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18. 如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，现有一动点$P$，从点$A$出发，沿着三角形的边$AC\rightarrow CB\rightarrow BA$运动，回到点$A$停止，速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 如图①，当$t=$
(2) 如图②，在$△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ A$. 在$△ ABC$的边上，若另外有一个动点$Q$，与点$P$同时从点$A$出发，沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动，回到点$A$停止. 在两点运动过程中的某一时刻，恰好$△ APQ≌△ DEF$，求点$Q$的运动速度.
(1) 如图①，当$t=$
$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
时，$△ APC$的面积等于$△ ABC$面积的一半；(2) 如图②，在$△ DEF$中，$∠ E=90°$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ A$. 在$△ ABC$的边上，若另外有一个动点$Q$，与点$P$同时从点$A$出发，沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动，回到点$A$停止. 在两点运动过程中的某一时刻，恰好$△ APQ≌△ DEF$，求点$Q$的运动速度.
答案
18. (1)$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
(2)$△ APQ≌△ DEF$，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
i. 当点P在AC上，如图①所示.
此时，$AP=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$点Q移动的速度为$5÷(4÷3)=\frac{15}{4}(\mathrm{cm/s})$.
ii. 当点P在AB上，如图②所示.
此时，$AP=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=5\ \mathrm{cm}$，
即点P移动的距离为$9+12+15-4=32(\mathrm{cm})$，点Q移动的距离为$9+12+15-5=31(\mathrm{cm})$，
$\therefore$点Q移动的速度为$31÷(32÷3)=\frac{93}{32}(\mathrm{cm/s})$.
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好$△ APQ≌△ DEF$，点Q的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$.
解析
【分析】
(1) 先求出△ABC的面积，得到△APC的目标面积，再分点P在CB上、点P在BA上两种情况，分别用含t的式子表示对应△APC的相关边长，列方程求解即可。
(2) 由△APQ≌△DEF且∠A=∠D，可得对应边AP=DE=4cm、AQ=DF=5cm，分两种情况讨论：①点P在AC上时，先求P的运动时间，再结合Q的运动路程求速度；②点P在AB上（临近回到A点）时，先算出P的总路程得到运动时间，再计算Q的总路程，进而求出Q的速度。
【解析】
(1) 先计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}^2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在CB上运动时：
点P运动的总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(3t-12)\ \mathrm{cm}$，
由三角形面积公式得：$S_{△ APC}=\frac{1}{2}× AC× CP=\frac{1}{2}×12×(3t-12)=27$，
解得：$3t-12=4.5$，即$t=\frac{11}{2}$；
② 当点P在BA上运动时：
$△ APC$和$△ ABC$同以AC为底，面积为$△ ABC$的一半，说明P到AC的距离为BC的一半，即P是AB中点，$AP=\frac{1}{2}AB=7.5\ \mathrm{cm}$，
此时点P运动的总路程为$AC+CB+BP=12+9+(15-7.5)=28.5\ \mathrm{cm}$，
因此$3t=28.5$，解得$t=\frac{19}{2}$。
(2) 已知$△ APQ≌△ DEF$，$∠ D=∠ A$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$，由全等三角形对应边相等可得：$AP=DE=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=DF=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
i. 当点P在AC上时，如图①所示：
点P的运动时间$t=4÷3=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$，此时点Q运动的路程为$AQ=5\ \mathrm{cm}$，
因此点Q的速度为$5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$；
ii. 当点P在AB上（临近回到A点）时，如图②所示：
此时点P运动的总路程为$AC+CB+BA-AP=12+9+15-4=32\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=32÷3=\frac{32}{3}\ \mathrm{s}$，
此时点Q运动的总路程为$AC+CB+BA-AQ=12+9+15-5=31\ \mathrm{cm}$，
因此点Q的速度为$31÷\frac{32}{3}=\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
(2) 点Q的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合类动点题，重点考查全等三角形的性质、三角形面积的计算，解题时需要分类讨论动点的位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 先求出△ABC的面积，得到△APC的目标面积，再分点P在CB上、点P在BA上两种情况，分别用含t的式子表示对应△APC的相关边长，列方程求解即可。
(2) 由△APQ≌△DEF且∠A=∠D，可得对应边AP=DE=4cm、AQ=DF=5cm，分两种情况讨论：①点P在AC上时，先求P的运动时间，再结合Q的运动路程求速度；②点P在AB上（临近回到A点）时，先算出P的总路程得到运动时间，再计算Q的总路程，进而求出Q的速度。
【解析】
(1) 先计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=27\ \mathrm{cm}^2$。
分两种情况讨论：
① 当点P在CB上运动时：
点P运动的总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(3t-12)\ \mathrm{cm}$，
由三角形面积公式得：$S_{△ APC}=\frac{1}{2}× AC× CP=\frac{1}{2}×12×(3t-12)=27$，
解得：$3t-12=4.5$，即$t=\frac{11}{2}$；
② 当点P在BA上运动时：
$△ APC$和$△ ABC$同以AC为底，面积为$△ ABC$的一半，说明P到AC的距离为BC的一半，即P是AB中点，$AP=\frac{1}{2}AB=7.5\ \mathrm{cm}$，
此时点P运动的总路程为$AC+CB+BP=12+9+(15-7.5)=28.5\ \mathrm{cm}$，
因此$3t=28.5$，解得$t=\frac{19}{2}$。
(2) 已知$△ APQ≌△ DEF$，$∠ D=∠ A$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$，由全等三角形对应边相等可得：$AP=DE=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=DF=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
i. 当点P在AC上时，如图①所示：
点P的运动时间$t=4÷3=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$，此时点Q运动的路程为$AQ=5\ \mathrm{cm}$，
因此点Q的速度为$5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$；
ii. 当点P在AB上（临近回到A点）时，如图②所示：
此时点P运动的总路程为$AC+CB+BA-AP=12+9+15-4=32\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=32÷3=\frac{32}{3}\ \mathrm{s}$，
此时点Q运动的总路程为$AC+CB+BA-AQ=12+9+15-5=31\ \mathrm{cm}$，
因此点Q的速度为$31÷\frac{32}{3}=\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
(2) 点Q的运动速度为$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合类动点题，重点考查全等三角形的性质、三角形面积的计算，解题时需要分类讨论动点的位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
