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一、三角形的概念
1. 三角形按边长关系可分为（
A.等腰三角形、等边三角形
B.直角三角形、不等边三角形
C.等腰三角形、不等边三角形
D.直角三角形、等腰三角形
1. 三角形按边长关系可分为（
C
）A.等腰三角形、等边三角形
B.直角三角形、不等边三角形
C.等腰三角形、不等边三角形
D.直角三角形、等腰三角形
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确题目的分类依据是“边长关系”，首先排除涉及按角分类的选项；再回忆三角形按边分类的具体内容：等边三角形属于特殊的等腰三角形，不能和等腰三角形并列，据此筛选正确选项。具体思考步骤：1. 先识别选项中按角分类的类型（直角三角形属于按角分的类别），直接排除B、D；2. 辨析A和C：按边分类时，不等边三角形是三边都不相等的三角形，等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形属于等腰三角形的子类，因此不能把等腰和等边并列，排除A，对应正确选项为C。
【解析】
三角形按边长关系分类如下：
① 不等边三角形：三条边都不相等的三角形；
② 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形，其中三条边都相等的等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
逐一判断选项：
选项A：等边三角形属于等腰三角形，二者不能并列分类，错误；
选项B、D：直角三角形是三角形按角分类的类型，不符合“按边长关系分类”的要求，错误；
选项C：符合三角形按边长关系的分类结果，正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 三角形分类依据
【点评】
本题考查三角形分类的基础知识点，易错点是混淆按边和按角的分类标准，或是误将等边三角形与等腰三角形当作并列的分类类别，解题时需先明确分类依据再逐一辨析选项。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的分类依据是“边长关系”，首先排除涉及按角分类的选项；再回忆三角形按边分类的具体内容：等边三角形属于特殊的等腰三角形，不能和等腰三角形并列，据此筛选正确选项。具体思考步骤：1. 先识别选项中按角分类的类型（直角三角形属于按角分的类别），直接排除B、D；2. 辨析A和C：按边分类时，不等边三角形是三边都不相等的三角形，等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形属于等腰三角形的子类，因此不能把等腰和等边并列，排除A，对应正确选项为C。
【解析】
三角形按边长关系分类如下：
① 不等边三角形：三条边都不相等的三角形；
② 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形，其中三条边都相等的等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
逐一判断选项：
选项A：等边三角形属于等腰三角形，二者不能并列分类，错误；
选项B、D：直角三角形是三角形按角分类的类型，不符合“按边长关系分类”的要求，错误；
选项C：符合三角形按边长关系的分类结果，正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 三角形分类依据
【点评】
本题考查三角形分类的基础知识点，易错点是混淆按边和按角的分类标准，或是误将等边三角形与等腰三角形当作并列的分类类别，解题时需先明确分类依据再逐一辨析选项。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中,如果$∠ A=91°+∠ B$,那么$△ ABC$是 （
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
B
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先明确三角形的所有内角都大于0°，且三角形按角分类的规则为：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形。结合题目给出的∠A和∠B的关系，先推导∠A的度数范围，即可判断三角形类型。
【解析】
解：
∵三角形的内角均为正数，
∴∠B＞0°
已知∠A=91°+∠B，因此∠A＞91°＞90°，即∠A是钝角。
根据三角形按角分类的规则，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此△ABC是钝角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角性质；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合内角为正的性质推导得到钝角的存在，掌握三角形分类的基础规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形的所有内角都大于0°，且三角形按角分类的规则为：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形。结合题目给出的∠A和∠B的关系，先推导∠A的度数范围，即可判断三角形类型。
【解析】
解：
∵三角形的内角均为正数，
∴∠B＞0°
已知∠A=91°+∠B，因此∠A＞91°＞90°，即∠A是钝角。
根据三角形按角分类的规则，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此△ABC是钝角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角性质；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合内角为正的性质推导得到钝角的存在，掌握三角形分类的基础规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 图13-1中直角三角形共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形的定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。解题时可以先找出图中所有的直角，再逐一确定每个直角对应的三角形，注意不要漏数也不要多数。首先观察图形：∠B是直角，另外BD垂直于AC，因此还存在两个直角，分别对应两个小三角形，再加上大三角形，即可数出总个数。
【解析】
根据直角三角形的定义判断：
