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1. 下列方程中,属于三元一次方程的是
()
A.$π + x + y = 6$
B.$xy + y + z = 6$
C.$x + 2y + 3z = 9$
D.$3x + 2y - 4z = 4x + 2y - 2z$
()
A.$π + x + y = 6$
B.$xy + y + z = 6$
C.$x + 2y + 3z = 9$
D.$3x + 2y - 4z = 4x + 2y - 2z$
答案
C
解析
根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。A选项含2个未知数，是二元一次方程；B选项中xy项的次数是2，不是一次方程；C选项含3个未知数，且各项次数都是1，符合；D选项化简后仅含2个未知数，是二元一次方程。
2. 已知方程组$\begin{cases}x + y = 3, \\y + z = -6, \\z + x = 9,\end{cases}$则$x + y + z$的值是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：(x+y)+(y+z)+(z+x)=3+(-6)+9，化简得2(x+y+z)=6，两边同时除以2，得x+y+z=3。
3. 解三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 3, & \mathrm{①} \\3x + 2y + z = 10, & \mathrm{②} \\2x - y + z = -1, & \mathrm{③}\end{cases}$
如果先消掉未知数$z$，那么方程组的变形过程正确的是（）
A.①$+$③，①$×2 -$②
B.①$+$③，③$×2 +$②
C.②$-$①，②$-$③
D.①$-$②，①$×2 -$③
如果先消掉未知数$z$，那么方程组的变形过程正确的是（）
A.①$+$③，①$×2 -$②
B.①$+$③，③$×2 +$②
C.②$-$①，②$-$③
D.①$-$②，①$×2 -$③
答案
C
解析
要消去未知数z，需使两个方程中z的系数相等或互为相反数，再通过加减消去z。分析选项：
选项C：②-①，z的系数均为1，相减后消去z；②-③，z的系数均为1，相减后消去z，符合要求。
其他选项的操作均无法消去z，不符合要求。
选项C：②-①，z的系数均为1，相减后消去z；②-③，z的系数均为1，相减后消去z，符合要求。
其他选项的操作均无法消去z，不符合要求。
4. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=3 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+by=2, \\ by+cz=3, \\ cx+az=7 \end{cases}$的解，
则$a+b+c$的值是 （）
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.无法确定
则$a+b+c$的值是 （）
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.无法确定
答案
A
解析
将$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases} a + 2b = 2 \\ 2b + 3c = 3 \\ 3a + c =7 \end{cases}$，三式相加得$4a +4b +4c=12$，即$4(a+b+c)=12$，解得$a+b+c=3$。
5. 已知$\begin{cases}2x+3y=z, \\3x+4y=2z+6\end{cases}$且$x+y=3$，则$z$的值为 （ ）
A.9
B.$-3$
C.12
D.不确定
A.9
B.$-3$
C.12
D.不确定
答案
B
解析
将方程组中第二个方程减去第一个方程，得：$(3x+4y)-(2x+3y)=2z+6 - z$，化简得$x+y = z +6$。把$x+y=3$代入，得$3 = z +6$，解得$z=-3$。
6. 已知$x+y+7z=0,x-y-3z=0(xyz≠0)$，则$\dfrac{2x+y+z}{2x-y+z}=$______.
