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1. 先判断下面各是什么三角形,再画出指定底边上的高。
(
三角形 三角形 三角形
(
锐角
) (直角
) (钝角
)三角形 三角形 三角形
答案
1. 锐角 直角 钝角
解析
【分析】
首先第一步先判断三角形类型：三角形按角分类，三个角都小于90°的是锐角三角形，有一个角等于90°的是直角三角形，有一个角大于90°的是钝角三角形，逐个观察三个三角形的内角特征就能判断出对应类型。第二步画指定底边上的高：根据三角形高的定义，从指定底边所对的顶点，向这条底边作垂线段，顶点到垂足之间的线段就是该底边上的高，按照这个规则依次完成三个三角形的高的绘制即可。
【解析】
1. 三角形类型判断：
第一个三角形的三个内角都小于90°，符合锐角三角形的特征；
第二个三角形带有明确的直角标记，存在一个90°的内角，属于直角三角形；
第三个三角形有一个内角明显大于90°，符合钝角三角形的特征。
2. 绘制指定底边上的高：
锐角三角形：找到标注的底边所对的顶点，从该顶点向底边作垂线段，垂足落在底边上，标注直角符号，就得到对应底边上的高；
直角三角形：找到标注的斜边（底）所对的直角顶点，从直角顶点向斜边作垂线段，标注直角符号，即为该底边上的高；
钝角三角形：找到标注的长底边所对的钝角顶点，从该顶点向底边作垂线段，垂足落在底边上，标注直角符号，就得到对应底边上的高。
【答案】
锐角 直角 钝角
【知识点】
三角形按角分类，作三角形的高
【点评】
本题属于三角形相关的基础题型，考察三角形分类判断和指定底边上高的绘制，易错点是直角三角形斜边的高、钝角三角形对应高的垂足位置，牢记高的定义，借助三角尺的直角边辅助作图就可以避免出错。
【难度系数】
0.7
首先第一步先判断三角形类型：三角形按角分类，三个角都小于90°的是锐角三角形，有一个角等于90°的是直角三角形，有一个角大于90°的是钝角三角形，逐个观察三个三角形的内角特征就能判断出对应类型。第二步画指定底边上的高：根据三角形高的定义，从指定底边所对的顶点，向这条底边作垂线段，顶点到垂足之间的线段就是该底边上的高，按照这个规则依次完成三个三角形的高的绘制即可。
【解析】
1. 三角形类型判断：
第一个三角形的三个内角都小于90°，符合锐角三角形的特征；
第二个三角形带有明确的直角标记，存在一个90°的内角，属于直角三角形；
第三个三角形有一个内角明显大于90°，符合钝角三角形的特征。
2. 绘制指定底边上的高：
锐角三角形：找到标注的底边所对的顶点，从该顶点向底边作垂线段，垂足落在底边上，标注直角符号，就得到对应底边上的高；
直角三角形：找到标注的斜边（底）所对的直角顶点，从直角顶点向斜边作垂线段，标注直角符号，即为该底边上的高；
钝角三角形：找到标注的长底边所对的钝角顶点，从该顶点向底边作垂线段，垂足落在底边上，标注直角符号，就得到对应底边上的高。
【答案】
锐角 直角 钝角
【知识点】
三角形按角分类，作三角形的高
【点评】
本题属于三角形相关的基础题型，考察三角形分类判断和指定底边上高的绘制，易错点是直角三角形斜边的高、钝角三角形对应高的垂足位置，牢记高的定义，借助三角尺的直角边辅助作图就可以避免出错。
【难度系数】
0.7
(1)一个等腰三角形,若顶角是70°,则一个底角是(
55
)°。若一个底角是70°,则顶角是(40
)°。答案
(1)55 40
解析
【分析】
这道题需要结合三角形内角和的性质和等腰三角形的角的特征来解题：首先我们要明确任意三角形的内角和都是180°，而等腰三角形的两个底角大小完全相等。第一小问已知顶角求底角，我们可以先用内角和减去顶角的度数，得到两个底角的总度数，再除以2就能算出单个底角的度数；第二小问已知底角求顶角，我们可以先算出两个相等底角的总度数，再用三角形内角和减去两个底角的和，就能得到顶角的度数。
【解析】
1. 计算顶角为70°时的底角：
三角形内角和为180°，两个底角之和为 $180° - 70° = 110°$，因为等腰三角形两底角相等，所以单个底角为 $110° ÷ 2 = 55°$。
2. 计算底角为70°时的顶角：
两个底角之和为 $70° × 2 = 140°$，因此顶角为 $180° - 140° = 40°$。
【答案】
55 40
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，核心考察对等腰三角形角的特征的掌握，只要牢记三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等这两个核心结论，就可以快速完成计算，不容易出现错误。
【难度系数】
0.9
