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6 如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=3，那么点A的纵坐标为 （
A.3
B.－3
C.4
D.－4
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
A
）A.3
B.－3
C.4
D.－4
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：OA平分∠BOD，AC⊥OB且AC=3，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出点A到OD（即x轴）的距离等于AC的长度3；再结合平面直角坐标系的知识，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A所在第二象限的纵坐标符号为正，即可得到点A的纵坐标。
【解析】
解：
∵OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，AC=3
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
∴点A到OD边的距离等于AC的长度，即点A到x轴的距离为3
∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，且点A位于第二象限，第二象限内点的纵坐标为正数
∴点A的纵坐标为3，故选A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点的坐标特征
【点评】
本题是几何性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是熟练运用角平分线的性质得到点到x轴的距离，再结合象限内点的坐标符号特征判断纵坐标即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察题干条件：OA平分∠BOD，AC⊥OB且AC=3，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出点A到OD（即x轴）的距离等于AC的长度3；再结合平面直角坐标系的知识，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A所在第二象限的纵坐标符号为正，即可得到点A的纵坐标。
【解析】
解：
∵OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，AC=3
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
∴点A到OD边的距离等于AC的长度，即点A到x轴的距离为3
∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，且点A位于第二象限，第二象限内点的纵坐标为正数
∴点A的纵坐标为3，故选A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点的坐标特征
【点评】
本题是几何性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是熟练运用角平分线的性质得到点到x轴的距离，再结合象限内点的坐标符号特征判断纵坐标即可。
【难度系数】
0.85
7 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线交于点$O$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=9\ \mathrm{cm}$.若$△ ABO$的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$,则$△ BOC$的面积为 (
A.$13.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$18\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$27\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$13.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$18\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$27\ \mathrm{cm}^2$
答案
7.A
解析
【分析】
遇到角平分线的问题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC平分线的上的点，因此点O到AB、BC的距离相等，即△ABO的AB边上的高与△BOC的BC边上的高相等。两个三角形高相等时，面积比等于对应底边长的比，结合已知的△ABO面积、AB和BC的长度，即可求出△BOC的面积。
【解析】
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：OD = OE。
已知△ABO的面积为18 cm²，AB=12 cm，由三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × OD = 18$，
代入AB=12得：$\frac{1}{2} × 12 × OD =18$，解得$OD=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $OE=OD=3\ \mathrm{cm}$。
再计算△BOC的面积：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE = \frac{1}{2} × 9 × 3 = 13.5\ \mathrm{cm}^2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用考题，解题的核心是通过角平分线的性质得到两个三角形的高相等，再结合三角形面积公式完成计算，解题时要注意结合图形梳理各边与高的对应关系。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线的问题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC平分线的上的点，因此点O到AB、BC的距离相等，即△ABO的AB边上的高与△BOC的BC边上的高相等。两个三角形高相等时，面积比等于对应底边长的比，结合已知的△ABO面积、AB和BC的长度，即可求出△BOC的面积。
【解析】
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：OD = OE。
