登录
4. 小伊设计一张板报，她有一张长17厘米、宽12厘米的照片，要放在一页上，可是这一页可放照片的地方只有6厘米宽。如果她把照片的宽按实际可容纳的尺寸缩小到6厘米，那么按比例缩小后的照片的长成了多少厘米？
答案
17÷(12÷6)=8.5(cm)
解析
【分析】
本题属于按比例缩放的实际应用题，解题核心是抓住“按比例缩小”时，长和宽的缩小倍数完全相同。首先我们可以先计算出照片的宽缩小了多少倍，再用原来的长除以这个缩小倍数，就能得到缩小后照片的长度。
【解析】
第一步：计算宽的缩小倍数
原来照片的宽是12厘米，缩小后宽为6厘米，所以宽缩小的倍数为：$12÷6=2$
第二步：计算缩小后的长
因为是按比例缩小，长的缩小倍数和宽相同，所以缩小后的长为：
$17÷2=8.5$（厘米）
列综合算式为：$17÷(12÷6)=8.5$（厘米）
【答案】
8.5厘米
【知识点】
比例缩放、比例应用
【点评】
本题结合生活场景考察比例相关知识的实际运用，解题关键是明确按比例缩放时长宽的缩放比例一致，题目设置贴近生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
本题属于按比例缩放的实际应用题，解题核心是抓住“按比例缩小”时，长和宽的缩小倍数完全相同。首先我们可以先计算出照片的宽缩小了多少倍，再用原来的长除以这个缩小倍数，就能得到缩小后照片的长度。
【解析】
第一步：计算宽的缩小倍数
原来照片的宽是12厘米，缩小后宽为6厘米，所以宽缩小的倍数为：$12÷6=2$
第二步：计算缩小后的长
因为是按比例缩小，长的缩小倍数和宽相同，所以缩小后的长为：
$17÷2=8.5$（厘米）
列综合算式为：$17÷(12÷6)=8.5$（厘米）
【答案】
8.5厘米
【知识点】
比例缩放、比例应用
【点评】
本题结合生活场景考察比例相关知识的实际运用，解题关键是明确按比例缩放时长宽的缩放比例一致，题目设置贴近生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
5. 小明家养了若干只鸡和兔。根据右面的信息计算，鸡和兔的数量比是多少？
答案
3:1
解析
【分析】
解题时首先明确基本常识：1只鸡有1个头、2只脚，1只兔有1个头、4只脚，因此头的总数量就是鸡和兔的总只数，脚的总数量是鸡的总脚数加兔的总脚数。我们可以设鸡的数量为x只，兔的数量为y只，结合题目给出的头与脚的数量比，利用比例的基本性质列等式，化简后即可求出鸡和兔的数量比。
【解析】
设鸡有x只，兔有y只。
头的总数量为：$x+y$
脚的总数量为：$2x+4y$
根据题意，头与脚的数量比为$2:5$，可列比例式：
$(x+y):(2x+4y)=2:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$5(x+y)=2(2x+4y)$
展开计算：
$5x+5y=4x+8y$
移项化简：
$5x-4x=8y-5y$
$x=3y$
因此$x:y=3:1$
【答案】
$3:1$
【知识点】
比例的基本性质，鸡兔同笼问题，比的化简
【点评】
本题将鸡兔同笼的数量关系和比例知识结合，解题核心是先理清头、脚总数量与鸡、兔数量的对应关系，再运用比例性质求解，能够考查学生对比例知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确基本常识：1只鸡有1个头、2只脚，1只兔有1个头、4只脚，因此头的总数量就是鸡和兔的总只数，脚的总数量是鸡的总脚数加兔的总脚数。我们可以设鸡的数量为x只，兔的数量为y只，结合题目给出的头与脚的数量比，利用比例的基本性质列等式，化简后即可求出鸡和兔的数量比。
【解析】
设鸡有x只，兔有y只。
头的总数量为：$x+y$
脚的总数量为：$2x+4y$
根据题意，头与脚的数量比为$2:5$，可列比例式：
$(x+y):(2x+4y)=2:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$5(x+y)=2(2x+4y)$
展开计算：
$5x+5y=4x+8y$
移项化简：
$5x-4x=8y-5y$
$x=3y$
因此$x:y=3:1$
【答案】
$3:1$
【知识点】
比例的基本性质，鸡兔同笼问题，比的化简
【点评】
本题将鸡兔同笼的数量关系和比例知识结合，解题核心是先理清头、脚总数量与鸡、兔数量的对应关系，再运用比例性质求解，能够考查学生对比例知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 一个正方体的每个顶点都是三条棱的端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体上切下一个角，这样一共切下八个角。余下部分的体积(图中的涂色部分)和原正方体体积的比是多少？
答案
设正方体的体积是1,切下的8个角是相同的直三棱锥,每个直三棱锥的底面是直角三角形,两条直角边长均等于$\frac{1}{2}$,高也是$\frac{1}{2}$,体积是$\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$,所以余下部分的体积和原正方体体积的比是5:6
解析
【分析】
我们可以用设特殊值的方法简化计算，首先把原正方体的棱长设为1，那么它的体积就是1。观察切下的8个角，它们是完全相同的直三棱锥，我们只需要先算出1个直三棱锥的体积，乘8得到切掉的总体积，再用原正方体体积减去切掉的体积，就能得到余下部分的体积，最后计算余下部分和原正方体体积的比即可。
【解析】
解：设原正方体的棱长为1，则原正方体的体积为 $1×1×1=1$。
切下的每个角都是相同的直三棱锥，它的底面是直角三角形，两条直角边长均为$\frac{1}{2}$，三棱锥的高也为$\frac{1}{2}$。
根据体积公式计算：
1. 底面直角三角形面积：$S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
2. 单个直三棱锥体积：$V_{单}=\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$
