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9.若最简根式$\sqrt{a+3}$与$\sqrt{11-3a}$是可以合并的二次根式，则a的值是
2
.答案
9.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：可以合并的二次根式就是同类二次根式，若两个最简二次根式是同类二次根式，那么它们的被开方数一定相等，同时二次根式的被开方数必须是非负数。我们可以先根据被开方数相等列方程求出a的可能值，再验证结果是否满足二次根式有意义的要求即可。
【解析】
∵ 最简根式$\sqrt{a+3}$与$\sqrt{11-3a}$是可以合并的二次根式
∴ 二者是同类最简二次根式，被开方数相等，可列方程：
$a+3=11-3a$
移项、合并同类项得：$4a=8$
解得：$a=2$
验证：当$a=2$时，$a+3=5≥0$，$11-3a=5≥0$，两个二次根式均有意义，且都是最简根式，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式；二次根式有意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是理解可合并的最简二次根式的被开方数相同，求出结果后要注意验证被开方数的非负性，避免出现无意义的增根。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确：可以合并的二次根式就是同类二次根式，若两个最简二次根式是同类二次根式，那么它们的被开方数一定相等，同时二次根式的被开方数必须是非负数。我们可以先根据被开方数相等列方程求出a的可能值，再验证结果是否满足二次根式有意义的要求即可。
【解析】
∵ 最简根式$\sqrt{a+3}$与$\sqrt{11-3a}$是可以合并的二次根式
∴ 二者是同类最简二次根式，被开方数相等，可列方程：
$a+3=11-3a$
移项、合并同类项得：$4a=8$
解得：$a=2$
验证：当$a=2$时，$a+3=5≥0$，$11-3a=5≥0$，两个二次根式均有意义，且都是最简根式，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式；二次根式有意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是理解可合并的最简二次根式的被开方数相同，求出结果后要注意验证被开方数的非负性，避免出现无意义的增根。
【难度系数】
0.8
10. 计算 $6\sqrt{5} - 10\sqrt{\dfrac{1}{5}}$ 的结果是
$4\sqrt{5}$
.答案
10.$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化简为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，若为同类二次根式，将系数相减、根号部分保持不变即可得到结果。
【解析】
首先化简$10\sqrt{\dfrac{1}{5}}$：
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，分母有理化可得：
$\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
因此$10\sqrt{\dfrac{1}{5}}=10×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$
再代入原式合并同类二次根式：
$6\sqrt{5} - 10\sqrt{\dfrac{1}{5}}=6\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(6-2)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化简为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，若为同类二次根式，将系数相减、根号部分保持不变即可得到结果。
【解析】
首先化简$10\sqrt{\dfrac{1}{5}}$：
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，分母有理化可得：
$\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
因此$10\sqrt{\dfrac{1}{5}}=10×\dfrac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$
再代入原式合并同类二次根式：
$6\sqrt{5} - 10\sqrt{\dfrac{1}{5}}=6\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(6-2)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
11.如图，点O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为
$\sqrt{7}$
.答案
11.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先根据数轴上A、B的对应值可知O是AB的中点，结合等腰三角形ABC的性质，利用三线合一可得到CO垂直于AB，即△AOC为直角三角形；接下来在直角三角形中已知AC和OA的长度，用勾股定理即可求出OC的长度；最后根据弧的半径相等可知OM=OC，结合M在数轴正半轴，即可得到M对应的实数。
【解析】
解：
∵点A对应-3，点B对应3，O为数轴原点，
∴OA=OB=3，即O是AB的中点，
又
∵△ABC是腰长为4的等腰三角形，AC=BC=4，
