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18.(10分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,周长是32.求:
(1)菱形ABCD两条对角线的长度.
(2)菱形ABCD的面积.
(1)菱形ABCD两条对角线的长度.
(2)菱形ABCD的面积.
答案
18.解:(1)$AC=8,BD=8\sqrt{3}$.
(2)$S_{菱形}=32\sqrt{3}$.
(2)$S_{菱形}=32\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时先利用菱形的基础性质推导已知条件：首先菱形四条边相等，可由周长直接算出边长；其次菱形邻角互补，结合给出的角度比能求出内角的度数，可判断短对角线和相邻两边构成等边三角形，得到短对角线长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出长对角线的长度；最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可。
【解析】
解：(1)
∵四边形ABCD是菱形，周长为32
∴AB=BC=CD=DA=32÷4=8，AD//BC，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°
又
∵∠ABC:∠BAD=1:2
∴∠ABC=$180°×\frac{1}{1+2}=60°$
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=8
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∴BD=2OB=$8\sqrt{3}$
(2) 菱形面积等于对角线乘积的一半，因此：
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}$
【答案】
(1)$AC=8,BD=8\sqrt{3}$；(2)$S_{菱形}=32\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用菱形边、角、对角线的相关性质，结合特殊三角形的判定和勾股定理即可求解，解题时注意不要遗漏对角线互相平分的性质。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形的基础性质推导已知条件：首先菱形四条边相等，可由周长直接算出边长；其次菱形邻角互补，结合给出的角度比能求出内角的度数，可判断短对角线和相邻两边构成等边三角形，得到短对角线长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出长对角线的长度；最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可。
【解析】
解：(1)
∵四边形ABCD是菱形，周长为32
∴AB=BC=CD=DA=32÷4=8，AD//BC，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°
又
∵∠ABC:∠BAD=1:2
∴∠ABC=$180°×\frac{1}{1+2}=60°$
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=8
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∴BD=2OB=$8\sqrt{3}$
(2) 菱形面积等于对角线乘积的一半，因此：
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}$
【答案】
(1)$AC=8,BD=8\sqrt{3}$；(2)$S_{菱形}=32\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用菱形边、角、对角线的相关性质，结合特殊三角形的判定和勾股定理即可求解，解题时注意不要遗漏对角线互相平分的性质。
【难度系数】
0.7
19.(12分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过点C的直线$MN// AB$,点D为AB边上一点,过点D作$DE⊥ BC$,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.
(1)求证:$CE=AD$.
(2)当点D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.
(3)若点D为AB的中点,则当$∠ A$的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
(1)求证:$CE=AD$.
(2)当点D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.
(3)若点D为AB的中点,则当$∠ A$的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
答案
19.(1)证明:$\because DE⊥ BC,\therefore ∠DFB=90°.\because ∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACB=∠DFB.\therefore AC// DE$.
$\because MN// AB$,即$CE// AD$,$\therefore$四边形ADEC是平行四边形.$\therefore CE=AD$.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由如下:
$\because$点D为AB的中点,$\therefore AD=BD$.
$\because CE=AD,\therefore BD=CE$.
$\because BD// CE$,
$\therefore$四边形BECD是平行四边形.
$\because DE⊥ BC,\therefore$四边形BECD是菱形.
(3)解:当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.理由如下:
$\because ∠ACB=90°,∠A=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠A=45°,\therefore AC=BC$.
$\because$点D为AB的中点,$\therefore CD⊥ AB$.
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\because$四边形BECD是菱形,$\therefore$菱形BECD是正方形,
即当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.
$\therefore ∠ACB=∠DFB.\therefore AC// DE$.
$\because MN// AB$,即$CE// AD$,$\therefore$四边形ADEC是平行四边形.$\therefore CE=AD$.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由如下:
$\because$点D为AB的中点,$\therefore AD=BD$.
$\because CE=AD,\therefore BD=CE$.
$\because BD// CE$,
$\therefore$四边形BECD是平行四边形.
$\because DE⊥ BC,\therefore$四边形BECD是菱形.
(3)解:当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.理由如下:
$\because ∠ACB=90°,∠A=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠A=45°,\therefore AC=BC$.