3. 8个三棱锥的总体积：$V_{切}=8×\frac{1}{48}=\frac{1}{6}$
4. 余下部分体积：$V_{余}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
5. 体积比：$\frac{5}{6}:1=5:6$
【答案】
$5:6$
【知识点】
正方体体积计算；三棱锥体积计算；比的化简
【点评】
本题结合立体图形切割考查体积比例计算，解题关键是准确判断切下部分的形状和对应尺寸，用设特殊值的方法能有效简化计算，可锻炼空间想象能力和立体几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
我们可以用设特殊值的方法简化计算，首先把原正方体的棱长设为1，那么它的体积就是1。观察切下的8个角，它们是完全相同的直三棱锥，我们只需要先算出1个直三棱锥的体积，乘8得到切掉的总体积，再用原正方体体积减去切掉的体积，就能得到余下部分的体积，最后计算余下部分和原正方体体积的比即可。
【解析】
解：设原正方体的棱长为1，则原正方体的体积为 $1×1×1=1$。
切下的每个角都是相同的直三棱锥，它的底面是直角三角形，两条直角边长均为$\frac{1}{2}$，三棱锥的高也为$\frac{1}{2}$。
根据体积公式计算：
1. 底面直角三角形面积：$S=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
2. 单个直三棱锥体积：$V_{单}=\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{48}$
3. 8个三棱锥的总体积：$V_{切}=8×\frac{1}{48}=\frac{1}{6}$
4. 余下部分体积：$V_{余}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
5. 体积比：$\frac{5}{6}:1=5:6$
【答案】
$5:6$
【知识点】
正方体体积计算；三棱锥体积计算；比的化简
【点评】
本题结合立体图形切割考查体积比例计算，解题关键是准确判断切下部分的形状和对应尺寸，用设特殊值的方法能有效简化计算，可锻炼空间想象能力和立体几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图,酒瓶中装有一些酒,酒杯口的直径是酒瓶的一半。将酒倒进酒杯中,共能倒满多少杯?(设酒瓶中装酒部分为圆柱形,酒杯中装酒部分为圆锥形)
答案
$\frac{2×2×5}{\frac{1}{3}×1×1×2}=30$(杯)
解析
【分析】
解题时先根据酒杯和酒瓶的直径关系确定二者的半径比，为方便计算可直接设酒瓶底面半径为2，酒杯底面半径为1；再结合题图确定酒瓶内酒的总高度为2+3=5，酒杯的装酒高度为2；接下来分别用圆柱体积公式计算酒的总体积、用圆锥体积公式计算1杯酒的体积，最后用酒的总体积除以1杯酒的体积，就能得到能倒满的总杯数，计算时π可以直接约掉，简化运算。
【解析】
设酒瓶的底面半径为2，则酒杯的底面半径为2÷2=1。
1. 计算酒的总体积（装酒部分为圆柱形）：
圆柱体积公式：$V_{圆柱}=πr^2h$，酒的总高度为$2+3=5$
$V_{总}=π×2^2×5=20π$
2. 计算1杯酒的体积（装酒部分为圆锥形）：
圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^2h$，酒杯装酒高度为2
$V_{杯}=\frac{1}{3}×π×1^2×2=\frac{2}{3}π$
3. 计算总杯数：
总杯数 = 酒的总体积÷1杯酒的体积
$20π÷\frac{2}{3}π = 30$（杯）
计算时π可直接约去，也可直接列算式：$\frac{2×2×5}{\frac{1}{3}×1×1×2}=30$
【答案】
30杯
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、比的应用
【点评】
这道题是立体图形体积的实际应用题，解题的核心是准确把握圆柱、圆锥的体积公式，易错点是计算圆锥体积时漏乘$\frac{1}{3}$，或忽略半径平方的计算，掌握好直径和半径的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据酒杯和酒瓶的直径关系确定二者的半径比，为方便计算可直接设酒瓶底面半径为2，酒杯底面半径为1；再结合题图确定酒瓶内酒的总高度为2+3=5，酒杯的装酒高度为2；接下来分别用圆柱体积公式计算酒的总体积、用圆锥体积公式计算1杯酒的体积，最后用酒的总体积除以1杯酒的体积，就能得到能倒满的总杯数，计算时π可以直接约掉，简化运算。
【解析】
设酒瓶的底面半径为2，则酒杯的底面半径为2÷2=1。
1. 计算酒的总体积（装酒部分为圆柱形）：
圆柱体积公式：$V_{圆柱}=πr^2h$，酒的总高度为$2+3=5$
$V_{总}=π×2^2×5=20π$
2. 计算1杯酒的体积（装酒部分为圆锥形）：
圆锥体积公式：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^2h$，酒杯装酒高度为2
$V_{杯}=\frac{1}{3}×π×1^2×2=\frac{2}{3}π$
3. 计算总杯数：
总杯数 = 酒的总体积÷1杯酒的体积
$20π÷\frac{2}{3}π = 30$（杯）
计算时π可直接约去，也可直接列算式：$\frac{2×2×5}{\frac{1}{3}×1×1×2}=30$
【答案】
30杯
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、比的应用
【点评】
这道题是立体图形体积的实际应用题，解题的核心是准确把握圆柱、圆锥的体积公式，易错点是计算圆锥体积时漏乘$\frac{1}{3}$，或忽略半径平方的计算，掌握好直径和半径的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
