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1. 下面物体的面,哪些是等边三角形?把序号写在横线上。
①③
答案
1. ①③
解析
【分析】
我们先明确等边三角形的核心特征：三条边的长度完全相等，三个内角都为60°。接下来逐个判断四个物体的轮廓面：
1. 先看①警示牌：它的外轮廓是正三角形，三条边长度相等，符合等边三角形的特征；
2. 再看②衣挂：它的轮廓两条侧边长度和底部的长底边长度明显不相等，不属于等边三角形；
3. 接着看③三角魔方的外轮廓面：整体是正四面体的一个面，三条边长度完全相等，属于等边三角形；
4. 最后看④三角尺：它是直角三角形，三个角分别是90°、60°、30°，三条边长度各不相等，不属于等边三角形。
最后筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
根据等边三角形“三条边长度相等，三个内角均为60°”的定义逐一判断：
①警示牌的面是等边三角形；
②衣挂的面三条边长度不相等，不是等边三角形；
③三角魔方的外轮廓面是等边三角形；
④三角尺的面是直角三角形，三条边长度不等，不是等边三角形。
因此符合条件的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
等边三角形的特征
【点评】
本题结合生活常见物品考察等边三角形的定义辨析，解题核心是牢记等边三角形三边相等的特点，区分它和普通等腰三角形、直角三角形的差异，不要被物品的日常用途干扰判断。
【难度系数】
0.8
我们先明确等边三角形的核心特征：三条边的长度完全相等，三个内角都为60°。接下来逐个判断四个物体的轮廓面：
1. 先看①警示牌：它的外轮廓是正三角形，三条边长度相等，符合等边三角形的特征；
2. 再看②衣挂：它的轮廓两条侧边长度和底部的长底边长度明显不相等，不属于等边三角形；
3. 接着看③三角魔方的外轮廓面：整体是正四面体的一个面，三条边长度完全相等，属于等边三角形；
4. 最后看④三角尺：它是直角三角形，三个角分别是90°、60°、30°，三条边长度各不相等，不属于等边三角形。
最后筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
根据等边三角形“三条边长度相等，三个内角均为60°”的定义逐一判断：
①警示牌的面是等边三角形；
②衣挂的面三条边长度不相等，不是等边三角形；
③三角魔方的外轮廓面是等边三角形；
④三角尺的面是直角三角形，三条边长度不等，不是等边三角形。
因此符合条件的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
等边三角形的特征
【点评】
本题结合生活常见物品考察等边三角形的定义辨析，解题核心是牢记等边三角形三边相等的特点，区分它和普通等腰三角形、直角三角形的差异，不要被物品的日常用途干扰判断。
【难度系数】
0.8
2. 在下面的方格纸中按要求画出三角形。
(1)三个角都是锐角的等腰三角形。
(2)有一个角是直角的等腰三角形。
(3)有一个角是钝角的等腰三角形。
(1)三个角都是锐角的等腰三角形。
(2)有一个角是直角的等腰三角形。
(3)有一个角是钝角的等腰三角形。
答案
2. 画法不唯一,(1)~(3)示例:
解析
【分析】
我们可以先回忆三类目标三角形的核心特征，再结合方格的格点特性来绘制：
1. 首先明确等腰三角形的核心是有两条边长度相等，我们可以利用网格的横竖线，先选一条水平的底边，找到底边的中点，在过中点的竖直线（也就是底边的中垂线）上取顶点，就能自然保证两条腰长度相等。
