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5. 如图,在$□ ABCD$中,$AB＞AD$,按以下步骤作图:以点A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论不能由条件推理得出的是 (
A.AG平分$∠ DAB$
B.$AD=DH$
C.$DH=BC$
D.$CH=DH$
D
)A.AG平分$∠ DAB$
B.$AD=DH$
C.$DH=BC$
D.$CH=DH$
答案
5.D
解析
【分析】
首先识别题中的作图是角平分线的尺规作图，可直接得出AG平分∠DAB；再结合平行四边形对边平行且相等的性质，推导角的等量关系，得到等腰三角形，进而得到边的等量关系，逐一验证各选项即可找到无法推理得出的结论。
【解析】
①由角平分线的尺规作图步骤可知，AG平分∠DAB，故A选项结论正确，不符合题意；
②
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC，
∴∠BAH=∠DHA（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH（等角对等边），故B选项结论正确，不符合题意；
③
∵AD=BC，AD=DH，
∴DH=BC，故C选项结论正确，不符合题意；
④题中没有给出能推导CH=DH的条件，故D选项结论无法推出，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将尺规作图与平行四边形、等腰三角形的知识结合考查，解题的关键是先根据作图特征识别出角平分线，再结合平行四边形的性质推导边与角的关系，易错点是混淆平行四边形的边的数量关系，错判C、D选项。
【难度系数】
0.7
首先识别题中的作图是角平分线的尺规作图，可直接得出AG平分∠DAB；再结合平行四边形对边平行且相等的性质，推导角的等量关系，得到等腰三角形，进而得到边的等量关系，逐一验证各选项即可找到无法推理得出的结论。
【解析】
①由角平分线的尺规作图步骤可知，AG平分∠DAB，故A选项结论正确，不符合题意；
②
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC，
∴∠BAH=∠DHA（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH（等角对等边），故B选项结论正确，不符合题意；
③
∵AD=BC，AD=DH，
∴DH=BC，故C选项结论正确，不符合题意；
④题中没有给出能推导CH=DH的条件，故D选项结论无法推出，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将尺规作图与平行四边形、等腰三角形的知识结合考查，解题的关键是先根据作图特征识别出角平分线，再结合平行四边形的性质推导边与角的关系，易错点是混淆平行四边形的边的数量关系，错判C、D选项。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在矩形$ABCD$中，$BC=8$，$CD=6$，将$△ ABE$沿$BE$折叠，使点$A$恰好落在对角线$BD$上的点$F$处，则$DE$的长是 （
A.$3$
B.$\frac{24}{5}$
C.$5$
D.$\frac{89}{16}$
C
）A.$3$
B.$\frac{24}{5}$
C.$5$
D.$\frac{89}{16}$
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据矩形的性质得到已知边长与直角，先用勾股定理求出对角线BD的长度；再结合折叠的性质，得到相等的线段和直角，将未知线段转化到同一个直角三角形中；最后设DE的长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$BC=8$，$CD=6$
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=8$，$∠ A=90°$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由折叠的性质可知$△ ABE≌△ FBE$
∴$BF=AB=6$，$EF=AE$，$∠ BFE=∠ A=90°$
∴$FD=BD-BF=10-6=4$，$∠ DFE=90°$
设$DE=x$，则$AE=AD-DE=8-x$，即$EF=8-x$
在$Rt△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF^2+FD^2=DE^2$
代入得$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开得$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得$16x=80$，解得$x=5$
即$DE$的长为5。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何折叠类计算题，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将待求量放入直角三角形中结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据矩形的性质得到已知边长与直角，先用勾股定理求出对角线BD的长度；再结合折叠的性质，得到相等的线段和直角，将未知线段转化到同一个直角三角形中；最后设DE的长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$BC=8$，$CD=6$
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=8$，$∠ A=90°$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由折叠的性质可知$△ ABE≌△ FBE$
∴$BF=AB=6$，$EF=AE$，$∠ BFE=∠ A=90°$
∴$FD=BD-BF=10-6=4$，$∠ DFE=90°$
设$DE=x$，则$AE=AD-DE=8-x$，即$EF=8-x$
在$Rt△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF^2+FD^2=DE^2$
代入得$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开得$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得$16x=80$，解得$x=5$
即$DE$的长为5。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何折叠类计算题，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将待求量放入直角三角形中结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
7.如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF的面积为108，则△ABF的面积为（
A.18
B.36
C.$18\sqrt{7}$
D.$36\sqrt{7}$
C
）A.18
B.36
C.$18\sqrt{7}$