∴CO⊥AB（等腰三角形三线合一），即△AOC是直角三角形，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{AC^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴正半轴于点M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与几何知识结合的基础题型，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再通过勾股定理求出线段长度，掌握相关基础性质定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上A、B的对应值可知O是AB的中点，结合等腰三角形ABC的性质，利用三线合一可得到CO垂直于AB，即△AOC为直角三角形；接下来在直角三角形中已知AC和OA的长度，用勾股定理即可求出OC的长度；最后根据弧的半径相等可知OM=OC，结合M在数轴正半轴，即可得到M对应的实数。
【解析】
解：
∵点A对应-3，点B对应3，O为数轴原点，
∴OA=OB=3，即O是AB的中点，
又
∵△ABC是腰长为4的等腰三角形，AC=BC=4，
∴CO⊥AB（等腰三角形三线合一），即△AOC是直角三角形，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{AC^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴正半轴于点M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，
∴点M对应的实数为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与几何知识结合的基础题型，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再通过勾股定理求出线段长度，掌握相关基础性质定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$。若$∠ EAF=56°$，则$∠ B=$
56
$°$。答案
12.56
解析
【分析】
解题思路：首先观察已知条件，我们有平行四边形ABCD，以及两条高AE、AF，已知∠EAF的度数求∠B。我们可以先利用平行四边形AB//CD的性质，结合AF⊥CD推出AF⊥AB，得到∠BAE与∠EAF互余；再根据AE⊥BC，在Rt△ABE中∠B与∠BAE互余，最后利用同角的余角相等即可直接求出∠B的度数。也可以先通过四边形AECF的内角和求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算∠B。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∵ AF⊥CD，
∴ AF⊥AB，即∠BAF=90°，
∴ ∠BAE + ∠EAF = 90°，
∵ AE⊥BC，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = ∠EAF = 56°（同角的余角相等）。
【答案】
56
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形的性质和直角三角形、余角的性质结合考查，解题的关键是找到角之间的互余关系，整体难度较低，掌握基础几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先观察已知条件，我们有平行四边形ABCD，以及两条高AE、AF，已知∠EAF的度数求∠B。我们可以先利用平行四边形AB//CD的性质，结合AF⊥CD推出AF⊥AB，得到∠BAE与∠EAF互余；再根据AE⊥BC，在Rt△ABE中∠B与∠BAE互余，最后利用同角的余角相等即可直接求出∠B的度数。也可以先通过四边形AECF的内角和求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算∠B。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∵ AF⊥CD，
∴ AF⊥AB，即∠BAF=90°，
∴ ∠BAE + ∠EAF = 90°，
∵ AE⊥BC，
∴ 在Rt△ABE中，∠B + ∠BAE = 90°，
∴ ∠B = ∠EAF = 56°（同角的余角相等）。
【答案】
56
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形的性质和直角三角形、余角的性质结合考查，解题的关键是找到角之间的互余关系，整体难度较低，掌握基础几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
13. 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是$2\sqrt{3}$和2，则图中阴影部分的面积是
2
。答案
13.2
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积等于矩形面积减去中间正方形的面积，因此我们需要先求出矩形的长和宽：①矩形的长与正三角形的边长相等，可通过正三角形的面积公式求出边长；②矩形的宽与正方形的边长相等，可通过正方形的面积求出边长；最后用矩形面积减去正方形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求正三角形的边长：
设正三角形的边长为$ a $，正三角形面积公式为$ S_{\mathrm{正三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，已知正三角形面积为$ 2\sqrt{3} $，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3} $
两边同时除以$ \sqrt{3} $，得$ \frac{a^2}{4}=2 $，解得$ a^2=8 $，$ a=2\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
2. 求正方形的边长：
设正方形边长为$ b $，已知正方形面积为2，即$ b^2=2 $，解得$ b=\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
3. 计算阴影面积：
矩形的长等于正三角形边长$ 2\sqrt{2} $，矩形的宽等于正方形边长$ \sqrt{2} $，因此矩形面积为：
