15 如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD=CF$，$∠ EDF=60°$，求证：$BE=CD$。

15.证明:$\because△ ABC$ 是等边三角形,$\therefore∠ B=∠ C=60°.\because∠ EDF=60°$,$\therefore∠ BDE+∠ CDF=120°.\because∠ B=60°,\therefore∠ BDE+∠ BED=120°,\therefore∠ BED=∠ CDF$.
在$△ BDE$ 和$△ CFD$ 中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CDF,\\∠ B=∠ C,\\BD=CF,\end{cases}$ $\therefore△ BDE≌△ CFD(\mathrm{AAS}),\therefore BE=CD$.

【分析】
要证明$BE=CD$，可通过证明两条线段所在的$△ BDE$和$△ CFD$全等来求解。首先根据等边三角形的性质可得$∠ B=∠ C=60°$，结合已知$∠ EDF=60°$，利用平角定义和三角形内角和定理可推出$∠ BED=∠ CDF$，再结合已知条件$BD=CF$，即可通过AAS判定两个三角形全等，最后由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ B=∠ C=60°$。
$\because ∠ EDF=60°$，$\therefore ∠ BDE+∠ CDF=180°-60°=120°$。
$\because ∠ B=60°$，$\therefore △ BDE$中$∠ BDE+∠ BED=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ BED=∠ CDF$。
在$△ BDE$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠ BED=∠ CDF,\\∠ B=∠ C,\\BD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CD$。
【答案】
$BE=CD$，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是常规几何证明题，核心是利用等边三角形的角度特征推导相等的对应角，进而证明三角形全等，解题关键是找准全等三角形的对应角和对应边，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1 下列条件，不能判定$△ ABC$是直角三角形的是 （）

A.$a:b:c=3:4:5$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$∠ A+∠ B=∠ C$
D.$a:b:c=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

1.B

【分析】
本题考查直角三角形的判定，我们可以从角、边两个维度对选项逐一验证：从角的角度，结合三角形内角和为180°，若存在一个角为90°则为直角三角形；从边的角度，用勾股定理的逆定理，若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，最终选出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设三边长分别为$3k、4k、5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
B选项：设三个角分别为$3x、4x、5x$，由三角形内角和为180°可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，则最大角$∠ C=5×15°=75°＜90°$，$△ ABC$是锐角三角形，不能判定为直角三角形，符合题意。
C选项：因为$∠ A+∠ B=∠ C$，且$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
D选项：设三边长分别为$k、\sqrt{2}k、\sqrt{3}k$（$k＞0$），计算得$k^2+(\sqrt{2}k)^2=k^2+2k^2=3k^2=(\sqrt{3}k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的两种判定思路，做题时要注意题干要求选择“不能判定”的选项，避免因审题失误丢分，只要熟练掌握内角和公式与勾股逆定理，逐一验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2 下列命题的逆命题成立的是 （）

A.对顶角相等
B.等边三角形的三边都相等
C.若 $ x = y $，则 $ x^2 = y^2 $
D.全等三角形的对应角相等

2.B

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下步骤思考：首先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。其次，我们需要逐一写出每个选项中原命题的逆命题，再结合学过的定理、性质判断逆命题是否为真命题，成立的那个选项就是正确答案。
【解析】
我们先逐个分析各选项的逆命题是否成立：
A. 原命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（例如平行线的同位角也相等），因此逆命题不成立。
B. 原命题“等边三角形的三边都相等”的逆命题是“三边都相等的三角形是等边三角形”。根据等边三角形的判定定理，三边相等的三角形是等边三角形，因此逆命题成立。
C. 原命题“若$x=y$，则$x^2=y^2$”的逆命题是“若$x^2=y^2$，则$x=y$”。当$x^2=y^2$时，$x$和$y$也可能互为相反数（例如$x=2,y=-2$时，$x^2=y^2$但$x≠y$），因此逆命题不成立。
D. 原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”。对应角相等的三角形只能保证形状相同，大小不一定相等（例如两个边长不同的等边三角形），属于相似三角形，不一定全等，因此逆命题不成立。
综上，只有B选项的逆命题成立。
【答案】
B
【知识点】
互逆命题，命题真假判断，等边三角形判定
【点评】
本题核心是考查逆命题的辨析和真假命题的判断，易错点是互换原命题的题设和结论时出错，或是对常见几何图形的性质、判定定理掌握不牢导致判断错误，解题时可以结合反例验证命题的真假。
【难度系数】
0.8

3 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,DE垂直平分AB,交BC于点E,垂足为D,BE=10 cm,$∠ EAC=60°$,则AC=（）


