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6. 图13-4中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形.
答案
共有6个三角形.
其中锐角三角形有2个:△ABE,△ABC;
直角三角形有3个:△ABD,△ADE,△ADC;
钝角三角形有1个:△AEC.
其中锐角三角形有2个:△ABE,△ABC;
直角三角形有3个:△ABD,△ADE,△ADC;
钝角三角形有1个:△AEC.
解析
【分析】
我们可以通过“定顶点数线段”的方法数三角形：图中所有三角形都以A为公共顶点，另外两个顶点都在BC边上，因此三角形的总个数等于BC边上的线段总条数，这样计数不会重复遗漏。计数完成后，结合AD⊥BC的条件，根据锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）的定义，逐一判断每个三角形的类型即可。
【解析】
1. 计算三角形总个数：
BC边上的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC，共6条，对应6个三角形，分别为△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC。
2. 按角分类判断：
(1) 直角三角形：因为AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°，所以含直角的三角形为△ABD、△ADE、△ADC，共3个；
(2) 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形为△ABE、△ABC，共2个；
(3) 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形为△AEC，共1个。
【答案】
共有6个三角形.
其中锐角三角形有2个:△ABE,△ABC;
直角三角形有3个:△ABD,△ADE,△ADC;
钝角三角形有1个:△AEC.
【知识点】
三角形的计数；三角形按角分类
【点评】
本题重点考查三角形的计数方法和按角分类的标准，计数时按照“公共顶点+底边线段”的规律操作可避免重漏，分类时要紧扣各类三角形的定义，结合图形中的垂直特征可快速识别直角三角形，降低判断难度。
【难度系数】
0.8
我们可以通过“定顶点数线段”的方法数三角形：图中所有三角形都以A为公共顶点，另外两个顶点都在BC边上，因此三角形的总个数等于BC边上的线段总条数，这样计数不会重复遗漏。计数完成后，结合AD⊥BC的条件，根据锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）的定义，逐一判断每个三角形的类型即可。
【解析】
1. 计算三角形总个数：
BC边上的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC，共6条，对应6个三角形，分别为△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC。
2. 按角分类判断：
(1) 直角三角形：因为AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°，所以含直角的三角形为△ABD、△ADE、△ADC，共3个；
(2) 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形为△ABE、△ABC，共2个；
(3) 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形为△AEC，共1个。
【答案】
共有6个三角形.
其中锐角三角形有2个:△ABE,△ABC;
直角三角形有3个:△ABD,△ADE,△ADC;
钝角三角形有1个:△AEC.
【知识点】
三角形的计数；三角形按角分类
【点评】
本题重点考查三角形的计数方法和按角分类的标准，计数时按照“公共顶点+底边线段”的规律操作可避免重漏，分类时要紧扣各类三角形的定义，结合图形中的垂直特征可快速识别直角三角形，降低判断难度。
【难度系数】
0.8
7. 如图13-5,在$△ ABC$中,D,E分别是边BC,AC上的两点,连接BE,AD,两线交于点F.
(1)图中有几个三角形?请表示出来.
(2)$∠ AEB,∠ BEC$分别是哪些三角形中的角?
(3)线段AB是哪些三角形中的边?
图13-5
(1)图中有几个三角形?请表示出来.
(2)$∠ AEB,∠ BEC$分别是哪些三角形中的角?
(3)线段AB是哪些三角形中的边?
图13-5
答案
7. (1)有△ABF,△AEF,△BFD,△ABE,△ABD,△ADC,△ABC,△BEC,共8个.
(2)∠AEB是△ABE和△AEF中的角,∠BEC是△BEC中的角.
(3)线段AB是△ABF,△ABD,△ABC和△ABE的边.
(2)∠AEB是△ABE和△AEF中的角,∠BEC是△BEC中的角.
(3)线段AB是△ABF,△ABD,△ABC和△ABE的边.