2. 绘制锐角等腰三角形时，让顶点距离底边足够远，保证三个内角都小于90°即可；绘制等腰直角三角形时，可以直接让两条互相垂直的直角边长度相等，利用网格横竖边直接构造直角；绘制钝角等腰三角形时，让顶点距离底边足够近，此时顶角就会大于90°，满足钝角的要求。所有顶点都放在格点上，绘制起来非常方便，且画法不唯一，只要符合对应特征都正确。
【解析】
(1) 三个角都是锐角的等腰三角形：选取长度为4格的水平线段作为底边，找到底边中点，在中点正上方距离底边3格的格点处取顶点，依次连接三个端点，得到的三角形两条腰长度相等，且三个内角都小于90°，符合要求。
(2) 有一个角是直角的等腰三角形：选取格点作为直角顶点，向右数3格取一个端点，向上数3格取另一个端点，依次连接三个点，得到的三角形两条直角边长度相等，且有一个内角为90°，是等腰直角三角形，符合要求。
(3) 有一个角是钝角的等腰三角形：选取长度为6格的水平线段作为底边，找到底边中点，在中点正上方距离底边2格的格点处取顶点，依次连接三个端点，得到的三角形两条腰长度相等，且顶角大于90°，符合要求。
【答案】
画法不唯一,(1)~(3)示例:
【知识点】
等腰三角形特征，三角形按角分类，格点图形绘制
【点评】
本题属于基础作图题，核心是考察学生对不同类型等腰三角形定义的理解，利用网格的特性可以很便捷地构造出符合要求的图形，画法灵活不唯一，能帮助学生直观区分锐角、直角、钝角等腰三角形的角的差异。
【难度系数】
0.8
我们可以先回忆三类目标三角形的核心特征，再结合方格的格点特性来绘制：
1. 首先明确等腰三角形的核心是有两条边长度相等，我们可以利用网格的横竖线，先选一条水平的底边，找到底边的中点，在过中点的竖直线（也就是底边的中垂线）上取顶点，就能自然保证两条腰长度相等。
2. 绘制锐角等腰三角形时，让顶点距离底边足够远，保证三个内角都小于90°即可；绘制等腰直角三角形时，可以直接让两条互相垂直的直角边长度相等，利用网格横竖边直接构造直角；绘制钝角等腰三角形时，让顶点距离底边足够近，此时顶角就会大于90°，满足钝角的要求。所有顶点都放在格点上，绘制起来非常方便，且画法不唯一，只要符合对应特征都正确。
【解析】
(1) 三个角都是锐角的等腰三角形：选取长度为4格的水平线段作为底边，找到底边中点，在中点正上方距离底边3格的格点处取顶点，依次连接三个端点，得到的三角形两条腰长度相等，且三个内角都小于90°，符合要求。
(2) 有一个角是直角的等腰三角形：选取格点作为直角顶点，向右数3格取一个端点，向上数3格取另一个端点，依次连接三个点，得到的三角形两条直角边长度相等，且有一个内角为90°，是等腰直角三角形，符合要求。
(3) 有一个角是钝角的等腰三角形：选取长度为6格的水平线段作为底边，找到底边中点，在中点正上方距离底边2格的格点处取顶点，依次连接三个端点，得到的三角形两条腰长度相等，且顶角大于90°，符合要求。
【答案】
画法不唯一,(1)~(3)示例:
【知识点】
等腰三角形特征，三角形按角分类，格点图形绘制
【点评】
本题属于基础作图题，核心是考察学生对不同类型等腰三角形定义的理解，利用网格的特性可以很便捷地构造出符合要求的图形，画法灵活不唯一，能帮助学生直观区分锐角、直角、钝角等腰三角形的角的差异。
【难度系数】
0.8
3. 新情境 人文历史 金字塔是古埃及人民智慧的结晶,是古埃及文明的象征。金字塔的侧面是一个等腰三角形,顶角约是$52°$,一个底角约是多少度?