这道题需要结合三角形内角和的性质和等腰三角形的角的特征来解题：首先我们要明确任意三角形的内角和都是180°，而等腰三角形的两个底角大小完全相等。第一小问已知顶角求底角，我们可以先用内角和减去顶角的度数，得到两个底角的总度数，再除以2就能算出单个底角的度数；第二小问已知底角求顶角，我们可以先算出两个相等底角的总度数，再用三角形内角和减去两个底角的和，就能得到顶角的度数。
【解析】
1. 计算顶角为70°时的底角：
三角形内角和为180°，两个底角之和为 $180° - 70° = 110°$，因为等腰三角形两底角相等，所以单个底角为 $110° ÷ 2 = 55°$。
2. 计算底角为70°时的顶角：
两个底角之和为 $70° × 2 = 140°$，因此顶角为 $180° - 140° = 40°$。
【答案】
55 40
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，核心考察对等腰三角形角的特征的掌握，只要牢记三角形内角和为180°、等腰三角形两底角相等这两个核心结论，就可以快速完成计算，不容易出现错误。
【难度系数】
0.9
(2)一个等腰三角形,其中两条边的长分别是8厘米和16厘米,它的周长是(
40
)厘米。答案
(2)40
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的核心特征是有两条边长度相等，题目给出两条边长分别是8厘米和16厘米，因此第三条边的长度只可能是8厘米或者16厘米，我们不能直接默认哪条边是腰，必须结合三角形三边的关系（任意两边之和大于第三边）逐一验证两种情况是否能围成有效三角形，排除不符合要求的情况后，再把三条边长度相加就能得到正确周长。
【解析】
1. 分类讨论边长组合：
情况1：假设腰长为8厘米，此时三条边长度为8厘米、8厘米、16厘米。
验证三边关系：8+8=16厘米，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，该组合无法围成三角形，直接排除。
情况2：假设腰长为16厘米，此时三条边长度为16厘米、16厘米、8厘米。
验证三边关系：16+8＞16，16+16＞8，完全符合三角形三边要求，是有效的等腰三角形。
2. 计算周长：将三条边长度相加，16+16+8=40厘米。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系
【点评】
本题的高频易错点是很多同学会跳过三边验证步骤，错误算出周长为8+8+16=32厘米，解题时一定要牢记涉及三角形边长的问题，都需要先验证边长组合是否满足三边约束条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
首先回忆等腰三角形的核心特征是有两条边长度相等，题目给出两条边长分别是8厘米和16厘米，因此第三条边的长度只可能是8厘米或者16厘米，我们不能直接默认哪条边是腰，必须结合三角形三边的关系（任意两边之和大于第三边）逐一验证两种情况是否能围成有效三角形，排除不符合要求的情况后，再把三条边长度相加就能得到正确周长。
【解析】
1. 分类讨论边长组合：
情况1：假设腰长为8厘米，此时三条边长度为8厘米、8厘米、16厘米。
验证三边关系：8+8=16厘米，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，该组合无法围成三角形，直接排除。
情况2：假设腰长为16厘米，此时三条边长度为16厘米、16厘米、8厘米。
验证三边关系：16+8＞16，16+16＞8，完全符合三角形三边要求，是有效的等腰三角形。
2. 计算周长：将三条边长度相加，16+16+8=40厘米。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系
【点评】
本题的高频易错点是很多同学会跳过三边验证步骤，错误算出周长为8+8+16=32厘米，解题时一定要牢记涉及三角形边长的问题，都需要先验证边长组合是否满足三边约束条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
(1)两个完全一样的(
A.锐角
B.直角
C.钝角
B
)三角形可以拼成一个长方形。A.锐角
B.直角
C.钝角
答案
(1)B
(2)一个三角形,如果其中两个角的度数之和等于第三个角的度数,那么这个三角形是(
A.锐角
B.直角
C.钝角
B
)三角形。A.锐角
B.直角
C.钝角
答案
(2)B
解析
【分析】
我们首先要回忆三角形的内角和固定为180°这个核心性质，题目给出两个角的度数之和等于第三个角，我们可以把这个数量关系代入内角和公式，直接计算出第三个角的具体度数，再对照三角形按角分类的判定规则，就能判断出这个三角形的类型。