解析
【分析】
解题时按顺序梳理即可避免漏数或多数：(1)数三角形可按“从小到大”的顺序，先数单个小三角形，再数由小三角形拼成的组合三角形，最后数最大的三角形；(2)找角所属的三角形，只需看角的顶点和两条边分别属于哪些三角形的顶点和边即可；(3)找线段AB所在的三角形，只需列举以AB为边，搭配不同第三个顶点构成的三角形即可。
【解析】
(1) 先数单独的小三角形：△ABF、△AEF、△BFD，共3个；
再数由2个小三角形拼成的三角形：△ABE、△ABD，共2个；
接下来数剩余独立的三角形：△ADC、△BEC，共2个；
最后数最大的三角形：△ABC，共1个；
合计共有3+2+2+1=8个三角形。
(2) ∠AEB的顶点为E，两条边为EA、EB，同时是△ABE和△AEF的内角；∠BEC的顶点为E，两条边为EB、EC，仅属于△BEC的内角。
(3) 以AB为边，第三个顶点分别为F、D、C、E，对应构成的三角形为△ABF、△ABD、△ABC、△ABE。
【答案】
(1)有8个，分别是△ABF,△AEF,△BFD,△ABE,△ABD,△ADC,△ABC,△BEC。
(2)∠AEB是△ABE和△AEF中的角，∠BEC是△BEC中的角。
(3)线段AB是△ABF,△ABD,△ABC和△ABE的边。
【知识点】
1.三角形的识别 2.三角形的边 3.三角形的内角
【点评】
本题是基础概念题，核心考查三角形的定义及构成要素，解题的关键是按照固定顺序计数，避免出现重复、遗漏的问题，熟练掌握三角形的相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时按顺序梳理即可避免漏数或多数：(1)数三角形可按“从小到大”的顺序，先数单个小三角形，再数由小三角形拼成的组合三角形，最后数最大的三角形；(2)找角所属的三角形，只需看角的顶点和两条边分别属于哪些三角形的顶点和边即可；(3)找线段AB所在的三角形，只需列举以AB为边，搭配不同第三个顶点构成的三角形即可。
【解析】
(1) 先数单独的小三角形：△ABF、△AEF、△BFD，共3个；
再数由2个小三角形拼成的三角形：△ABE、△ABD，共2个；
接下来数剩余独立的三角形：△ADC、△BEC，共2个；
最后数最大的三角形：△ABC，共1个；
合计共有3+2+2+1=8个三角形。
(2) ∠AEB的顶点为E，两条边为EA、EB，同时是△ABE和△AEF的内角；∠BEC的顶点为E，两条边为EB、EC，仅属于△BEC的内角。
(3) 以AB为边，第三个顶点分别为F、D、C、E，对应构成的三角形为△ABF、△ABD、△ABC、△ABE。
【答案】
(1)有8个，分别是△ABF,△AEF,△BFD,△ABE,△ABD,△ADC,△ABC,△BEC。
(2)∠AEB是△ABE和△AEF中的角，∠BEC是△BEC中的角。
(3)线段AB是△ABF,△ABD,△ABC和△ABE的边。
【知识点】
1.三角形的识别 2.三角形的边 3.三角形的内角
【点评】
本题是基础概念题，核心考查三角形的定义及构成要素，解题的关键是按照固定顺序计数，避免出现重复、遗漏的问题，熟练掌握三角形的相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
二、与三角形有关的线段
1. 用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm 的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 (
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
1. 用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm 的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 (
B
)A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形三边的关系规则：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先设未知小木棒的长度为x cm，根据三边关系求出x的取值范围，再逐一核对选项，选出落在取值范围内的答案即可。
【解析】
设这根小木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得：$2 ＜ x ＜ 8$
逐一分析选项：
A.9cm＞8cm，不符合要求；
B.7cm满足2cm＜7cm＜8cm，符合要求；
C.2cm等于两边之差，三点共线无法组成三角形，不符合要求；
D.1cm＜2cm，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是先根据已知两边求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握三边关系的判定规则是解题的前提。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆三角形三边的关系规则：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先设未知小木棒的长度为x cm，根据三边关系求出x的取值范围，再逐一核对选项，选出落在取值范围内的答案即可。