答案
3. $(180°-52°)÷2=64°$
答:一个底角约是$64°$。
答:一个底角约是$64°$。
解析
【分析】
我们可以按照两步思路来解题：首先回忆两个核心知识点，一是任意三角形的内角和都是180°，二是等腰三角形的两个底角大小相等。题目已经给出这个等腰三角形的顶角约是52°，我们先利用三角形内角和减去顶角的度数，算出两个底角的总度数，再因为两个底角相等，把总度数除以2，就能得到单个底角的度数了。
【解析】
1. 先计算两个底角的度数和：根据三角形内角和为180°，减去已知的顶角52°，可得两个底角的总度数：
$180° - 52° = 128°$
2. 再计算单个底角的度数：根据等腰三角形两底角相等的性质，将两个底角的总度数除以2：
$128° ÷ 2 = 64°$
答：一个底角约是64°。
【答案】
$(180°-52°)÷2=64°$，一个底角约是$64°$
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质
【点评】
本题结合古埃及金字塔的人文历史情境设计题目，把几何知识和人文常识结合起来，既考察了学生对三角形内角和、等腰三角形特征的基础掌握情况，也能让学生体会到数学知识在不同场景中的实际应用，是非常典型的基础几何应用题。
【难度系数】
0.9
我们可以按照两步思路来解题：首先回忆两个核心知识点，一是任意三角形的内角和都是180°，二是等腰三角形的两个底角大小相等。题目已经给出这个等腰三角形的顶角约是52°，我们先利用三角形内角和减去顶角的度数，算出两个底角的总度数，再因为两个底角相等，把总度数除以2，就能得到单个底角的度数了。
【解析】
1. 先计算两个底角的度数和：根据三角形内角和为180°，减去已知的顶角52°，可得两个底角的总度数：
$180° - 52° = 128°$
2. 再计算单个底角的度数：根据等腰三角形两底角相等的性质，将两个底角的总度数除以2：
$128° ÷ 2 = 64°$
答：一个底角约是64°。
【答案】
$(180°-52°)÷2=64°$，一个底角约是$64°$
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质
【点评】
本题结合古埃及金字塔的人文历史情境设计题目，把几何知识和人文常识结合起来，既考察了学生对三角形内角和、等腰三角形特征的基础掌握情况，也能让学生体会到数学知识在不同场景中的实际应用，是非常典型的基础几何应用题。
【难度系数】
0.9
4. 一根铁丝刚好可以围成一个边长为10厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围一个腰是9厘米的等腰三角形,那么这个等腰三角形的底是多少厘米?
答案
4. $10×3-9×2=12$(厘米)
答:这个等腰三角形的底是12厘米。
答:这个等腰三角形的底是12厘米。
解析
【分析】
解题的核心是同一根铁丝的总长度始终不变，也就是围成的等边三角形和后续的等腰三角形周长完全相等。第一步先根据等边三角形三条边长度相等的特征，算出铁丝的总长度也就是等边三角形的周长；第二步再根据等腰三角形两条腰长度相等的特征，算出两条腰的总长度；最后用铁丝的总长度减去两条腰的长度和，就能得到等腰三角形的底边长，最后还可以验证三边关系确认结果合理。
【解析】
1. 计算铁丝的总长度：
等边三角形周长=边长×3，已知等边三角形边长为10厘米，因此铁丝总长为：
$10×3 = 30$（厘米）
2. 计算等腰三角形两条腰的总长度：
等腰三角形两条腰长度相等，已知腰长是9厘米，因此两腰长度和为：
$9×2 = 18$（厘米）
3. 计算等腰三角形的底边长：
等腰三角形底边长=周长-两腰长度和，代入数值可得：
$30 - 18 = 12$（厘米）
验证：$9+9＞12$、$9+12＞9$，满足三角形三边关系，结果有效。
【答案】
这个等腰三角形的底是12厘米。
【知识点】
等边三角形周长，等腰三角形特征，周长不变原理
【点评】
本题属于三角形周长计算的基础应用题，抓住“同一根铁丝总长度不变”这个核心等量关系即可快速解题，做完后可以额外验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现算出的边长无法构成三角形的错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是同一根铁丝的总长度始终不变，也就是围成的等边三角形和后续的等腰三角形周长完全相等。第一步先根据等边三角形三条边长度相等的特征，算出铁丝的总长度也就是等边三角形的周长；第二步再根据等腰三角形两条腰长度相等的特征，算出两条腰的总长度；最后用铁丝的总长度减去两条腰的长度和，就能得到等腰三角形的底边长，最后还可以验证三边关系确认结果合理。
【解析】
1. 计算铁丝的总长度：
等边三角形周长=边长×3，已知等边三角形边长为10厘米，因此铁丝总长为：
$10×3 = 30$（厘米）
2. 计算等腰三角形两条腰的总长度：
等腰三角形两条腰长度相等，已知腰长是9厘米，因此两腰长度和为：
$9×2 = 18$（厘米）
3. 计算等腰三角形的底边长：
等腰三角形底边长=周长-两腰长度和，代入数值可得：
$30 - 18 = 12$（厘米）
验证：$9+9＞12$、$9+12＞9$，满足三角形三边关系，结果有效。
【答案】
这个等腰三角形的底是12厘米。
【知识点】
等边三角形周长，等腰三角形特征，周长不变原理
【点评】
本题属于三角形周长计算的基础应用题，抓住“同一根铁丝总长度不变”这个核心等量关系即可快速解题，做完后可以额外验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现算出的边长无法构成三角形的错误。
【难度系数】
0.8
5. 用一根24厘米长的绳子围成一个等腰三角形,可以怎样围?填一填。(每条边的长度都是整厘米数)
答案
5.
