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13 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在AC上，且BD平分$∠ ABC$，过点D作$DE⊥ AB$于点E，若$CD=3$，$AD=5$，求AE的长。
答案
13.$AE=4$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得出DE=CD，得到DE的长度；再看△AED是直角三角形，已知AD和DE的长度，运用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD，
∵CD=3，
∴DE=3。
又
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，即△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，AD=5，DE=3，由勾股定理得：
AE = √(AD² - DE²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4。
【答案】
AE=4
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质得到DE的长度，再结合勾股定理求解，是角平分线与直角三角形性质结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可直接得出DE=CD，得到DE的长度；再看△AED是直角三角形，已知AD和DE的长度，运用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD，
∵CD=3，
∴DE=3。
又
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，即△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，AD=5，DE=3，由勾股定理得：
AE = √(AD² - DE²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4。
【答案】
AE=4
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质得到DE的长度，再结合勾股定理求解，是角平分线与直角三角形性质结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
14 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，E是边BC的延长线上一点，且$∠ EAC=∠ B$.求证:$AE=DE$.
答案
14.证明:$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore∠ BAD=∠ CAD.\because∠ B=∠ EAC,\therefore∠ B+∠ BAD=∠ EAC+∠ CAD$. $\because∠ ADE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD$,$\therefore∠ ADE=∠ DAE,\therefore AE=DE$.
解析
【分析】
要证明AE=DE，在同一个三角形中可利用“等角对等边”的判定定理，因此核心目标是证明∠ADE=∠DAE。首先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合已知∠EAC=∠B，借助三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠B+∠BAD，同时∠DAE可拆分为∠CAD+∠EAC，通过等量代换即可得到两个角相等，最终推导出对应边相等。
【解析】
证明：
1. 因为AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，可得∠BAD=∠CAD；
2. 已知∠B=∠EAC，根据等式的性质，可得∠B+∠BAD=∠EAC+∠CAD；
3. 根据三角形外角的性质，∠ADE是△ABD的外角，因此∠ADE=∠B+∠BAD；
4. 根据角的和的定义，∠DAE=∠EAC+∠CAD；
5. 经过等量代换可得∠ADE=∠DAE；
6. 根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得AE=DE。
【答案】
证明:$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore∠ BAD=∠ CAD.\because∠ B=∠ EAC,\therefore∠ B+∠ BAD=∠ EAC+∠ CAD$. $\because∠ ADE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD$,$\therefore∠ ADE=∠ DAE$,$\therefore AE=DE$.
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查多个基础几何定理的综合运用，解题关键是明确“证边相等先证角相等”的思路，通过等量代换得到对应角相等即可完成证明，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
要证明AE=DE，在同一个三角形中可利用“等角对等边”的判定定理，因此核心目标是证明∠ADE=∠DAE。首先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合已知∠EAC=∠B，借助三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADE=∠B+∠BAD，同时∠DAE可拆分为∠CAD+∠EAC，通过等量代换即可得到两个角相等，最终推导出对应边相等。
【解析】
证明：
1. 因为AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，可得∠BAD=∠CAD；
2. 已知∠B=∠EAC，根据等式的性质，可得∠B+∠BAD=∠EAC+∠CAD；
3. 根据三角形外角的性质，∠ADE是△ABD的外角，因此∠ADE=∠B+∠BAD；
4. 根据角的和的定义，∠DAE=∠EAC+∠CAD；
5. 经过等量代换可得∠ADE=∠DAE；
6. 根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得AE=DE。
【答案】
证明:$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore∠ BAD=∠ CAD.\because∠ B=∠ EAC,\therefore∠ B+∠ BAD=∠ EAC+∠ CAD$. $\because∠ ADE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD$,$\therefore∠ ADE=∠ DAE$,$\therefore AE=DE$.
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查多个基础几何定理的综合运用，解题关键是明确“证边相等先证角相等”的思路，通过等量代换得到对应角相等即可完成证明，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
15 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在射线BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N. 求证:PM=PN.
答案
15.证明:$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore∠ ABD=∠ CBD$.又$\because BA=BC,BD=BD$,$\therefore△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore∠ ADB=∠ CDB,\therefore∠ ADP=∠ CDP$,即 $DP$ 平分$∠ ADC$.又$\because PM⊥ AD,PN⊥ CD,\therefore PM=PN$.
解析
【分析】
要证明PM=PN，可结合角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明DP平分∠ADC。要证DP平分∠ADC，需证∠ADB=∠CDB，可通过证明△ABD和△CBD全等得到：已知BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，又有已知条件AB=BC、公共边BD=BD，满足SAS全等判定条件，推出两三角形全等后即可得对应角相等，最终推导得到PM=PN。
【解析】
证明：$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线，
$\therefore∠ ABD=∠ CBD$。
又$\because BA=BC,BD=BD$，
$\therefore△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ ADB=∠ CDB$，
$\therefore∠ ADP=∠ CDP$，即 $DP$ 平分$∠ ADC$。
又$\because PM⊥ AD,PN⊥ CD$，
$\therefore PM=PN$。
【答案】
证明:$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore∠ ABD=∠ CBD$.又$\because BA=BC,BD=BD$,$\therefore△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore∠ ADB=∠ CDB,\therefore∠ ADP=∠ CDP$,即 $DP$ 平分$∠ ADC$.又$\because PM⊥ AD,PN⊥ CD,\therefore PM=PN$.
【知识点】
全等三角形判定（SAS）、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过已知条件推导三角形全等得到角相等，进而得到角平分线，再结合角平分线的性质证明线段相等，需要熟练掌握全等判定定理和角平分线相关性质，学会从结论倒推所需证明条件的解题思路。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，可结合角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明DP平分∠ADC。要证DP平分∠ADC，需证∠ADB=∠CDB，可通过证明△ABD和△CBD全等得到：已知BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，又有已知条件AB=BC、公共边BD=BD，满足SAS全等判定条件，推出两三角形全等后即可得对应角相等，最终推导得到PM=PN。
【解析】
证明：$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线，
$\therefore∠ ABD=∠ CBD$。
又$\because BA=BC,BD=BD$，
$\therefore△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ ADB=∠ CDB$，
$\therefore∠ ADP=∠ CDP$，即 $DP$ 平分$∠ ADC$。
又$\because PM⊥ AD,PN⊥ CD$，
$\therefore PM=PN$。
【答案】
证明:$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore∠ ABD=∠ CBD$.又$\because BA=BC,BD=BD$,$\therefore△ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore∠ ADB=∠ CDB,\therefore∠ ADP=∠ CDP$,即 $DP$ 平分$∠ ADC$.又$\because PM⊥ AD,PN⊥ CD,\therefore PM=PN$.
【知识点】
全等三角形判定（SAS）、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过已知条件推导三角形全等得到角相等，进而得到角平分线，再结合角平分线的性质证明线段相等，需要熟练掌握全等判定定理和角平分线相关性质，学会从结论倒推所需证明条件的解题思路。
【难度系数】
0.8
