10 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,点$E$在$AC$上,且$CD=CE$,若$∠ ADE=20°$,则$∠ C$的度数为.

（第10题图）
（第11题图）

10.$40°$

【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC和AD是中线的条件入手，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，得到∠ADC=90°；结合已知∠ADE=20°，就能求出∠EDC的度数；再根据CD=CE可知△CDE是等腰三角形，依据“等边对等角”可得∠CED=∠EDC，最后利用三角形内角和为180°即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADC=90°，
∵∠ADE=20°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-20°=70°，
又
∵CD=CE，
∴∠CED=∠EDC=70°（等腰三角形等边对等角），
在△CDE中，根据三角形内角和定理：
∠C + ∠EDC + ∠CED = 180°，
∴∠C=180°-70°-70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形内角和定理推导角度关系，是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7

11 如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC=10，BD平分∠∠ABC交AC于点D，AD=6，若M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值为。

11.$\dfrac{48}{5}$

【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知BD垂直平分AC，因此点C和点A关于BD对称，可得CM=AM，即可将求CM+MN的最小值转化为求AM+MN的最小值；根据垂线段最短，当A、M、N三点共线且AN垂直于BC时，AM+MN的值最小，等于AN的长度，最后用等面积法求出AN的长度即可。
【解析】
解：
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分AC（等腰三角形三线合一），即点A与点C关于BD对称，
∴CM=AM，因此CM+MN=AM+MN。
根据点到直线的距离垂线段最短，当A、M、N三点共线且AN⊥BC时，AM+MN取得最小值，最小值为AN的长度。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴AC=2AD=12，
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×12×8=48$，
又
∵$S=\frac{1}{2}×BC×AN$，BC=10，
∴$\frac{1}{2}×10×AN=48$，解得$AN=\frac{48}{5}$，
即CM+MN的最小值为$\frac{48}{5}$。
【答案】
$\dfrac{48}{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，等面积法
【点评】
本题解题的核心是利用轴对称的性质将两条线段和的最值问题转化为点到直线的垂线段长度，结合等腰三角形性质和等面积法即可求解，是轴对称最值问题的典型考法。
【难度系数】
0.6

三、解答题
12 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，D，E是BC上两点，且$AD=AE$。求证：$BD=EC$。

12.提示:证$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{AAS})$,可得$BD=EC$.

【分析】
要证明BD=EC，可通过证明两条线段所在的△ABD与△ACE全等实现。首先利用已知的两组等腰三角形条件，推导全等所需的角相等条件：由AB=AC可得△ABC的底角∠B=∠C；由AD=AE可得△ADE的底角∠ADE=∠AED，再根据邻补角的性质可推出∠ADB=∠AEC；结合已知边AB=AC，即可用AAS判定两个三角形全等，最后由全等性质得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）。
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等腰三角形的两个底角相等）。
∵∠ADB=180°-∠ADE，∠AEC=180°-∠AED，
∴∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C\\∠ADB=∠AEC\\AB=AC\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（AAS）。
∴BD=EC（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
BD=EC，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础典型题，核心考查等腰三角形性质与全等三角形判定、性质的综合运用，解题关键是利用等腰三角形的底角相等推导得到全等所需的角相等条件，掌握这类题的证明逻辑对后续几何学习很有帮助。
【难度系数】
0.8

13 如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC交AB于点E，∠A=75°，∠BDC=105°.求△BDE各内角的度数.

13.$∠ EBD=∠ EDB=30°,∠ BED=120°$.

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，结合已知的∠A和∠BDC的度数求出∠ABD的度数；再根据BD是角平分线得到∠DBC的度数，结合DE平行BC的条件，利用平行线内错角相等的性质得到∠EDB的度数；最后利用三角形内角和为180°求出∠BED的度数即可。
【解析】
解：
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
已知∠A=75°，∠BDC=105°，
∴∠ABD = ∠BDC - ∠A = 105° - 75° = 30°，即∠EBD=30°。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC = ∠ABD = 30°（角平分线将角分为两个相等的角）。
又
∵DE//BC，
∴∠EDB = ∠DBC = 30°（两直线平行，内错角相等）。
在△BDE中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BED = 180° - ∠EBD - ∠EDB = 180° - 30° - 30° = 120°。
【答案】
∠EBD=30°，∠EDB=30°，∠BED=120°
【知识点】
三角形外角性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形相关性质与平行线、角平分线的知识点结合考查，解题时只要理清各角之间的关系，按逻辑逐步推导即可得出结果，有助于巩固几何基础性质的应用。
【难度系数】
0.7

14 如图，$△ ABC$ 和$△ ADE$ 都是等边三角形，点 $B$，$C$，$D$ 在同一条直线上.求证：
(1)$△ ABD≌△ ACE$；
(2)$∠ ECD＝60°$.

14.证明:(1)$\because△ ABC$ 和$△ ADE$ 都是等边三角形,$\therefore AB=AC,AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°,\therefore∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,即$∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because△ ABD≌△ ACE,\therefore∠ ACE=∠ B=60°,\therefore∠ ECD=180°-∠ ACB-∠ ACE=60°$.

【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACE，可结合全等三角形的SAS判定定理推导：首先根据等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过已知的60°角加上公共角∠CAD得到两组边的夹角相等，即可满足SAS判定条件完成证明。
（2）要证明∠ECD=60°，可借助第一问的全等结论推导：全等三角形对应角相等，可得∠ACE等于等边△ABC的内角∠B即60°，再结合B、C、D共线得到∠BCD为平角180°，减去∠ACB和∠ACE的度数即可求出∠ECD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可得△ABD≌△ACE（SAS）。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得对应角∠ACE=∠B=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
又
∵点B、C、D在同一条直线上，∠BCD为平角等于180°，
∴∠ECD = 180° - ∠ACB - ∠ACE = 180° - 60° - 60° = 60°。
【答案】
(1) $\because△ ABC$ 和$△ ADE$ 都是等边三角形,$\therefore AB=AC,AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°,\therefore∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,即$∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2) $\because△ ABD≌△ ACE,\therefore∠ ACE=∠ B=60°,\therefore∠ ECD=180°-∠ ACB-∠ ACE=60°$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规证明题，重点考察等边三角形和全等三角形相关性质的综合运用，解题时要注意挖掘公共角、平角等隐含条件，理清角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7