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三、解答题(共58分)
15.(8分)已知实数$a$，$b$在数轴上的位置如图.
化简$\sqrt{(a-1)^2}+2\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-b)^2}-|a+b|$.
15.(8分)已知实数$a$，$b$在数轴上的位置如图.
化简$\sqrt{(a-1)^2}+2\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-b)^2}-|a+b|$.
答案
15.解:由数轴,得$a-1＜0,b-1＞0$,$a-b＜0,a+b＞0$,则原式$=-a-1$.
解析
【分析】
要化简含二次根式和绝对值的代数式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为绝对值的运算，再结合数轴上$a$、$b$的位置，确定$a$、$b$的取值范围，据此判断每个绝对值内代数式的正负，最后根据绝对值的性质去绝对值、合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$，
因此可得：$a-1 ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a-b ＜ 0$，$a+b ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
原式 $= |a-1| + 2|b-1| - |a-b| - |a+b|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值符号：
$= -(a-1) + 2(b-1) + (a-b) - (a+b)$
去括号：
$= -a + 1 + 2b - 2 + a - b - a - b$
合并同类项：
$= (-a + a - a) + (2b - b - b) + (1 - 2)$
$= -a -1$
【答案】
$-a-1$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题属于基础化简类题型，核心是结合数轴判断代数式的正负，熟练掌握二次根式和绝对值的运算性质就能准确求解，计算时注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要化简含二次根式和绝对值的代数式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为绝对值的运算，再结合数轴上$a$、$b$的位置，确定$a$、$b$的取值范围，据此判断每个绝对值内代数式的正负，最后根据绝对值的性质去绝对值、合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$，
因此可得：$a-1 ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a-b ＜ 0$，$a+b ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
原式 $= |a-1| + 2|b-1| - |a-b| - |a+b|$
根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去绝对值符号：
$= -(a-1) + 2(b-1) + (a-b) - (a+b)$
去括号：
$= -a + 1 + 2b - 2 + a - b - a - b$
合并同类项：
$= (-a + a - a) + (2b - b - b) + (1 - 2)$
$= -a -1$
【答案】
$-a-1$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题属于基础化简类题型，核心是结合数轴判断代数式的正负，熟练掌握二次根式和绝对值的运算性质就能准确求解，计算时注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
16.(8分)已知$x=2-\sqrt{3}, y=2+\sqrt{3}$，求下列代数式的值：
(1)$x^2 + 2xy + y^2$. (2)$x^2 - y^2$.
(1)$x^2 + 2xy + y^2$. (2)$x^2 - y^2$.
答案
16.解:(1)原式$=16$.(2)原式$=-8\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题已知x和y的具体取值，若直接代入代数式计算会较为繁琐，因此优先观察代数式的结构特征，利用乘法公式先对代数式化简，再计算x+y、x-y的值整体代入求解即可。具体思路：第一步先计算出x+y和x-y的结果，第二步分别将两个待求代数式用乘法公式变形，第三步整体代入数值计算即可得到答案。
【解析】
首先计算x+y和x-y的值：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$x-y=(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$
(1) 根据完全平方和公式，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，将$x+y=4$代入得：
原式$=4^2=16$
(2) 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将$x+y=4$，$x-y=-2\sqrt{3}$代入得：
原式$=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$
【答案】
(1)$16$；(2)$-8\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于代数式化简求值的典型题型，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，运用整体代入的思想简化计算，避免直接代入x、y取值带来的复杂运算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题已知x和y的具体取值，若直接代入代数式计算会较为繁琐，因此优先观察代数式的结构特征，利用乘法公式先对代数式化简，再计算x+y、x-y的值整体代入求解即可。具体思路：第一步先计算出x+y和x-y的结果，第二步分别将两个待求代数式用乘法公式变形，第三步整体代入数值计算即可得到答案。
【解析】
首先计算x+y和x-y的值：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$x-y=(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$
(1) 根据完全平方和公式，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，将$x+y=4$代入得：
原式$=4^2=16$
(2) 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将$x+y=4$，$x-y=-2\sqrt{3}$代入得：
原式$=4×(-2\sqrt{3})=-8\sqrt{3}$
【答案】
(1)$16$；(2)$-8\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于代数式化简求值的典型题型，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，运用整体代入的思想简化计算，避免直接代入x、y取值带来的复杂运算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
17.(8分)如图,有两只猴子在一棵树CD上的点B处,且$BC=5\ \mathrm{m}$,它们都要到A处的池塘去喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树10 m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等,那么这棵树的高度是多少米?
答案
17.解:树高为7.5 m.
解析
【分析】
首先根据题意明确两只猴子的行走总路程相等，先算出第一只猴子的路程为BC+AC=5+10=15m，因此第二只猴子的路程BD+DA也为15m。我们可以设BD的长度为x m，那么DA的长度就是(15-x)m，树高CD为(5+x)m。由于△ACD是直角三角形，∠C为直角，可结合勾股定理列出关于x的方程，求解后即可算出树高。
【解析】
解：设BD的长度为$ x\ \mathrm{m} $。
第一只猴子经过的路程：$ BC + AC = 5 + 10 = 15\ \mathrm{m} $
由两只猴子路程相等可得$ BD + DA = 15\ \mathrm{m} $，因此$ DA = (15 - x)\ \mathrm{m} $，树高$ CD = (5 + x)\ \mathrm{m} $。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$ CD^2 + AC^2 = AD^2 $
代入对应数值：
$ (5 + x)^2 + 10^2 = (15 - x)^2 $
展开得：$ 25 + 10x + x^2 + 100 = 225 - 30x + x^2 $
消去$ x^2 $，移项合并同类项得：$ 40x = 100 $
解得$ x = 2.5 $
则树高$ CD = 5 + 2.5 = 7.5\ \mathrm{m} $
【答案】
这棵树的高度是7.5米。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类问题，解题的核心是抓住路程相等的等量关系设未知数，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题意明确两只猴子的行走总路程相等，先算出第一只猴子的路程为BC+AC=5+10=15m，因此第二只猴子的路程BD+DA也为15m。我们可以设BD的长度为x m，那么DA的长度就是(15-x)m，树高CD为(5+x)m。由于△ACD是直角三角形，∠C为直角，可结合勾股定理列出关于x的方程，求解后即可算出树高。
【解析】
解：设BD的长度为$ x\ \mathrm{m} $。
第一只猴子经过的路程：$ BC + AC = 5 + 10 = 15\ \mathrm{m} $
由两只猴子路程相等可得$ BD + DA = 15\ \mathrm{m} $，因此$ DA = (15 - x)\ \mathrm{m} $，树高$ CD = (5 + x)\ \mathrm{m} $。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$ CD^2 + AC^2 = AD^2 $
代入对应数值：
$ (5 + x)^2 + 10^2 = (15 - x)^2 $
展开得：$ 25 + 10x + x^2 + 100 = 225 - 30x + x^2 $
消去$ x^2 $，移项合并同类项得：$ 40x = 100 $
解得$ x = 2.5 $
则树高$ CD = 5 + 2.5 = 7.5\ \mathrm{m} $
【答案】
这棵树的高度是7.5米。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类问题，解题的核心是抓住路程相等的等量关系设未知数，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