【解析】
设这根小木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得：$2 ＜ x ＜ 8$
逐一分析选项：
A.9cm＞8cm，不符合要求；
B.7cm满足2cm＜7cm＜8cm，符合要求；
C.2cm等于两边之差，三点共线无法组成三角形，不符合要求；
D.1cm＜2cm，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是先根据已知两边求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握三边关系的判定规则是解题的前提。
【难度系数】
0.9
2. 如图13-6,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是
(
A.-5
B.4
C.7
D.8
(
B
)A.-5
B.4
C.7
D.8
答案
2.B
解析
【分析】
首先需要从数轴上确定A、B两点表示的数，计算出两点到原点的距离，也就是三角形的两条边长；再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，最后结合选项筛选出符合范围且边长为正的选项即可。
【解析】
第一步：确定三角形的两条边长
由数轴可知，点A表示的数是-3，到原点的距离为$\left|-3\right|=3$；点B表示的数是4，到原点的距离为$\left|4\right|=4$，即该三角形的两条边长分别为3和4。
第二步：求第三边的取值范围
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$4-3 ＜ x ＜ 4+3$，即$1 ＜ x ＜7$。
第三步：结合选项筛选
边长为正数，首先排除A选项-5；
B选项4，满足$1＜4＜7$，符合要求；
C选项7、D选项8均不满足$x＜7$，排除。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；绝对值的意义；三角形三边关系
【点评】
本题综合了数轴、绝对值和三角形三边关系的知识，解题的关键是正确得到三角形的两条已知边长，再利用三边关系确定第三边的范围，同时注意边长为正的隐含条件，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
首先需要从数轴上确定A、B两点表示的数，计算出两点到原点的距离，也就是三角形的两条边长；再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，最后结合选项筛选出符合范围且边长为正的选项即可。
【解析】
第一步：确定三角形的两条边长
由数轴可知，点A表示的数是-3，到原点的距离为$\left|-3\right|=3$；点B表示的数是4，到原点的距离为$\left|4\right|=4$，即该三角形的两条边长分别为3和4。
第二步：求第三边的取值范围
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$4-3 ＜ x ＜ 4+3$，即$1 ＜ x ＜7$。
第三步：结合选项筛选
边长为正数，首先排除A选项-5；
B选项4，满足$1＜4＜7$，符合要求；
C选项7、D选项8均不满足$x＜7$，排除。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；绝对值的意义；三角形三边关系
【点评】
本题综合了数轴、绝对值和三角形三边关系的知识，解题的关键是正确得到三角形的两条已知边长，再利用三边关系确定第三边的范围，同时注意边长为正的隐含条件，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图 13-7, $CD ⊥ AB$ 于点 $D$, 已知 $∠ ABC$ 是钝角,则 (
A.线段 $CD$ 是 $△ ABC$ 的 $AC$ 边上的高线
B.线段 $CD$ 是 $△ ABC$ 的 $AB$ 边上的高线
C.线段 $AD$ 是 $△ ABC$ 的 $BC$ 边上的高线
D.线段 $AD$ 是 $△ ABC$ 的 $AC$ 边上的高线
B
)A.线段 $CD$ 是 $△ ABC$ 的 $AC$ 边上的高线
B.线段 $CD$ 是 $△ ABC$ 的 $AB$ 边上的高线
C.线段 $AD$ 是 $△ ABC$ 的 $BC$ 边上的高线
D.线段 $AD$ 是 $△ ABC$ 的 $AC$ 边上的高线
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形该边上的高，注意钝角三角形的部分高会落在边的延长线上。首先观察图形，CD⊥AD，即CD垂直于AB所在的直线，CD是过顶点C作出的垂线，对应C的对边是AB，因此可先判断CD属于AB边上的高，再逐一核对其余选项排除错误答案即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段为该边上的高。