【解析】
第一步：明确三角形内角和为180°，设该三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，根据题意可得：∠1 + ∠2 = ∠3。
第二步：将∠1 + ∠2 = ∠3代入内角和公式∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，可得：∠3 + ∠3 = 180°，即2×∠3 = 180°。
第三步：计算得出∠3 = 180°÷2 = 90°，有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此这个三角形是直角三角形。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形按角分类
【点评】
本题是三角形分类模块的基础经典题型，解题的核心思路是利用内角和的固定值转化已知的角的数量关系，无需复杂运算，理清角的关系就能快速推导结果，是巩固三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
我们首先要回忆三角形的内角和固定为180°这个核心性质，题目给出两个角的度数之和等于第三个角，我们可以把这个数量关系代入内角和公式，直接计算出第三个角的具体度数，再对照三角形按角分类的判定规则，就能判断出这个三角形的类型。
【解析】
第一步：明确三角形内角和为180°，设该三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，根据题意可得：∠1 + ∠2 = ∠3。
第二步：将∠1 + ∠2 = ∠3代入内角和公式∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，可得：∠3 + ∠3 = 180°，即2×∠3 = 180°。
第三步：计算得出∠3 = 180°÷2 = 90°，有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此这个三角形是直角三角形。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形按角分类
【点评】
本题是三角形分类模块的基础经典题型，解题的核心思路是利用内角和的固定值转化已知的角的数量关系，无需复杂运算，理清角的关系就能快速推导结果，是巩固三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
(3)三角形的最大角一定(
A.小于90°
B.大于60°
C.不小于60°
C
)。A.小于90°
B.大于60°
C.不小于60°
答案
(3)C
解析
【分析】
我们可以从三角形内角和固定为180°的核心性质出发思考：首先假设三角形的最大角小于60°，那么其余两个角肯定都比这个最大角还小，三个内角相加的总和就会小于180°，和三角形内角和定理矛盾，说明最大角不可能小于60°。接下来我们再逐一验证选项排除错误答案：选项A，钝角三角形的最大角是大于90°的，显然A错误；选项B，等边三角形的三个内角都是60°，此时三角形的最大角就是60°，并不大于60°，所以B也不对，最终就能得到正确选项。
【解析】
解：已知三角形内角和为180°：
1. 推导最大角的下限：假设三角形最大角∠A ＜ 60°，那么另外两个内角满足∠B ≤ ∠A ＜60°，∠C ≤ ∠A ＜60°，因此∠A+∠B+∠C ＜ 60°+60°+60°=180°，与三角形内角和为180°矛盾，因此最大角不可能小于60°，即最大角不小于60°。
2. 排除错误选项：
选项A：钝角三角形的最大角大于90°，因此“小于90°”的描述不成立，A错误；
选项B：等边三角形三个内角均为60°，此时最大角等于60°，不满足“大于60°”的描述，B错误；
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，反证法
【点评】
这道题属于易错题，很多同学容易忽略等边三角形三个内角都为60°的特殊情况，误选B选项，解题时要注意区分“大于60°”和“不小于60°”的逻辑差异，掌握用反证法推导边界、用特殊例证伪错误选项的解题技巧。
【难度系数】
0.6
我们可以从三角形内角和固定为180°的核心性质出发思考：首先假设三角形的最大角小于60°，那么其余两个角肯定都比这个最大角还小，三个内角相加的总和就会小于180°，和三角形内角和定理矛盾，说明最大角不可能小于60°。接下来我们再逐一验证选项排除错误答案：选项A，钝角三角形的最大角是大于90°的，显然A错误；选项B，等边三角形的三个内角都是60°，此时三角形的最大角就是60°，并不大于60°，所以B也不对，最终就能得到正确选项。
