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 2k + b = -4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，解得$k=-6$，将$k=-6$代入$k+b=2$，解得$b=8$。
把$k=-6$、$b=8$代入$3k+2b$，计算得：$3×(-6)+2×8=-18+16=-2$。
7.若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x-y=4, \\ kx+y=-8 \end{cases} $ 的解满足 $ x,y $ 互为相反数,通过计算求 $ k $ 的值.
答案
$k=-3$
解析
因为x，y互为相反数，所以可得$x + y = 0$。
将该方程和原方程组的第一个方程联立，得到新方程组：
$\begin{cases}x - y = 4 \\ x + y = 0\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$x + y = 0$，得$2 + y = 0$，解得$y=-2$。
把$x=2$，$y=-2$代入方程$kx + y = -8$，得$2k - 2 = -8$，计算得$2k=-6$，解得$k=-3$。
将该方程和原方程组的第一个方程联立，得到新方程组：
$\begin{cases}x - y = 4 \\ x + y = 0\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$x + y = 0$，得$2 + y = 0$，解得$y=-2$。
把$x=2$，$y=-2$代入方程$kx + y = -8$，得$2k - 2 = -8$，计算得$2k=-6$，解得$k=-3$。
8.小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组$\begin{cases}2x+□ y=3,\\□ x+y=3\end{cases}$第一个方程中$y$的系数遮住，第二个方程中$x$的系数遮住，并且告诉你$\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题。
答案
原来的方程组为$\begin{cases}2x - y = 3\\x + y = 3\end{cases}$
解析
设被遮住的第一个方程中y的系数为$a$，第二个方程中$x$的系数为$b$，则原方程组可表示为$\begin{cases}2x+ay=3\\bx+y=3\end{cases}$。
已知$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是该方程组的解，将解代入两个方程计算：
1. 把$x=2,y=1$代入$2x+ay=3$，得$2×2 + a×1=3$，即$4+a=3$，解得$a=-1$；
2. 把$x=2,y=1$代入$bx+y=3$，得$b×2 + 1=3$，即$2b=2$，解得$b=1$。
将求得的$a$、$b$代回所设方程组，即可得到原方程组。
已知$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是该方程组的解，将解代入两个方程计算：
1. 把$x=2,y=1$代入$2x+ay=3$，得$2×2 + a×1=3$，即$4+a=3$，解得$a=-1$；
2. 把$x=2,y=1$代入$bx+y=3$，得$b×2 + 1=3$，即$2b=2$，解得$b=1$。
将求得的$a$、$b$代回所设方程组，即可得到原方程组。