已知△ABO的面积为18 cm²，AB=12 cm，由三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × OD = 18$，
代入AB=12得：$\frac{1}{2} × 12 × OD =18$，解得$OD=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $OE=OD=3\ \mathrm{cm}$。
再计算△BOC的面积：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × BC × OE = \frac{1}{2} × 9 × 3 = 13.5\ \mathrm{cm}^2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用考题，解题的核心是通过角平分线的性质得到两个三角形的高相等，再结合三角形面积公式完成计算，解题时要注意结合图形梳理各边与高的对应关系。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$△ ABC$中,内角$∠ BAC$与外角$∠ EBC$的平分线相交于点$P$,$BE=BC$,点$D$在$AC$的延长线上,$PG// AD$交$BC$于点$F$,交$AB$于点$G$,连接$CP$.有下列结论:①$∠ ACB=3∠ APB$;②$S_{△ PAC}:S_{△ PAB}=AC:AB$;③$BP$垂直平分$CE$;④$∠ PCF=∠ CPF$;⑤$GF+FC=GA$.其中正确的是 (
A.①②③④
B.①②③⑤
C.②③④⑤
D.①②③④⑤
C
)A.①②③④
B.①②③⑤
C.②③④⑤
D.①②③④⑤
答案
8.C
解析
【分析】
本题为三角形综合类选择题，可通过逐个判断结论的正误选出答案：首先推导∠APB与∠ACB的数量关系判断结论①，若①错误可直接排除包含①的选项；再结合角平分线的性质判断面积比结论②，利用等腰三角形三线合一判断结论③，结合平行线与角平分线的性质推导等角关系判断结论④，最后通过等量代换判断线段关系结论⑤即可。
【解析】
我们逐一分析各结论：
1. 分析结论①：
∵AP平分∠BAC，
∴$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$；
∵BP平分外角$∠ EBC$，
∴$∠ PBE=\frac{1}{2}∠ EBC$。
根据三角形外角性质：$∠ EBC=∠ BAC+∠ ACB$，且$∠ PBE=∠ PAB+∠ APB$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ BAC+∠ APB$，
化简得$∠ APB=\frac{1}{2}∠ ACB$，即$∠ ACB=2∠ APB$，故①错误，直接排除包含①的A、B、D选项。
剩余结论验证如下：
2. 分析结论②：
∵点P在$∠ BAC$的角平分线上，
∴点P到AC、AB两边的距离相等，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底边长的比，因此$S_{△ PAC}:S_{△ PAB}=AC:AB$，②正确。
3. 分析结论③：
已知$BE=BC$，且BP平分$∠ EBC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BP垂直平分CE，③正确。
4. 分析结论④：
∵AP平分$∠ BAC$，BP平分$∠ EBC$，
∴CP平分$△ ABC$的外角$∠ BCD$，即$∠ PCD=∠ PCF$，
又
∵$PG// AD$，
∴$∠ CPF=∠ PCD$，等量代换得$∠ PCF=∠ CPF$，④正确。
5. 分析结论⑤：
∵$PG// AD$，
∴$∠ APG=∠ CAP$，又
∵$∠ CAP=∠ GAP$，
∴$∠ APG=∠ GAP$，得$GA=GP$，
由结论④得$∠ PCF=∠ CPF$，
∴$FP=FC$，
∵$GP=GF+FP=GF+FC$，等量代换得$GF+FC=GA$，⑤正确。
综上，②③④⑤正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，解题时可先推导最易判断的结论快速排除错误选项，减少计算量，解题过程中要熟练运用角、线的相关性质推导等量关系。
【难度系数】
0.6
本题为三角形综合类选择题，可通过逐个判断结论的正误选出答案：首先推导∠APB与∠ACB的数量关系判断结论①，若①错误可直接排除包含①的选项；再结合角平分线的性质判断面积比结论②，利用等腰三角形三线合一判断结论③，结合平行线与角平分线的性质推导等角关系判断结论④，最后通过等量代换判断线段关系结论⑤即可。
【解析】
我们逐一分析各结论：
1. 分析结论①：
∵AP平分∠BAC，
∴$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$；
∵BP平分外角$∠ EBC$，
∴$∠ PBE=\frac{1}{2}∠ EBC$。
根据三角形外角性质：$∠ EBC=∠ BAC+∠ ACB$，且$∠ PBE=∠ PAB+∠ APB$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ BAC+∠ APB$，
化简得$∠ APB=\frac{1}{2}∠ ACB$，即$∠ ACB=2∠ APB$，故①错误，直接排除包含①的A、B、D选项。
剩余结论验证如下：
2. 分析结论②：
∵点P在$∠ BAC$的角平分线上，
∴点P到AC、AB两边的距离相等，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底边长的比，因此$S_{△ PAC}:S_{△ PAB}=AC:AB$，②正确。
3. 分析结论③：
已知$BE=BC$，且BP平分$∠ EBC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BP垂直平分CE，③正确。
4. 分析结论④：
∵AP平分$∠ BAC$，BP平分$∠ EBC$，
∴CP平分$△ ABC$的外角$∠ BCD$，即$∠ PCD=∠ PCF$，
又
∵$PG// AD$，
∴$∠ CPF=∠ PCD$，等量代换得$∠ PCF=∠ CPF$，④正确。
5. 分析结论⑤：
∵$PG// AD$，
∴$∠ APG=∠ CAP$，又
∵$∠ CAP=∠ GAP$，
∴$∠ APG=∠ GAP$，得$GA=GP$，
由结论④得$∠ PCF=∠ CPF$，
∴$FP=FC$，
∵$GP=GF+FP=GF+FC$，等量代换得$GF+FC=GA$，⑤正确。
综上，②③④⑤正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，解题时可先推导最易判断的结论快速排除错误选项，减少计算量，解题过程中要熟练运用角、线的相关性质推导等量关系。
【难度系数】
0.6
二、填空题