$ S_{\mathrm{矩形}}=2\sqrt{2} × \sqrt{2}=4 $
阴影部分面积 = 矩形面积 - 正方形面积 = $ 4-2=2 $
【答案】
2
【知识点】
正三角形面积计算，二次根式运算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要准确掌握正三角形面积公式和二次根式的运算规则，理清各图形边长之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积等于矩形面积减去中间正方形的面积，因此我们需要先求出矩形的长和宽：①矩形的长与正三角形的边长相等，可通过正三角形的面积公式求出边长；②矩形的宽与正方形的边长相等，可通过正方形的面积求出边长；最后用矩形面积减去正方形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求正三角形的边长：
设正三角形的边长为$ a $，正三角形面积公式为$ S_{\mathrm{正三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，已知正三角形面积为$ 2\sqrt{3} $，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3} $
两边同时除以$ \sqrt{3} $，得$ \frac{a^2}{4}=2 $，解得$ a^2=8 $，$ a=2\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
2. 求正方形的边长：
设正方形边长为$ b $，已知正方形面积为2，即$ b^2=2 $，解得$ b=\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
3. 计算阴影面积：
矩形的长等于正三角形边长$ 2\sqrt{2} $，矩形的宽等于正方形边长$ \sqrt{2} $，因此矩形面积为：
$ S_{\mathrm{矩形}}=2\sqrt{2} × \sqrt{2}=4 $
阴影部分面积 = 矩形面积 - 正方形面积 = $ 4-2=2 $
【答案】
2
【知识点】
正三角形面积计算，二次根式运算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要准确掌握正三角形面积公式和二次根式的运算规则，理清各图形边长之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，两条互相垂直的线段AE，BF将正方形ABCD分割成①②③④四块（图1），正好围成一个大正方形GHJK（图2）。若MN+KR=3，∠QMK=60°，则AB的长是
$2\sqrt{3}$
。答案
14.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先观察图形拼接的特点：首先正方形ABCD中AE⊥BF，分割得到的两块直角三角形与图2中的Rt△GMN形状相同，由∠QMK=60°可知该直角三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，三边满足1:√3:2的比例关系；再找到拼接前后线段的对应关系，可知MN与KR的长度和恰好等于该直角三角形的长直角边长度，已知其和为3，先求出短直角边长度，再根据正方形边长AB等于该直角三角形的斜边，即可求出AB的长。
【解析】
由∠QMK=60°，可知分割得到的直角三角形为含30°、60°角的直角三角形，设其短直角边长为a，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理，可得长直角边长为√3 a，斜边长为2a。
结合图形剪拼的对应关系，MN与KR的长度和等于长直角边的长度，即：
$\sqrt{3} a = 3$
解得$a = \sqrt{3}$
又因为正方形ABCD的边长AB等于该直角三角形的斜边，所以$AB=2a=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；图形的剪拼；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将正方形性质、图形剪拼和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确识别拼接前后线段的对应关系，灵活运用特殊直角三角形的三边比例关系计算，对图形观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形拼接的特点：首先正方形ABCD中AE⊥BF，分割得到的两块直角三角形与图2中的Rt△GMN形状相同，由∠QMK=60°可知该直角三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，三边满足1:√3:2的比例关系；再找到拼接前后线段的对应关系，可知MN与KR的长度和恰好等于该直角三角形的长直角边长度，已知其和为3，先求出短直角边长度，再根据正方形边长AB等于该直角三角形的斜边，即可求出AB的长。
【解析】
由∠QMK=60°，可知分割得到的直角三角形为含30°、60°角的直角三角形，设其短直角边长为a，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理，可得长直角边长为√3 a，斜边长为2a。
结合图形剪拼的对应关系，MN与KR的长度和等于长直角边的长度，即：
$\sqrt{3} a = 3$
解得$a = \sqrt{3}$
又因为正方形ABCD的边长AB等于该直角三角形的斜边，所以$AB=2a=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；图形的剪拼；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将正方形性质、图形剪拼和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确识别拼接前后线段的对应关系，灵活运用特殊直角三角形的三边比例关系计算，对图形观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
