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18. 如图,已知$∠ 1=∠ BDE,∠ 2+∠ 3=180°$.
(1)求证:$AD// EF$;
(2)若$DA$平分$∠ BDE$,$FE⊥ AF$于点$F$,$∠ 1=50°$,求$∠ BAC$的度数.
(1)求证:$AD// EF$;
(2)若$DA$平分$∠ BDE$,$FE⊥ AF$于点$F$,$∠ 1=50°$,求$∠ BAC$的度数.
答案
18.(1)证明:$\because∠1=∠ BDE,\therefore AC// DE.\therefore∠2=∠ ADE$.
$\because∠2+∠3=180°,\therefore∠3+∠ ADE=180°.\therefore AD// EF$.
(2)解:$\because∠1=∠ BDE,∠1=50°,\therefore∠ BDE=50°$.
$\because DA$平分$∠ BDE,\therefore∠ ADE=\dfrac{1}{2}∠ BDE=25°.\therefore∠2=∠ ADE=25°$.
$\because FE⊥ AF,\therefore∠ F=90°$.
由(1),得$AD// EF,\therefore∠ BAD=∠ F=90°$.
$\therefore∠ BAC=∠ BAD-∠2=90°-25°=65°$.
$\because∠2+∠3=180°,\therefore∠3+∠ ADE=180°.\therefore AD// EF$.
(2)解:$\because∠1=∠ BDE,∠1=50°,\therefore∠ BDE=50°$.
$\because DA$平分$∠ BDE,\therefore∠ ADE=\dfrac{1}{2}∠ BDE=25°.\therefore∠2=∠ ADE=25°$.
$\because FE⊥ AF,\therefore∠ F=90°$.
由(1),得$AD// EF,\therefore∠ BAD=∠ F=90°$.
$\therefore∠ BAC=∠ BAD-∠2=90°-25°=65°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$AD// EF$，需先推导相关角的关系：首先由$∠1=∠BDE$可推出$AC// DE$，得到$∠2=∠ADE$，再结合$∠2+∠3=180{°}$等量代换得到$∠3+∠ADE=180{°}$，即可根据平行线判定定理证明$AD// EF$。
(2) 求$∠BAC$的度数时，先由$∠1$的度数得到$∠BDE$的度数，结合角平分线定义求出$∠ADE$的度数，进而得到$∠2$的度数；再利用$FE⊥AF$和$AD// EF$的结论得到$∠BAD$的度数，最后用$∠BAD$减去$∠2$即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠1=∠BDE$，
$\therefore AC// DE$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠2=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠2+∠3=180°$，
$\therefore ∠3+∠ADE=180°$（等量代换），
$\therefore AD// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：$\because ∠1=∠BDE$，$∠1=50°$，
$\therefore ∠BDE=50°$。
$\because DA$平分$∠BDE$，
$\therefore ∠ADE=\dfrac{1}{2}∠BDE=\dfrac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠2=∠ADE=25°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because FE⊥AF$，
$\therefore ∠F=90°$（垂直的定义）。
由(1)得$AD// EF$，
$\therefore ∠BAD=∠F=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠BAC=∠BAD-∠2=90°-25°=65°$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查平行线的判定、性质与角平分线、垂直性质的综合应用，解题时要注意逻辑推导的严谨性，合理通过等量代换转化角的关系，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件使用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AD// EF$，需先推导相关角的关系：首先由$∠1=∠BDE$可推出$AC// DE$，得到$∠2=∠ADE$，再结合$∠2+∠3=180{°}$等量代换得到$∠3+∠ADE=180{°}$，即可根据平行线判定定理证明$AD// EF$。
(2) 求$∠BAC$的度数时，先由$∠1$的度数得到$∠BDE$的度数，结合角平分线定义求出$∠ADE$的度数，进而得到$∠2$的度数；再利用$FE⊥AF$和$AD// EF$的结论得到$∠BAD$的度数，最后用$∠BAD$减去$∠2$即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠1=∠BDE$，
$\therefore AC// DE$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠2=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠2+∠3=180°$，
$\therefore ∠3+∠ADE=180°$（等量代换），
$\therefore AD// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：$\because ∠1=∠BDE$，$∠1=50°$，
$\therefore ∠BDE=50°$。
$\because DA$平分$∠BDE$，
$\therefore ∠ADE=\dfrac{1}{2}∠BDE=\dfrac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠2=∠ADE=25°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because FE⊥AF$，
$\therefore ∠F=90°$（垂直的定义）。
由(1)得$AD// EF$，
$\therefore ∠BAD=∠F=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠BAC=∠BAD-∠2=90°-25°=65°$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查平行线的判定、性质与角平分线、垂直性质的综合应用，解题时要注意逻辑推导的严谨性，合理通过等量代换转化角的关系，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件使用。
【难度系数】
0.7
19.安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害,为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查,将收集的数据制成如下统计图表.
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
(1)计算“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中,B类别对应人数a的值.
(2)如果让你制作一个统计图,使它能够直观反映A,B,C,D各类别所占的百分比,你认为应该选择哪种统计图?
(3)若该市约有20万人使用电瓶车,估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数.
(4)小明认为,宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178,比活动前增加了1,因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理?请结合统计图表,对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法.
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
(1)计算“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中,B类别对应人数a的值.
(2)如果让你制作一个统计图,使它能够直观反映A,B,C,D各类别所占的百分比,你认为应该选择哪种统计图?
(3)若该市约有20万人使用电瓶车,估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数.
(4)小明认为,宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178,比活动前增加了1,因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理?请结合统计图表,对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法.
答案
19.解:(1)$a=1\ 000-69-510-177=244$.
(2)为了更直观反映A,B,C,D各类别所占的百分比,最适合的统计图是扇形统计图.
