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1. 已知$a+b＜0,ab＞0$,如图,在平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是()
A.$(a,b)$
B.$(a,-b)$
C.$(-a,b)$
D.$(-a,-b)$
A.$(a,b)$
B.$(a,-b)$
C.$(-a,b)$
D.$(-a,-b)$
答案
B
解析
1. 先根据已知条件判断a、b的符号：由ab＞0，可知a和b同号；又a+b＜0，说明两数不可能同时为正，因此可得a＜0，b＜0，进而推出-a＞0，-b＞0。
2. 观察图像，小手盖住的点位于第二象限，第二象限点的坐标特征是横坐标为负，纵坐标为正。
3. 逐一判断选项：
A.$(a,b)$：横、纵坐标都为负，属于第三象限，不符合；
B.$(a,-b)$：横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，符合要求；
C.$(-a,b)$：横坐标为正，纵坐标为负，属于第四象限，不符合；
D.$(-a,-b)$：横、纵坐标都为正，属于第一象限，不符合。
2. 观察图像，小手盖住的点位于第二象限，第二象限点的坐标特征是横坐标为负，纵坐标为正。
3. 逐一判断选项：
A.$(a,b)$：横、纵坐标都为负，属于第三象限，不符合；
B.$(a,-b)$：横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，符合要求；
C.$(-a,b)$：横坐标为正，纵坐标为负，属于第四象限，不符合；
D.$(-a,-b)$：横、纵坐标都为正，属于第一象限，不符合。
2. 若点$M(a-1,2a+4)$到$x$轴的距离是到$y$轴距离的$2$倍，则$a$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$-\dfrac{1}{2}$（或$-0.5$）
解析
在平面直角坐标系中，点$(x,y)$到$x$轴的距离等于纵坐标的绝对值，到$y$轴的距离等于横坐标的绝对值。根据题意可列等式：
$|2a+4| = 2|a-1|$
分两种情况讨论：
1. 当$2a+4 = 2(a-1)$时，化简得$2a+4=2a-2$，即$4=-2$，等式不成立，此情况无解；
2. 当$2a+4 = -2(a-1)$时，展开得$2a+4 = -2a + 2$，移项合并同类项得$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{2}$。
$|2a+4| = 2|a-1|$
分两种情况讨论：
1. 当$2a+4 = 2(a-1)$时，化简得$2a+4=2a-2$，即$4=-2$，等式不成立，此情况无解；
2. 当$2a+4 = -2(a-1)$时，展开得$2a+4 = -2a + 2$，移项合并同类项得$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{2}$。
3. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点$ O $出发，按向上→向右→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则$ A_{2026} $的坐标是________。
答案
$(1013,1)$
解析
我们先列出前若干个点的坐标，寻找规律：
由行走路线可得：
$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，
$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，……
观察可得规律：当下标满足$n=4k+2$（$k$为非负整数）时，对应点的坐标为$(2k+1,1)$。
计算$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，符合上述形式，此时$k=506$。
代入得横坐标$x=2×506+1=1013$，纵坐标$y=1$。
由行走路线可得：
$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，
$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，……
观察可得规律：当下标满足$n=4k+2$（$k$为非负整数）时，对应点的坐标为$(2k+1,1)$。
计算$2026÷4=506······2$，即$2026=4×506+2$，符合上述形式，此时$k=506$。
代入得横坐标$x=2×506+1=1013$，纵坐标$y=1$。
4.某阶梯的横截面如图所示，每个台阶的高、宽分别是1和2，每个台阶拐角的顶点分别为A，B,C,D,E.
(1)若以C为原点，在图中补画出x轴、y轴，并直接写出点A,D的坐标；
(2)若使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限，写出一个符合条件的原点的位置.
(1)若以C为原点，在图中补画出x轴、y轴，并直接写出点A,D的坐标；
(2)若使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限，写出一个符合条件的原点的位置.
答案
(1) $A(-4,-2)$，$D(2,1)$；
(2) 示例：取点A右侧、距离A点水平长度为3的地面点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上（答案不唯一，合理即可）。
(2) 示例：取点A右侧、距离A点水平长度为3的地面点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上（答案不唯一，合理即可）。
解析
(1) 以点C为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向补画平面直角坐标系。已知每个台阶的宽为2、高为1，点A在点C左侧4个单位、下方2个单位处，点D在点C右侧2个单位、上方1个单位处，据此可直接写出两点坐标。
(2) 第一象限内的点满足横坐标＞0且纵坐标＞0，只需让5个拐角顶点中的2个顶点横、纵坐标不同时为正，剩余3个顶点的横、纵坐标均大于0即可，任选一个符合该要求的原点位置即可。
(2) 第一象限内的点满足横坐标＞0且纵坐标＞0，只需让5个拐角顶点中的2个顶点横、纵坐标不同时为正，剩余3个顶点的横、纵坐标均大于0即可，任选一个符合该要求的原点位置即可。
5. $P(a,b)$是平面直角坐标系中的一点,若点$Q$的坐标为$(ka+b,a+kb)$(其中$k$为常数且$k≠0$),则称点$Q$为点$P$的“$k$拓点”.例如:点$P(1,2)$的“$2$拓点”为$Q(2×1+2,1+2×2)$,即点$Q$的坐标为$(4,5)$.
(1)求点$P(-2,1)$的“$3$拓点”$Q$的坐标;
(2)若点$P(-1,m)$的“$4$拓点”$Q$的坐标是$(-2,n)$,求$mn$的值.
(1)求点$P(-2,1)$的“$3$拓点”$Q$的坐标;
(2)若点$P(-1,m)$的“$4$拓点”$Q$的坐标是$(-2,n)$,求$mn$的值.
答案
(1) 点Q的坐标为$(-5,1)$；(2) $mn$的值为14。
解析
(1) 根据“k拓点”的定义，此处k=3，点P中a=-2，b=1，将数值代入点Q的坐标表达式$(ka+b,a+kb)$计算：
横坐标：$3×(-2)+1=-6+1=-5$
纵坐标：$-2 + 3×1=-2+3=1$，即可得到点Q的坐标。
(2) 由题意得k=4，将点P、Q的坐标代入“k拓点”的坐标规则：
横坐标满足等式：$4×(-1)+m=-2$，解一元一次方程得$m=2$
纵坐标满足等式：$-1+4m=n$，把$m=2$代入得$n=-1+4×2=7$
最后计算$mn$的结果即可。
横坐标：$3×(-2)+1=-6+1=-5$
纵坐标：$-2 + 3×1=-2+3=1$，即可得到点Q的坐标。
(2) 由题意得k=4，将点P、Q的坐标代入“k拓点”的坐标规则：
横坐标满足等式：$4×(-1)+m=-2$，解一元一次方程得$m=2$
纵坐标满足等式：$-1+4m=n$，把$m=2$代入得$n=-1+4×2=7$
最后计算$mn$的结果即可。