【解析】
解：已知三角形内角和为180°：
1. 推导最大角的下限：假设三角形最大角∠A ＜ 60°，那么另外两个内角满足∠B ≤ ∠A ＜60°，∠C ≤ ∠A ＜60°，因此∠A+∠B+∠C ＜ 60°+60°+60°=180°，与三角形内角和为180°矛盾，因此最大角不可能小于60°，即最大角不小于60°。
2. 排除错误选项：
选项A：钝角三角形的最大角大于90°，因此“小于90°”的描述不成立，A错误；
选项B：等边三角形三个内角均为60°，此时最大角等于60°，不满足“大于60°”的描述，B错误；
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，反证法
【点评】
这道题属于易错题，很多同学容易忽略等边三角形三个内角都为60°的特殊情况，误选B选项，解题时要注意区分“大于60°”和“不小于60°”的逻辑差异，掌握用反证法推导边界、用特殊例证伪错误选项的解题技巧。
【难度系数】
0.6
4. 你能判断下面的三角形各是什么三角形吗? 若能判断,请在下面的()里填上相应序号。
① 锐角三角形
② 直角三角形
③ 钝角三角形
① 锐角三角形
② 直角三角形
③ 钝角三角形
答案
4. 不能判断 ② ③
解析
【分析】
我们可以逐个观察露出的角来判断三角形类型：首先回忆三角形按角分类的规则，任意三角形都至少有2个锐角，只有当露出的角是直角或者钝角时，我们才能直接确定三角形的类型。第一个图只露出了一个锐角，剩下两个角被遮挡，无法确定另外两个角是否存在直角或者钝角，因此无法判断它的类别；第二个图露出的角带有直角符号，说明这个三角形有一个直角，可以直接判定；第三个图露出的角明显大于90°是钝角，有一个钝角的三角形就是钝角三角形，可以直接判定。
【解析】
1. 第一个三角形：仅露出1个锐角，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都存在锐角，仅通过1个锐角无法确定另外两个内角的属性，因此不能判断该三角形的类型。
2. 第二个三角形：露出的角标注了直角符号，说明该三角形存在一个90°的内角，根据直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此对应序号②。
3. 第三个三角形：露出的内角明显大于90°，属于钝角，根据钝角三角形的定义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此对应序号③。
【答案】
不能判断 ② ③
【知识点】
三角形按角分类，直角三角形判定，钝角三角形判定
【点评】
本题的易错点是第一个图形，很多同学看到露出锐角就误判为锐角三角形，忽略了所有三角形都至少有2个锐角，仅露出一个锐角时无法确定三角形的类别，只有露出直角或钝角时才能直接确定三角形类型。
【难度系数】
0.6
我们可以逐个观察露出的角来判断三角形类型：首先回忆三角形按角分类的规则，任意三角形都至少有2个锐角，只有当露出的角是直角或者钝角时，我们才能直接确定三角形的类型。第一个图只露出了一个锐角，剩下两个角被遮挡，无法确定另外两个角是否存在直角或者钝角，因此无法判断它的类别；第二个图露出的角带有直角符号，说明这个三角形有一个直角，可以直接判定；第三个图露出的角明显大于90°是钝角，有一个钝角的三角形就是钝角三角形，可以直接判定。
【解析】
1. 第一个三角形：仅露出1个锐角，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都存在锐角，仅通过1个锐角无法确定另外两个内角的属性，因此不能判断该三角形的类型。
2. 第二个三角形：露出的角标注了直角符号，说明该三角形存在一个90°的内角，根据直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此对应序号②。
3. 第三个三角形：露出的内角明显大于90°，属于钝角，根据钝角三角形的定义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此对应序号③。
【答案】
不能判断 ② ③
【知识点】
三角形按角分类，直角三角形判定，钝角三角形判定
【点评】
本题的易错点是第一个图形，很多同学看到露出锐角就误判为锐角三角形，忽略了所有三角形都至少有2个锐角，仅露出一个锐角时无法确定三角形的类别，只有露出直角或钝角时才能直接确定三角形类型。
【难度系数】
0.6
5. 用下面的9根小棒摆成一个等边三角形和两个等腰三角形,可以怎样摆?把你摆的结果画出来。
答案
5.