腰/厘米 9 10 8 7 11
腰/厘米 9 10 8 7 11
底/厘米 6 4 8 10 2
腰/厘米 9 10 8 7 11
腰/厘米 9 10 8 7 11
底/厘米 6 4 8 10 2
解析
【分析】
我们首先明确题目条件：绳子总长24厘米，也就是围成的等腰三角形周长为24厘米，且所有边长都是整厘米数。首先回忆等腰三角形的特征是两条腰长度相等，因此可以先得到周长的等量关系：2×腰长 + 底边长 = 24。接下来要注意不能只满足周长要求，还必须符合三角形三边的基本规则：任意两边之和大于第三边，代入等腰三角形的情况就是两腰之和必须大于底边长，同时底边长必须大于0。通过这两个约束条件先算出腰长的合法取值范围，再逐一计算对应的底边长，就能得到所有符合要求的结果，填入表格即可。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为a厘米，底边长为b厘米，根据题意：
1. 周长条件：2a + b = 24，可得b = 24 - 2a
2. 三角形三边约束：
① 两腰之和大于底边：2a ＞ b，将b=24-2a代入得：
2a ＞ 24 - 2a
4a ＞ 24
a ＞ 6
② 底边长为正：b ＞ 0，即24 - 2a ＞ 0，解得a ＜ 12
3. 因为边长是整厘米数，所以腰长a的合法取值为7、8、9、10、11：
当a=9时，b=24 - 2×9 = 6
当a=10时，b=24 - 2×10 = 4
当b=8时，a=(24-8)÷2 = 8
当a=7时，b=24 - 2×7 = 10
当a=11时，b=24 - 2×11 = 2
将所有数值按顺序填入表格即可。
【答案】
腰/厘米行从左到右依次为：9、10、8、7、11
腰/厘米行从左到右依次为：9、10、8、7、11
底/厘米行从左到右依次为：6、4、8、10、2
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形边长枚举类题目，易错点是忽略三角形三边的约束条件，直接凑周长得到无效的边长组合，解题时先通过不等式锁定腰长的取值范围，再逐一枚举计算，既不会出现不符合规则的结果，也不会漏解。
【难度系数】
0.7
我们首先明确题目条件：绳子总长24厘米，也就是围成的等腰三角形周长为24厘米，且所有边长都是整厘米数。首先回忆等腰三角形的特征是两条腰长度相等，因此可以先得到周长的等量关系：2×腰长 + 底边长 = 24。接下来要注意不能只满足周长要求，还必须符合三角形三边的基本规则：任意两边之和大于第三边，代入等腰三角形的情况就是两腰之和必须大于底边长，同时底边长必须大于0。通过这两个约束条件先算出腰长的合法取值范围，再逐一计算对应的底边长，就能得到所有符合要求的结果，填入表格即可。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为a厘米，底边长为b厘米，根据题意：
1. 周长条件：2a + b = 24，可得b = 24 - 2a
2. 三角形三边约束：
① 两腰之和大于底边：2a ＞ b，将b=24-2a代入得：
2a ＞ 24 - 2a
4a ＞ 24
a ＞ 6
② 底边长为正：b ＞ 0，即24 - 2a ＞ 0，解得a ＜ 12
3. 因为边长是整厘米数，所以腰长a的合法取值为7、8、9、10、11：
当a=9时，b=24 - 2×9 = 6
当a=10时，b=24 - 2×10 = 4
当b=8时，a=(24-8)÷2 = 8
当a=7时，b=24 - 2×7 = 10
当a=11时，b=24 - 2×11 = 2
将所有数值按顺序填入表格即可。
【答案】
腰/厘米行从左到右依次为：9、10、8、7、11
腰/厘米行从左到右依次为：9、10、8、7、11
底/厘米行从左到右依次为：6、4、8、10、2
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形边长枚举类题目，易错点是忽略三角形三边的约束条件，直接凑周长得到无效的边长组合，解题时先通过不等式锁定腰长的取值范围，再逐一枚举计算，既不会出现不符合规则的结果，也不会漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,等边三角形ABC里有个等腰三角形BCD,$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$,那么$∠ 5$是多少度呢?