答案
$-4$
解析
联立方程组$\begin{cases}x + y +7z =0 \\x - y -3z =0\end{cases}$，将两式相加得$2x +4z=0$，解得$x=-2z$；把$x=-2z$代入$x - y -3z=0$，得$-2z - y -3z=0$，解得$y=-5z$。因为$xyz≠0$，所以$z≠0$，将$x=-2z$，$y=-5z$代入$\dfrac{2x + y + z}{2x - y + z}$，分子为$2×(-2z)+(-5z)+z=-8z$，分母为$2×(-2z)-(-5z)+z=2z$，则原式$=\dfrac{-8z}{2z}=-4$。
7. 已知单项式 $7a^{3x+y-z}b^{12}c^{x+y+z}$ 与 $2a^{3}b^{2x-y}c^{5}$ 是同类项，则 $x=\_\_\_\_\_\_$，$y=\_\_\_\_\_\_$，$z=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$x=4$，$y=-4$，$z=5$
解析
根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可列出方程组：
$\begin{cases}3x + y - z = 3 \\2x - y = 12 \\x + y + z = 5\end{cases}$
将第一个方程和第三个方程相加，消去$z$得：$4x + 2y = 8$，化简为$2x + y = 4$；
联立$2x - y = 12$，两式相加得：$4x = 16$，解得$x = 4$；
把$x = 4$代入$2x - y = 12$，得$8 - y = 12$，解得$y = -4$；
把$x = 4$，$y = -4$代入$x + y + z = 5$，得$4 - 4 + z = 5$，解得$z = 5$。
$\begin{cases}3x + y - z = 3 \\2x - y = 12 \\x + y + z = 5\end{cases}$
将第一个方程和第三个方程相加，消去$z$得：$4x + 2y = 8$，化简为$2x + y = 4$；
联立$2x - y = 12$，两式相加得：$4x = 16$，解得$x = 4$；
把$x = 4$代入$2x - y = 12$，得$8 - y = 12$，解得$y = -4$；
把$x = 4$，$y = -4$代入$x + y + z = 5$，得$4 - 4 + z = 5$，解得$z = 5$。
8. 甲、乙、丙三个班的学生共植树66棵，甲班学生植树的棵数是乙班的2倍，丙班与乙班学生植树的棵数比为2：3，则甲班植树棵，乙班植树棵，丙班植树棵.
答案
36，18，12
解析
设乙班植树$ x $棵，则甲班植树$ 2x $棵，由丙班与乙班植树棵数比为$ 2:3 $，得丙班植树$ \frac{2}{3}x $棵。根据三个班共植树66棵，列方程：$ x + 2x + \frac{2}{3}x = 66 $，合并同类项得$ \frac{11}{3}x = 66 $，解得$ x = 18 $。因此甲班植树$ 2×18 = 36 $棵，乙班植树18棵，丙班植树$ \frac{2}{3}×18 = 12 $棵。
9. 解下面的方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y - z = 4, \\3x - 2y + 3z = 7, \\x + 3y - 2z = -1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x:y:z = 1:2:3, \\2x + y - 3z = 15.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 3y - z = 4, \\3x - 2y + 3z = 7, \\x + 3y - 2z = -1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x:y:z = 1:2:3, \\2x + y - 3z = 15.\end{cases}$
答案
（1）$\begin{cases}x=-1 \\y=4 \\z=6\end{cases}$；（2）$\begin{cases}x=-3 \\y=-6 \\z=-9\end{cases}$
解析
（1）解三元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y - z = 4① \\3x - 2y + 3z = 7② \\x + 3y - 2z = -1③\end{cases}$，用消元法：
①×3 + ②，得$9x +7y =19$ ④；
①×2 - ③，得$3x +3y=9$，化简为$x + y=3$ ⑤；
由⑤得$x=3 - y$，代入④：$9(3 - y)+7y=19$，解得$y=4$；
将$y=4$代入⑤得$x=-1$；
把$x=-1,y=4$代入①，得$z=6$。
（2）解方程组$\begin{cases}x:y:z=1:2:3 \\2x + y -3z=15\end{cases}$，设$x=k$，则$y=2k$，$z=3k$，代入第二个方程：
$2k +2k -9k=15$，即$-5k=15$，解得$k=-3$；
因此$x=-3$，$y=-6$，$z=-9$。
①×3 + ②，得$9x +7y =19$ ④；
①×2 - ③，得$3x +3y=9$，化简为$x + y=3$ ⑤；
由⑤得$x=3 - y$，代入④：$9(3 - y)+7y=19$，解得$y=4$；
将$y=4$代入⑤得$x=-1$；
把$x=-1,y=4$代入①，得$z=6$。
（2）解方程组$\begin{cases}x:y:z=1:2:3 \\2x + y -3z=15\end{cases}$，设$x=k$，则$y=2k$，$z=3k$，代入第二个方程：
$2k +2k -9k=15$，即$-5k=15$，解得$k=-3$；
因此$x=-3$，$y=-6$，$z=-9$。