9 若$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$(a-13)^2 + |b-12| + \sqrt{c-5}=0$，则这个三角形按形状分类是
9 若$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$(a-13)^2 + |b-12| + \sqrt{c-5}=0$，则这个三角形按形状分类是
直角
三角形。答案
9.直角
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。我们先利用这个性质求出三角形三边a、b、c的长度，再根据勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-13)^2≥0$，$|b-12|≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，且三者的和为0，
∴根据非负数的性质可得：
$a-13=0$，$b-12=0$，$c-5=0$，
解得：$a=13$，$b=12$，$c=5$。
接下来验证三边关系：
较短两边的平方和为：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
最长边的平方为：$13^2 = 169$，
∴$5^2 + 12^2 = 13^2$，满足勾股定理的逆定理，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，将非负数的性质和直角三角形的判定结合考查，解题的关键是先正确求出三边长，再熟练运用勾股定理的逆定理判断形状，掌握相关基础知识点就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。我们先利用这个性质求出三角形三边a、b、c的长度，再根据勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-13)^2≥0$，$|b-12|≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，且三者的和为0，
∴根据非负数的性质可得：
$a-13=0$，$b-12=0$，$c-5=0$，
解得：$a=13$，$b=12$，$c=5$。
接下来验证三边关系：
较短两边的平方和为：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
最长边的平方为：$13^2 = 169$，
∴$5^2 + 12^2 = 13^2$，满足勾股定理的逆定理，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，将非负数的性质和直角三角形的判定结合考查，解题的关键是先正确求出三边长，再熟练运用勾股定理的逆定理判断形状，掌握相关基础知识点就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
10 如图，在$△ ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线分别与$BC$交于点$D$，$E$，$∠ BAC=115°$，则$∠ DAE$的度数为________。
（第10题图）
（第11题图）
（第10题图）
（第11题图）
答案
10.$50°$
解析
【分析】
遇到垂直平分线相关的角度计算问题，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到相等的角。结合三角形内角和为180°，先求出∠B与∠C的和，再通过角的和差关系计算∠DAE的度数即可。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上
∴AD=BD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，已知∠BAC=115°
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-115°=65°
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=65°
∴∠DAE=∠BAC - (∠BAD+∠CAE)=115°-65°=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质转化相等的角，再结合三角形内角和公式推导计算，是垂直平分线性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
遇到垂直平分线相关的角度计算问题，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到相等的角。结合三角形内角和为180°，先求出∠B与∠C的和，再通过角的和差关系计算∠DAE的度数即可。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上
∴AD=BD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，已知∠BAC=115°
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-115°=65°
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=65°
∴∠DAE=∠BAC - (∠BAD+∠CAE)=115°-65°=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质转化相等的角，再结合三角形内角和公式推导计算，是垂直平分线性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
11 如图,把长方形ABCD沿BD折叠,得到△BDE,BE交AD于点F,DF平分∠BDE.若BC=12,则AF的长为
4
.答案
11.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先利用长方形的性质得到对边平行且相等、内角为90°；再结合折叠的性质得到对应角、对应边相等，推导得到等腰三角形△BFD，FB=FD；然后结合角平分线的性质，通过直角三角形两锐角互余列方程求出特殊角30°；最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质列方程求解AF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，BC=12
∴AD=BC=12，AD//BC，∠A=∠C=90°，∠ABC=90°，AB=CD
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）
由折叠的性质得△BDE≌△BDC
∴∠DBE=∠DBC，∠BDE=∠BDC，DE=CD，∠E=∠C=90°