答案
6. $∠1=∠2=60°÷2=30°$,同理$∠3=∠4=$$30°$,$∠5=180°-∠2-∠3=180°-30°-$$30°=120°$
答:$∠5$是$120°$。
答:$∠5$是$120°$。
解析
【分析】
解题时我们可以按三步思考：第一步，先回忆等边三角形的特征，等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°，所以可以直接得到△ABC里∠ABC和∠ACB的度数都是60°；第二步，结合题目给出的∠1=∠2、∠3=∠4的条件，可知∠ABC=∠1+∠2=2∠2=60°，∠ACB=∠3+∠4=2∠3=60°，由此就能算出∠2和∠3的度数；第三步，在△BCD中，利用三角形内角和为180°，用180°减去∠2和∠3的度数，就能得到∠5的大小。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以它的两个底角：
$∠ABC=∠ACB=60°$
2. 已知$∠1=∠2$，且$∠ABC=∠1+∠2$，因此：
$∠2 = 60°÷2 = 30°$
同理，已知$∠3=∠4$，且$∠ACB=∠3+∠4$，因此：
$∠3 = 60°÷2 = 30°$
3. 根据三角形内角和为180°，在△BCD中：
$∠5 = 180° - ∠2 - ∠3 = 180° - 30° - 30° = 120°$
【答案】
∠5是120°
【知识点】
等边三角形性质，三角形内角和
【点评】
这是一道三角形角度计算的基础题，先利用等边三角形内角固定为60°的特点拆分出两个相等的小角，再结合三角形内角和公式即可算出结果，能帮助学生巩固等边三角形和三角形内角和的基础知识点。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按三步思考：第一步，先回忆等边三角形的特征，等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°，所以可以直接得到△ABC里∠ABC和∠ACB的度数都是60°；第二步，结合题目给出的∠1=∠2、∠3=∠4的条件，可知∠ABC=∠1+∠2=2∠2=60°，∠ACB=∠3+∠4=2∠3=60°，由此就能算出∠2和∠3的度数；第三步，在△BCD中，利用三角形内角和为180°，用180°减去∠2和∠3的度数，就能得到∠5的大小。
【解析】
1. 因为△ABC是等边三角形，所以它的两个底角：
$∠ABC=∠ACB=60°$
2. 已知$∠1=∠2$，且$∠ABC=∠1+∠2$，因此：
$∠2 = 60°÷2 = 30°$
同理，已知$∠3=∠4$，且$∠ACB=∠3+∠4$，因此：
$∠3 = 60°÷2 = 30°$
3. 根据三角形内角和为180°，在△BCD中：
$∠5 = 180° - ∠2 - ∠3 = 180° - 30° - 30° = 120°$
【答案】
∠5是120°
【知识点】
等边三角形性质，三角形内角和
【点评】
这是一道三角形角度计算的基础题，先利用等边三角形内角固定为60°的特点拆分出两个相等的小角，再结合三角形内角和公式即可算出结果，能帮助学生巩固等边三角形和三角形内角和的基础知识点。
【难度系数】
0.7