等边三角形:
等腰三角形:
(答案不唯一)
解析
【分析】
首先我们先梳理现有小棒：4cm、5cm、9cm的小棒各有3根，总共9根，需要用完所有小棒摆出1个等边三角形和2个等腰三角形。第一步先确定等边三角形的选法：等边三角形需要3根长度完全相同的小棒，三种长度的小棒刚好各有3根，所以等边三角形的边长可以从这三个长度里选择。第二步选完等边三角形的3根小棒后，剩下的6根小棒要凑出两个等腰三角形，此时必须结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）筛选合法组合，避开4cm、4cm、9cm这类两边之和小于第三边的不合法组合，就能得到符合要求的摆法，且摆法不唯一。
【解析】
1. 先统计小棒数量：长度为4cm、5cm、9cm的小棒各3根，共9根。
2. 优先确定等边三角形的边长，比如选择边长为4cm的等边三角形，使用全部3根4cm小棒。
3. 剩余小棒为3根5cm、3根9cm，尝试组合等腰三角形：
第一个等腰三角形选2根5cm、1根9cm：验证三边关系，5+5＞9，5+9＞5，符合三角形构成要求。
剩余小棒为1根5cm、2根9cm，组成第二个等腰三角形：三边为9cm、9cm、5cm，验证三边关系，5+9＞9，9+9＞5，符合三角形构成要求。
4. 其他合法方案举例：等边三角形边长为5cm，使用全部3根5cm小棒，剩余小棒3根4cm、3根9cm，组成两个等腰三角形，分别是4cm、9cm、9cm和4cm、9cm、9cm，同样满足三边关系，也是合法摆法。
【答案】
等边三角形:
等腰三角形:
(答案不唯一)
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形特征，等边三角形特征
【点评】
本题需要结合特殊三角形的边的特征和三角形三边限制条件组合小棒，易错点是忽略三边关系，误选4cm、4cm、9cm这类无法构成三角形的组合，解题时可以先确定等边三角形的选法，再逐步推导剩余小棒的组合，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.6
首先我们先梳理现有小棒：4cm、5cm、9cm的小棒各有3根，总共9根，需要用完所有小棒摆出1个等边三角形和2个等腰三角形。第一步先确定等边三角形的选法：等边三角形需要3根长度完全相同的小棒，三种长度的小棒刚好各有3根，所以等边三角形的边长可以从这三个长度里选择。第二步选完等边三角形的3根小棒后，剩下的6根小棒要凑出两个等腰三角形，此时必须结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）筛选合法组合，避开4cm、4cm、9cm这类两边之和小于第三边的不合法组合，就能得到符合要求的摆法，且摆法不唯一。
【解析】
1. 先统计小棒数量：长度为4cm、5cm、9cm的小棒各3根，共9根。
2. 优先确定等边三角形的边长，比如选择边长为4cm的等边三角形，使用全部3根4cm小棒。
3. 剩余小棒为3根5cm、3根9cm，尝试组合等腰三角形：
第一个等腰三角形选2根5cm、1根9cm：验证三边关系，5+5＞9，5+9＞5，符合三角形构成要求。
剩余小棒为1根5cm、2根9cm，组成第二个等腰三角形：三边为9cm、9cm、5cm，验证三边关系，5+9＞9，9+9＞5，符合三角形构成要求。
4. 其他合法方案举例：等边三角形边长为5cm，使用全部3根5cm小棒，剩余小棒3根4cm、3根9cm，组成两个等腰三角形，分别是4cm、9cm、9cm和4cm、9cm、9cm，同样满足三边关系，也是合法摆法。
【答案】
等边三角形:
等腰三角形:
(答案不唯一)
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形特征，等边三角形特征
【点评】
本题需要结合特殊三角形的边的特征和三角形三边限制条件组合小棒，易错点是忽略三边关系，误选4cm、4cm、9cm这类无法构成三角形的组合，解题时可以先确定等边三角形的选法，再逐步推导剩余小棒的组合，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.6
6. 一个等腰三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3,其中∠1的度数是∠2的4倍。这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度?