D.$36\sqrt{7}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先从已知的正方形面积入手，求出正方形的边长，该边长同时也是菱形的边长；再利用菱形的面积公式求出菱形BC边上的高，即点F到BC的垂直距离；接下来结合菱形边长相等的性质，用勾股定理求出点F到AB的水平距离，该距离即为△ABF中AB边上的高；最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算正方形边长：
∵正方形ABCD的面积为144，
∴$AB=BC=\sqrt{144}=12$。
2. 求菱形BC边上的高：
∵四边形BCEF是菱形，
∴$BF=BC=12$，
菱形面积公式为“底×高”，以BC为底，设BC边上的高为$h$，
已知菱形BCEF面积为108，可得：$12h=108$，解得$h=9$，即点F到BC的垂直距离为9。
3. 求△ABF的高：
过点F作$FG⊥BC$于点G，作$FH⊥AB$于点H，
易知四边形FHBG是矩形，
∴$FH=BG$，$FG=9$。
在$Rt△BFG$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BF^2 - FG^2}=\sqrt{12^2 - 9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，
即$FH=3\sqrt{7}$，FH就是△ABF中AB边上的高。
4. 计算△ABF的面积：
$S_{△ABF}=\frac{1}{2}×AB×FH=\frac{1}{2}×12×3\sqrt{7}=18\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与勾股定理的应用，解题的核心是将所求三角形的高与已知图形的边长、高建立关联，需要熟练掌握常见几何图形的面积公式和基本性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的正方形面积入手，求出正方形的边长，该边长同时也是菱形的边长；再利用菱形的面积公式求出菱形BC边上的高，即点F到BC的垂直距离；接下来结合菱形边长相等的性质，用勾股定理求出点F到AB的水平距离，该距离即为△ABF中AB边上的高；最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算正方形边长：
∵正方形ABCD的面积为144，
∴$AB=BC=\sqrt{144}=12$。
2. 求菱形BC边上的高：
∵四边形BCEF是菱形，
∴$BF=BC=12$，
菱形面积公式为“底×高”，以BC为底，设BC边上的高为$h$，
已知菱形BCEF面积为108，可得：$12h=108$，解得$h=9$，即点F到BC的垂直距离为9。
3. 求△ABF的高：
过点F作$FG⊥BC$于点G，作$FH⊥AB$于点H，
易知四边形FHBG是矩形，
∴$FH=BG$，$FG=9$。
在$Rt△BFG$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BF^2 - FG^2}=\sqrt{12^2 - 9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，
即$FH=3\sqrt{7}$，FH就是△ABF中AB边上的高。
4. 计算△ABF的面积：
$S_{△ABF}=\frac{1}{2}×AB×FH=\frac{1}{2}×12×3\sqrt{7}=18\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与勾股定理的应用，解题的核心是将所求三角形的高与已知图形的边长、高建立关联，需要熟练掌握常见几何图形的面积公式和基本性质。
【难度系数】
0.6
8. 如图，菱形ABCD的周长为20 cm，$DE ⊥ AB$，垂足为点E，$\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$，则下列结论正确的个数为（
①$DE=3\ \mathrm{cm}$；②$BE=1\ \mathrm{cm}$；③菱形ABCD的面积为$15\ \mathrm{cm}^2$；④$BD=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$DE=3\ \mathrm{cm}$；②$BE=1\ \mathrm{cm}$；③菱形ABCD的面积为$15\ \mathrm{cm}^2$；④$BD=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先利用菱形四条边相等的性质，由周长求出菱形的边长；再结合DE⊥AB得到直角三角形ADE，利用已知的边长比例和勾股定理依次计算DE、AE的长度，进而得到BE的长度；接着根据菱形面积公式计算面积，最后在直角三角形DEB中用勾股定理计算BD的长度，逐个验证四个结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴AD=AB=20÷4=5cm
①
∵$\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴$DE=\frac{3}{5}×5=3\mathrm{cm}$，故①正确；
②
∵DE⊥AB，
∴△ADE是直角三角形
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
∴$BE=AB-AE=5-4=1\mathrm{cm}$，故②正确；
③菱形ABCD的面积$S=AB×DE=5×3=15\mathrm{cm}^2$，故③正确；
④在Rt△DEB中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\mathrm{cm}≠2\sqrt{10}\mathrm{cm}$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，结合直角三角形勾股定理进行计算验证，注意计算BD时不要混淆直角边的长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形四条边相等的性质，由周长求出菱形的边长；再结合DE⊥AB得到直角三角形ADE，利用已知的边长比例和勾股定理依次计算DE、AE的长度，进而得到BE的长度；接着根据菱形面积公式计算面积，最后在直角三角形DEB中用勾股定理计算BD的长度，逐个验证四个结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴AD=AB=20÷4=5cm
①
∵$\frac{DE}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴$DE=\frac{3}{5}×5=3\mathrm{cm}$，故①正确；
②
∵DE⊥AB，
∴△ADE是直角三角形
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
∴$BE=AB-AE=5-4=1\mathrm{cm}$，故②正确；
③菱形ABCD的面积$S=AB×DE=5×3=15\mathrm{cm}^2$，故③正确；
④在Rt△DEB中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\mathrm{cm}≠2\sqrt{10}\mathrm{cm}$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，结合直角三角形勾股定理进行计算验证，注意计算BD时不要混淆直角边的长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