选项A：AC边上的高需从顶点B向AC所在直线作垂线，不是CD，错误；
选项B：CD是从顶点C向AB所在直线作的垂线段，因此CD是△ABC的AB边上的高线，正确；
选项C：BC边上的高需从顶点A向BC所在直线作垂线，不是AD，错误；
选项D：AC边上的高不是AD，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义；钝角三角形的高的特征
【点评】
本题重点考查三角形高的概念，需要注意并非所有三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有两条高落在对应边的延长线上，判断时要紧扣“顶点向对边所在直线作垂线”的核心定义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形该边上的高，注意钝角三角形的部分高会落在边的延长线上。首先观察图形，CD⊥AD，即CD垂直于AB所在的直线，CD是过顶点C作出的垂线，对应C的对边是AB，因此可先判断CD属于AB边上的高，再逐一核对其余选项排除错误答案即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段为该边上的高。
选项A：AC边上的高需从顶点B向AC所在直线作垂线，不是CD，错误；
选项B：CD是从顶点C向AB所在直线作的垂线段，因此CD是△ABC的AB边上的高线，正确；
选项C：BC边上的高需从顶点A向BC所在直线作垂线，不是AD，错误；
选项D：AC边上的高不是AD，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义；钝角三角形的高的特征
【点评】
本题重点考查三角形高的概念，需要注意并非所有三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有两条高落在对应边的延长线上，判断时要紧扣“顶点向对边所在直线作垂线”的核心定义。
【难度系数】
0.8
4. 如图13-8,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是 (
图13-8
A.两点之间,线段最短
B.直角三角形的两个锐角互余
C.三角形三个内角和等于$180°$
D.三角形具有稳定性
D
)图13-8
A.两点之间,线段最短
B.直角三角形的两个锐角互余
C.三角形三个内角和等于$180°$
D.三角形具有稳定性
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先观察固定木条EF后门框的结构变化：添加EF后原长方形中形成了三角形AEF。题目考查的是结构不变形对应的几何原理，可逐一分析选项：A选项是路程相关的性质，和结构稳固无关；B、C选项是三角形内角的相关性质，也与不变形的特性不相关；三角形特有的稳定性是指三边确定后三角形形状固定不会变形，正好对应固定门框不变形的需求，由此可锁定正确选项。
【解析】
工人师傅用木条EF固定长方形门框时，木条EF与长方形的边AE、AF共同构成了三角形AEF。因为三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会发生形变，因此能让门框保持原有形状不变形。
逐一分析选项：
A. 两点之间线段最短是描述两点间路径长度的性质，与门框不变形无关，排除；
B. 直角三角形两锐角互余是直角三角形的角的性质，和结构稳固无关，排除；
C. 三角形内角和等于180°是三角形角的性质，与结构不变形无关，排除；
D. 三角形具有稳定性，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查几何性质在实际生活中的应用，解题的关键是将实际场景和对应的几何性质建立关联，学会用所学几何知识解释生活中的常见做法。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察固定木条EF后门框的结构变化：添加EF后原长方形中形成了三角形AEF。题目考查的是结构不变形对应的几何原理，可逐一分析选项：A选项是路程相关的性质，和结构稳固无关；B、C选项是三角形内角的相关性质，也与不变形的特性不相关；三角形特有的稳定性是指三边确定后三角形形状固定不会变形，正好对应固定门框不变形的需求，由此可锁定正确选项。
【解析】
工人师傅用木条EF固定长方形门框时，木条EF与长方形的边AE、AF共同构成了三角形AEF。因为三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会发生形变，因此能让门框保持原有形状不变形。
逐一分析选项：
A. 两点之间线段最短是描述两点间路径长度的性质，与门框不变形无关，排除；
B. 直角三角形两锐角互余是直角三角形的角的性质，和结构稳固无关，排除；
C. 三角形内角和等于180°是三角形角的性质，与结构不变形无关，排除；
D. 三角形具有稳定性，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查几何性质在实际生活中的应用，解题的关键是将实际场景和对应的几何性质建立关联，学会用所学几何知识解释生活中的常见做法。
【难度系数】
0.9