$\because$点D为AB的中点,$\therefore CD⊥ AB$.
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\because$四边形BECD是菱形,$\therefore$菱形BECD是正方形,
即当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.
解析
【分析】
(1)要证明CE=AD，可通过证明四边形ADEC是平行四边形得到结论：首先由DE⊥BC、∠ACB=90°可推出AC//DE，结合已知MN//AB即CE//AD，可判定四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证。
(2)判定四边形BECD的形状：首先由点D是AB中点得AD=BD，结合(1)的结论CE=AD可得BD=CE，结合BD//CE先证四边形BECD是平行四边形，再根据DE⊥BC，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定其为菱形。
(3)要使菱形BECD成为正方形，需有一个内角为直角：结合直角三角形的性质，当∠A=45°时，△ABC为等腰直角三角形，点D是AB中点，由等腰三角形三线合一可得CD⊥AB，即菱形有一个直角，即可判定为正方形。
【解析】
(1)证明:$\because DE⊥ BC,\therefore ∠DFB=90°.\because ∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACB=∠DFB.\therefore AC// DE$.
$\because MN// AB$,即$CE// AD$,$\therefore$四边形ADEC是平行四边形.$\therefore CE=AD$.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由如下:
$\because$点D为AB的中点,$\therefore AD=BD$.
$\because CE=AD,\therefore BD=CE$.
$\because BD// CE$,
$\therefore$四边形BECD是平行四边形.
$\because DE⊥ BC,\therefore$四边形BECD是菱形.
(3)解:当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.理由如下:
$\because ∠ACB=90°,∠A=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠A=45°,\therefore AC=BC$.
$\because$点D为AB的中点,$\therefore CD⊥ AB$.
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\because$四边形BECD是菱形,$\therefore$菱形BECD是正方形,
即当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.
【答案】
(1)证明成立，$CE=AD$；
(2)四边形BECD是菱形；
(3)当$∠ A=45°$时，四边形BECD是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形的综合考查题，命题层层递进，结合直角三角形的性质考查各类特殊四边形的判定定理，解题时需紧扣判定条件，结合已知逐步推导，理清不同特殊四边形的联系与区别即可解答。
【难度系数】
0.7
(1)要证明CE=AD，可通过证明四边形ADEC是平行四边形得到结论：首先由DE⊥BC、∠ACB=90°可推出AC//DE，结合已知MN//AB即CE//AD，可判定四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证。
(2)判定四边形BECD的形状：首先由点D是AB中点得AD=BD，结合(1)的结论CE=AD可得BD=CE，结合BD//CE先证四边形BECD是平行四边形，再根据DE⊥BC，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定其为菱形。
(3)要使菱形BECD成为正方形，需有一个内角为直角：结合直角三角形的性质，当∠A=45°时，△ABC为等腰直角三角形，点D是AB中点，由等腰三角形三线合一可得CD⊥AB，即菱形有一个直角，即可判定为正方形。
【解析】
(1)证明:$\because DE⊥ BC,\therefore ∠DFB=90°.\because ∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACB=∠DFB.\therefore AC// DE$.
$\because MN// AB$,即$CE// AD$,$\therefore$四边形ADEC是平行四边形.$\therefore CE=AD$.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由如下:
$\because$点D为AB的中点,$\therefore AD=BD$.
$\because CE=AD,\therefore BD=CE$.
$\because BD// CE$,
$\therefore$四边形BECD是平行四边形.
$\because DE⊥ BC,\therefore$四边形BECD是菱形.
(3)解:当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.理由如下:
$\because ∠ACB=90°,∠A=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠A=45°,\therefore AC=BC$.
$\because$点D为AB的中点,$\therefore CD⊥ AB$.
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\because$四边形BECD是菱形,$\therefore$菱形BECD是正方形,
即当$∠A=45°$时,四边形BECD是正方形.
【答案】
(1)证明成立，$CE=AD$；
(2)四边形BECD是菱形；
(3)当$∠ A=45°$时，四边形BECD是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形的综合考查题，命题层层递进，结合直角三角形的性质考查各类特殊四边形的判定定理，解题时需紧扣判定条件，结合已知逐步推导，理清不同特殊四边形的联系与区别即可解答。
【难度系数】
0.7