(3)活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的为
$20×\dfrac{178}{896+702+224+178}=1.78$(万人).
估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的为1.78万人.
(4)小明分析数据的方法不合理.理由如下:
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比:$\dfrac{178}{896+702+224+178}×100\%=8.9\%$,
活动前骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比:$\dfrac{177}{1\ 000}×100\%=17.7\%$.
$\because8.9\%＜17.7\%$,因此交警部门开展的宣传活动有效果.
(2)为了更直观反映A,B,C,D各类别所占的百分比,最适合的统计图是扇形统计图.
(3)活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的为
$20×\dfrac{178}{896+702+224+178}=1.78$(万人).
估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的为1.78万人.
(4)小明分析数据的方法不合理.理由如下:
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比:$\dfrac{178}{896+702+224+178}×100\%=8.9\%$,
活动前骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比:$\dfrac{177}{1\ 000}×100\%=17.7\%$.
$\because8.9\%＜17.7\%$,因此交警部门开展的宣传活动有效果.
解析
【分析】
(1) 活动前随机抽取的市民总人数为1000人，总人数等于A、B、C、D四类人数之和，因此求a的值只需用总人数减去其余三类的人数即可。
(2) 结合三类常见统计图的特点判断：条形统计图直观反映数量多少，折线统计图反映数量变化趋势，扇形统计图能直观展示各部分占总体的百分比，因此要反映各类别占比应选扇形统计图。
(3) 本题属于用样本估计总体的问题，先计算活动后抽取的样本中“都不戴”头盔的人数占样本总人数的比例，再乘全市使用电瓶车的总人数20万，即可得到估计的总人数。
(4) 小明仅比较两次调查中“都不戴”头盔的绝对人数是不合理的，因为两次抽样的样本总人数不同，应比较“都不戴”头盔人数在各自样本中的占比，若占比下降则说明宣传活动有效果。
【解析】
(1) 活动前抽取的样本总人数为1000人，因此B类对应人数：
$a=1000-69-510-177=244$
(2) 扇形统计图可以直观反映各部分占总体的百分比，因此应选择扇形统计图。
(3) 先计算活动后抽取的样本总人数：$896+702+224+178=2000$（人）
样本中“都不戴”头盔的人数占比为$\frac{178}{2000}$，因此全市“都不戴”头盔的总人数约为：
$20×\dfrac{178}{2000}=1.78$（万人）
(4) 小明分析数据的方法不合理，理由如下：
活动前“都不戴”头盔的人数占比：$\dfrac{177}{1000}×100\%=17.7\%$
活动后“都不戴”头盔的人数占比：$\dfrac{178}{2000}×100\%=8.9\%$
$\because8.9\%＜17.7\%$，“都不戴”头盔的人数占比明显下降，因此交警部门开展的宣传活动有效果。
【答案】
(1) $a=244$
(2) 扇形统计图
(3) 1.78万人
(4) 小明分析数据的方法不合理，交警部门的宣传活动有效果。
【知识点】
统计表的应用，统计图的选择，用样本估计总体
【点评】
本题结合交通安全宣传的生活场景考查统计相关知识，实用性较强，需要熟练掌握不同统计图的适用场景，理解用样本估计总体的统计思想，分析数据时要结合样本容量，通过占比而非单纯的绝对数量判断变化趋势，结论才更科学。
【难度系数】
0.7
(1) 活动前随机抽取的市民总人数为1000人，总人数等于A、B、C、D四类人数之和，因此求a的值只需用总人数减去其余三类的人数即可。
(2) 结合三类常见统计图的特点判断：条形统计图直观反映数量多少，折线统计图反映数量变化趋势，扇形统计图能直观展示各部分占总体的百分比，因此要反映各类别占比应选扇形统计图。
(3) 本题属于用样本估计总体的问题，先计算活动后抽取的样本中“都不戴”头盔的人数占样本总人数的比例，再乘全市使用电瓶车的总人数20万，即可得到估计的总人数。
(4) 小明仅比较两次调查中“都不戴”头盔的绝对人数是不合理的，因为两次抽样的样本总人数不同，应比较“都不戴”头盔人数在各自样本中的占比，若占比下降则说明宣传活动有效果。
【解析】
(1) 活动前抽取的样本总人数为1000人，因此B类对应人数：
$a=1000-69-510-177=244$
(2) 扇形统计图可以直观反映各部分占总体的百分比，因此应选择扇形统计图。
(3) 先计算活动后抽取的样本总人数：$896+702+224+178=2000$（人）
样本中“都不戴”头盔的人数占比为$\frac{178}{2000}$，因此全市“都不戴”头盔的总人数约为：
$20×\dfrac{178}{2000}=1.78$（万人）
(4) 小明分析数据的方法不合理，理由如下：
活动前“都不戴”头盔的人数占比：$\dfrac{177}{1000}×100\%=17.7\%$
活动后“都不戴”头盔的人数占比：$\dfrac{178}{2000}×100\%=8.9\%$
$\because8.9\%＜17.7\%$，“都不戴”头盔的人数占比明显下降，因此交警部门开展的宣传活动有效果。
【答案】
(1) $a=244$
(2) 扇形统计图
(3) 1.78万人
(4) 小明分析数据的方法不合理，交警部门的宣传活动有效果。
【知识点】
统计表的应用，统计图的选择，用样本估计总体
【点评】
本题结合交通安全宣传的生活场景考查统计相关知识，实用性较强，需要熟练掌握不同统计图的适用场景，理解用样本估计总体的统计思想，分析数据时要结合样本容量，通过占比而非单纯的绝对数量判断变化趋势，结论才更科学。
【难度系数】
0.7