1. ∠ABC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. BD⊥AC，可得∠ADB=90°，因此△ABD是直角三角形；
3. BD⊥AC，可得∠CDB=90°，因此△CBD是直角三角形。
综上，共有3个直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对直角三角形判定标准的理解，解题时按顺序梳理直角对应的三角形即可，避免因粗心漏数或多数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆直角三角形的定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。解题时可以先找出图中所有的直角，再逐一确定每个直角对应的三角形，注意不要漏数也不要多数。首先观察图形：∠B是直角，另外BD垂直于AC，因此还存在两个直角，分别对应两个小三角形，再加上大三角形，即可数出总个数。
【解析】
根据直角三角形的定义判断：
1. ∠ABC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. BD⊥AC，可得∠ADB=90°，因此△ABD是直角三角形；
3. BD⊥AC，可得∠CDB=90°，因此△CBD是直角三角形。
综上，共有3个直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对直角三角形判定标准的理解，解题时按顺序梳理直角对应的三角形即可，避免因粗心漏数或多数。
【难度系数】
0.8
4. 如图13-2,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形:
(1)其中以AB为一边可以画出
(2)其中以C为顶点可以画出
(1)其中以AB为一边可以画出
3
个三角形；(2)其中以C为顶点可以画出
6
个三角形.答案
4.(1)3 提示:如下图. [图1左图] (2)6 提示:如下图. [图1右图]
解析
【分析】
(1) 要找出以AB为一边的三角形，只需确定第三个顶点即可：第三个顶点需从除A、B外剩下的C、D、E三个点中选取，这三个点与A、B均不共线，都能和AB组成三角形，直接计数即可。
(2) 要找出以C为顶点的三角形，需要再选两个点和C搭配，从剩下的A、B、D、E四个点中按顺序选取两个点和C组合，逐个枚举计数即可，枚举时注意按顺序，避免重复和遗漏。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可以选C、D、E，对应的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，一共3个。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点的组合分别为：A和B、A和D、A和E、B和D、B和E、D和E，对应的三角形分别为△CAB、△CAD、△CAE、△CBD、△CBE、△CDE，一共6个。
【答案】
(1)3；(2)6
【知识点】
三角形的定义；枚举计数法
【点评】
本题主要考查三角形的构成条件，解题时按固定顺序枚举可有效避免重复计数或漏数，属于三角形相关的基础计数题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要找出以AB为一边的三角形，只需确定第三个顶点即可：第三个顶点需从除A、B外剩下的C、D、E三个点中选取，这三个点与A、B均不共线，都能和AB组成三角形，直接计数即可。
(2) 要找出以C为顶点的三角形，需要再选两个点和C搭配，从剩下的A、B、D、E四个点中按顺序选取两个点和C组合，逐个枚举计数即可，枚举时注意按顺序，避免重复和遗漏。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可以选C、D、E，对应的三角形分别为△ABC、△ABD、△ABE，一共3个。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点的组合分别为：A和B、A和D、A和E、B和D、B和E、D和E，对应的三角形分别为△CAB、△CAD、△CAE、△CBD、△CBE、△CDE，一共6个。
【答案】
(1)3；(2)6
【知识点】
三角形的定义；枚举计数法
【点评】
本题主要考查三角形的构成条件，解题时按固定顺序枚举可有效避免重复计数或漏数，属于三角形相关的基础计数题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图13-3中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
答案
图中共有5个三角形,分别是△ABD,△ABC,△CDE,△BCE,△BCD.
解析
【分析】
数三角形时要遵循“不重复、不遗漏”的原则，可采用“先数单个小三角形，再数组合而成的大三角形”的顺序计数：先找出所有没有被线段分割的独立小三角形，再依次找由多个小三角形拼接成的大三角形，每找到一个就记录，最后汇总总数即可。
【解析】
我们按照从小到大的顺序计数：
1. 单个的小三角形：有△ABD、△BCD、△CDE，共3个；
2. 由2个小三角形组合而成的三角形：△ABD和△BCD可组成△ABC，△BCD和△CDE可组成△BCE，共2个；
合计三角形总个数为3+2=5个，分别为△ABD、△ABC、△CDE、△BCE、△BCD。
【答案】
图中共有5个三角形,分别是△ABD,△ABC,△CDE,△BCE,△BCD.
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题属于三角形的基础题型，核心考查三角形的识别和有序计数的能力，只要掌握按顺序分类计数的方法，就能轻松解决此类问题，避免出现多数或漏数的错误。
【难度系数】
0.8
数三角形时要遵循“不重复、不遗漏”的原则，可采用“先数单个小三角形，再数组合而成的大三角形”的顺序计数：先找出所有没有被线段分割的独立小三角形，再依次找由多个小三角形拼接成的大三角形，每找到一个就记录，最后汇总总数即可。
【解析】
我们按照从小到大的顺序计数：
1. 单个的小三角形：有△ABD、△BCD、△CDE，共3个；
2. 由2个小三角形组合而成的三角形：△ABD和△BCD可组成△ABC，△BCD和△CDE可组成△BCE，共2个；
合计三角形总个数为3+2=5个，分别为△ABD、△ABC、△CDE、△BCE、△BCD。
【答案】
图中共有5个三角形,分别是△ABD,△ABC,△CDE,△BCE,△BCD.
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题属于三角形的基础题型，核心考查三角形的识别和有序计数的能力，只要掌握按顺序分类计数的方法，就能轻松解决此类问题，避免出现多数或漏数的错误。
【难度系数】
0.8