A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

3.C

【分析】
解题时首先观察题干条件，DE垂直平分AB，可根据线段垂直平分线的性质得到EA=BE，先求出AE的长度；再结合△AEC是直角三角形，已知∠C=90°、∠EAC=60°，可推出∠AEC=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴EA=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵BE=10cm，
∴AE=10cm，
在Rt△ACE中，∠C=90°，∠EAC=60°，
∴∠AEC=180°-90°-60°=30°，
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AC=½AE=½×10=5cm。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，侧重考察基础性质的应用，解题关键是将已知条件通过垂直平分线的性质转化到同一个直角三角形中，再结合特殊直角三角形的边角关系计算边长，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

4 下列命题为假命题的是 （）

A.三角形的外角和等于 $180°$
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D.全等三角形的对应边上的高相等

4.A

【分析】
要判断哪个是假命题，只需将每个选项的描述和对应的几何定理逐一比对，描述与定理内容不符的就是假命题，也就是本题要选的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 任意多边形的外角和均为360°，三角形属于多边形，因此三角形外角和是360°，不是180°，该命题描述错误，是假命题；
B. 线段垂直平分线的性质为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，描述符合定理，是真命题；
C. 角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，描述符合定理，是真命题；
D. 全等三角形的对应线段（对应边上的高、中线、对应角平分线等）都相等，因此全等三角形对应边上的高相等，描述符合性质，是真命题。
综上，假命题为A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角和定理；线段垂直平分线的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对常见几何基础定理的掌握程度，解题关键是熟记相关性质，避免混淆三角形内角和与外角和等相似概念。
【难度系数】
0.85

5 如图,在$Rt△ ACB$中,$∠ C=90°$,D是BC边的中点,$AC=3$,$CD=BD=2$,分别以A,D两点为圆心,以大于$\frac{1}{2}AD$长为半径作弧,交于M,N两点,作直线MN分别交AC,AB,AD于点E,F,G,连接DE,DF.以下结论错误的是 ()

A.$MN⊥ AD$
B.$CD^2 + CE^2 = AE^2$
C.$∠ EDG = ∠ B$
D.$\frac{EG}{CD} = \frac{\sqrt{13}}{6}$

5.C

【分析】
首先识别尺规作图的性质：题中MN是线段AD的垂直平分线，由此可得两个核心结论：①MN⊥AD，AG=GD；②AE=DE。接下来结合已知边长，逐个分析选项：A选项直接由垂直平分线性质判断；B选项利用AE=DE，结合Rt△CDE的勾股定理判断；D选项先设CE为未知数，用勾股定理求出AE长度，再在Rt△AEG中用勾股定理算出EG长度即可验证；C选项通过比较∠EDG（等于∠EAD）和∠B的正切值，判断两角是否相等，最终找出错误选项。
【解析】
由尺规作图可知，MN是线段AD的垂直平分线，因此MN⊥AD，且AE=DE，AG=GD。
选项A：根据垂直平分线的性质，垂直平分线垂直于对应线段，故MN⊥AD，A结论正确，不符合题意。
选项B：
∵AE=DE，在Rt△CDE中，由勾股定理得CD²+CE²=DE²，将DE替换为AE，可得CD²+CE²=AE²，B结论正确，不符合题意。
先计算基础边长：在Rt△ACD中，AC=3，CD=2，∠C=90°，由勾股定理得AD=√(AC²+CD²)=√(3²+2²)=√13，故AG=½AD=√13/2。
选项D：设CE=x，则AE=DE=AC-CE=3-x，在Rt△CDE中，由勾股定理：CE²+CD²=DE²，即x²+2²=(3-x)²，展开得x²+4=9-6x+x²，解得x=5/6，因此AE=3-5/6=13/6。在Rt△AEG中，由勾股定理得EG=√(AE²-AG²)=√[(13/6)²-(√13/2)²]=√[(169/36)-(117/36)]=√(52/36)=√13/3。因此EG/CD=(√13/3)/2=√13/6，D结论正确，不符合题意。
选项C：
∵AE=DE，
∴∠EDG=∠EAD。在Rt△ACB中，BC=2CD=4，tanB=AC/BC=3/4；在Rt△ACD中，tan∠EAD=CD/AC=2/3，
∵3/4≠2/3，
∴∠EAD≠∠B，即∠EDG≠∠B，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形边角关系
【点评】
本题综合考查尺规作图识别、几何基础性质的应用，需要熟练掌握垂直平分线、勾股定理的相关知识，通过逐个验证选项即可得出结果，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.6