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20.(12分)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1)应用一:最短路径问题
如图1,一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$cm,那么最短的路线长是
(2)应用二:解决实际问题
如图2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5$m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离$CD=2$m,踏板离地的垂直高度$CF=1.5$m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
(1)应用一:最短路径问题
如图1,一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$cm,那么最短的路线长是
5
cm.(2)应用二:解决实际问题
如图2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5$m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离$CD=2$m,踏板离地的垂直高度$CF=1.5$m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
答案
20.解:(1)将圆柱展开得到平面图形,如图所示
.由题意得$AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3$(cm),$BC=4$ cm,在$Rt△ABC$中,
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$ cm$=5$ cm,
即最短的路线长是5 cm,
故答案:5.
(2)由题意得$AC=AB$,$DE=CF=1.5$ m,$CD=EF=2$ m,$BE=0.5$ m,
$\therefore BD=DE-BE=1.5-0.5=1$ m.
设$AC=x$ m,则$AD=AB-DB=(x-1)$ m,
在$Rt△ADC$中,$∠ADC=90°$,$AD=(x-1)$ m,$AC=x$ m,$CD=2$ m,
$\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即$(x-1)^2+2^2=x^2$,解得$x=2.5$,
故绳索AC的长为2.5 m.
解析
【分析】
(1) 求解圆柱侧面的最短路径时，需先将曲面转化为平面图形，即把圆柱侧面展开为长方形，此时蚂蚁爬行的最短路径就是展开图中A、B两点的连线段，可作为直角三角形的斜边，先计算两条直角边的长度，再用勾股定理即可求出路径长度。
(2) 秋千问题中绳索长度始终不变，即$AC=AB$，先根据高度差算出$BD$的长度，设绳索$AC$的长为$x$，用$x$表示出$Rt△ ADC$中$AD$的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 将圆柱侧面展开得到平面图形。
由题意得，展开后水平方向直角边长度：$AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3\ \mathrm{cm}$，
B为圆柱侧面相对一侧的中点，因此垂直方向直角边长度：$BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得$AC=AB$，$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=EF=2\ \mathrm{m}$，$BE=0.5\ \mathrm{m}$，
因此$BD=DE-BE=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$。
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB-DB=(x-1)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理可得：
$AD^2+DC^2=AC^2$，即$(x-1)^2+2^2=x^2$，
展开化简得：$-2x+5=0$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{2.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，方程思想应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，重点考查转化思想（将曲面问题转化为平面问题）和数形结合能力，是勾股定理应用的典型题型，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解圆柱侧面的最短路径时，需先将曲面转化为平面图形，即把圆柱侧面展开为长方形，此时蚂蚁爬行的最短路径就是展开图中A、B两点的连线段，可作为直角三角形的斜边，先计算两条直角边的长度，再用勾股定理即可求出路径长度。
(2) 秋千问题中绳索长度始终不变，即$AC=AB$，先根据高度差算出$BD$的长度，设绳索$AC$的长为$x$，用$x$表示出$Rt△ ADC$中$AD$的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 将圆柱侧面展开得到平面图形
。由题意得，展开后水平方向直角边长度：$AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3\ \mathrm{cm}$，
B为圆柱侧面相对一侧的中点，因此垂直方向直角边长度：$BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得$AC=AB$，$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$，$CD=EF=2\ \mathrm{m}$，$BE=0.5\ \mathrm{m}$，
因此$BD=DE-BE=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$。
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB-DB=(x-1)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理可得：
$AD^2+DC^2=AC^2$，即$(x-1)^2+2^2=x^2$，
展开化简得：$-2x+5=0$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{2.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，方程思想应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，重点考查转化思想（将曲面问题转化为平面问题）和数形结合能力，是勾股定理应用的典型题型，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