答案
6. ∠1的度数是∠2的4倍,要分两种情况
考虑。
①当∠1是顶角时:底角∠2=∠3=
$180° ÷ (4+1+1)=30°$,顶角∠1=$30° ×$
$4=120°$
②当∠2是顶角时:顶角∠2=$180° ÷ (4+4+$
$1)=20°$,底角∠1=∠3=$(180°-20°) ÷$
$2=80°$
答:这个等腰三角形的顶角是$120°$,底
角是$30°$或者顶角是$20°$,底角是$80°$。
考虑。
①当∠1是顶角时:底角∠2=∠3=
$180° ÷ (4+1+1)=30°$,顶角∠1=$30° ×$
$4=120°$
②当∠2是顶角时:顶角∠2=$180° ÷ (4+4+$
$1)=20°$,底角∠1=∠3=$(180°-20°) ÷$
$2=80°$
答:这个等腰三角形的顶角是$120°$,底
角是$30°$或者顶角是$20°$,底角是$80°$。
解析
【分析】
首先我们要明确两个核心基础：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是任意三角形的内角和都是180°。题目仅说明∠1的度数是∠2的4倍，没有指定∠1和∠2哪个是顶角、哪个是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种情况假设∠1是顶角，那么两个相等的底角就是∠2和∠3，把∠2的度数看作1份，∠1就是4份，三个角总份数为4+1+1=6份，用内角和180°除以总份数就能算出1份的度数，进而得到底角和顶角的度数。第二种情况假设∠2是顶角，那么两个相等的底角就是∠1和∠3，此时∠1和∠3都为4份，总份数是4+4+1=9份，用180°除以总份数得到顶角∠2的度数，再算出底角度数，最后验证两种情况的内角和都符合180°，均为合法三角形。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，结合∠1=4∠2，分两类计算：
1. 当∠1为顶角时，两个底角∠2=∠3：
三个角的总份数：4 + 1 + 1 = 6
底角度数：$180° ÷ 6 = 30°$
顶角度数：$30° × 4 = 120°$
2. 当∠2为顶角时，两个底角∠1=∠3：
三个角的总份数：4 + 4 + 1 = 9
顶角度数：$180° ÷ 9 = 20°$
底角度数：$20° × 4 = 80°$
两种情况的内角和均为180°，都满足三角形的内角要求。
【答案】
这个等腰三角形的顶角是$120°$，底角是$30°$，或者顶角是$20°$，底角是$80°$。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，分类讨论
【点评】
本题的易错点是很多同学会默认某一个角是顶角，只计算其中一种情况，漏掉另一组符合条件的解。解题时要注意题干没有指定顶角和底角的对应关系，必须结合等腰三角形两底角相等的性质全面分类讨论，计算完成后可以反向验证内角和是否为180°，避免出现不符合三角形规则的错误结果。
【难度系数】
0.5
首先我们要明确两个核心基础：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是任意三角形的内角和都是180°。题目仅说明∠1的度数是∠2的4倍，没有指定∠1和∠2哪个是顶角、哪个是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种情况假设∠1是顶角，那么两个相等的底角就是∠2和∠3，把∠2的度数看作1份，∠1就是4份，三个角总份数为4+1+1=6份，用内角和180°除以总份数就能算出1份的度数，进而得到底角和顶角的度数。第二种情况假设∠2是顶角，那么两个相等的底角就是∠1和∠3，此时∠1和∠3都为4份，总份数是4+4+1=9份，用180°除以总份数得到顶角∠2的度数，再算出底角度数，最后验证两种情况的内角和都符合180°，均为合法三角形。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，结合∠1=4∠2，分两类计算：
1. 当∠1为顶角时，两个底角∠2=∠3：
三个角的总份数：4 + 1 + 1 = 6
底角度数：$180° ÷ 6 = 30°$
顶角度数：$30° × 4 = 120°$
2. 当∠2为顶角时，两个底角∠1=∠3：
三个角的总份数：4 + 4 + 1 = 9
顶角度数：$180° ÷ 9 = 20°$
底角度数：$20° × 4 = 80°$
两种情况的内角和均为180°，都满足三角形的内角要求。
【答案】
这个等腰三角形的顶角是$120°$，底角是$30°$，或者顶角是$20°$，底角是$80°$。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和，分类讨论
【点评】
本题的易错点是很多同学会默认某一个角是顶角，只计算其中一种情况，漏掉另一组符合条件的解。解题时要注意题干没有指定顶角和底角的对应关系，必须结合等腰三角形两底角相等的性质全面分类讨论，计算完成后可以反向验证内角和是否为180°，避免出现不符合三角形规则的错误结果。
【难度系数】
0.5