∴AB=DE，∠ADB=∠DBE
∴FB=FD（等角对等边）
设∠ADB=α，则∠DBE=∠DBC=α，∠BDC=90°-α，因此∠BDE=∠BDC=90°-α
∵DF平分∠BDE
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BDE=$\frac{90°-α}{2}$
在△BFD中，∠FBD=∠FDB=α，因此∠BFD=180°-2α，可得∠DFE=180°-∠BFD=2α
在Rt△DEF中，∠E=90°，则∠EDF+∠DFE=90°，代入得：
$\frac{90°-α}{2}+2α=90°$
解得α=30°
∴∠ABF=∠ABC-∠DBE-∠DBC=90°-30°-30°=30°
设AF=x，则FD=AD-AF=12-x，因此FB=FD=12-x
在Rt△ABF中，∠A=90°，∠ABF=30°，根据直角三角形30°角的性质得FB=2AF，即：
12-x=2x
解得x=4
【答案】
4
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何折叠类基础综合题，解题核心是通过平行线、角平分线、折叠的性质推导得到特殊角，再结合直角三角形的性质建立方程求解，能很好地考查学生几何边角关系的推导能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件出发：首先利用长方形的性质得到对边平行且相等、内角为90°；再结合折叠的性质得到对应角、对应边相等，推导得到等腰三角形△BFD，FB=FD；然后结合角平分线的性质，通过直角三角形两锐角互余列方程求出特殊角30°；最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质列方程求解AF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，BC=12
∴AD=BC=12，AD//BC，∠A=∠C=90°，∠ABC=90°，AB=CD
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）
由折叠的性质得△BDE≌△BDC
∴∠DBE=∠DBC，∠BDE=∠BDC，DE=CD，∠E=∠C=90°
∴AB=DE，∠ADB=∠DBE
∴FB=FD（等角对等边）
设∠ADB=α，则∠DBE=∠DBC=α，∠BDC=90°-α，因此∠BDE=∠BDC=90°-α
∵DF平分∠BDE
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BDE=$\frac{90°-α}{2}$
在△BFD中，∠FBD=∠FDB=α，因此∠BFD=180°-2α，可得∠DFE=180°-∠BFD=2α
在Rt△DEF中，∠E=90°，则∠EDF+∠DFE=90°，代入得：
$\frac{90°-α}{2}+2α=90°$
解得α=30°
∴∠ABF=∠ABC-∠DBE-∠DBC=90°-30°-30°=30°
设AF=x，则FD=AD-AF=12-x，因此FB=FD=12-x
在Rt△ABF中，∠A=90°，∠ABF=30°，根据直角三角形30°角的性质得FB=2AF，即：
12-x=2x
解得x=4
【答案】
4
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何折叠类基础综合题，解题核心是通过平行线、角平分线、折叠的性质推导得到特殊角，再结合直角三角形的性质建立方程求解，能很好地考查学生几何边角关系的推导能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题
12 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
如图,已知 OA 和 OB 是两条公路,C,D 是两个村庄,在美丽乡村建设中,为方便广大村民出行方便,拟建立一个公交车站 P,使车站到两个村庄的距离相等(即 $ PC=PD $),且车站 P 到 OA,OB 两条公路的距离也相等.
12 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
如图,已知 OA 和 OB 是两条公路,C,D 是两个村庄,在美丽乡村建设中,为方便广大村民出行方便,拟建立一个公交车站 P,使车站到两个村庄的距离相等(即 $ PC=PD $),且车站 P 到 OA,OB 两条公路的距离也相等.
答案
12.解:如图,点 P 为所求.
解析
【分析】
要确定满足条件的点P，需结合两个几何性质分析：①到OA、OB两条公路距离相等的点，在∠AOB的角平分线上；②到C、D两个村庄距离相等的点，在线段CD的垂直平分线上。因此同时满足两个条件的点就是这两条线的交点，分别作出两条线，取交点即为所求点P。
【解析】
我们结合几何性质完成作图：
1. 依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，用尺规作出∠AOB的角平分线；
2. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，用尺规作出线段CD的垂直平分线；
3. 两条线的交点就是同时满足PC=PD，且到OA、OB距离相等的点P，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图应用
【点评】
本题属于尺规作图的实际应用类题目，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，即角平分线和线段垂直平分线，二者的交点即为所求点，考查对基础几何性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定满足条件的点P，需结合两个几何性质分析：①到OA、OB两条公路距离相等的点，在∠AOB的角平分线上；②到C、D两个村庄距离相等的点，在线段CD的垂直平分线上。因此同时满足两个条件的点就是这两条线的交点，分别作出两条线，取交点即为所求点P。
【解析】
我们结合几何性质完成作图：
1. 依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，用尺规作出∠AOB的角平分线；
2. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，用尺规作出线段CD的垂直平分线；
3. 两条线的交点就是同时满足PC=PD，且到OA、OB距离相等的点P，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图应用
【点评】
本题属于尺规作图的实际应用类题目，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，即角平分线和线段垂直平分线，二者的交点即为所求点，考查对基础几何性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
