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20. 对于有理数 $ x,y $，定义一种新运算符号 $ f $，规定：$ f(x,y)=\begin{cases} x+2y & (x≥ y), \\ y+3x & (x＜y). \end{cases} $
(1) 求 $ f(3,4) $ 的值；
(2) 若关于正数 $ m $ 的不等式组$\begin{cases} f(3m,3m-1)＞7, \\ f(-2m-1,-m)≥7k+4 \end{cases}$恰好有 3 个整数解，求 $ k $ 的取值范围.
(1) 求 $ f(3,4) $ 的值；
(2) 若关于正数 $ m $ 的不等式组$\begin{cases} f(3m,3m-1)＞7, \\ f(-2m-1,-m)≥7k+4 \end{cases}$恰好有 3 个整数解，求 $ k $ 的取值范围.
答案
20.解:(1)$\because3＜4,\therefore f(3,4)=4+3×3=13$.
(2)$\because m＞0,\therefore3m＞3m-1$.
$\therefore f(3m,3m-1)=3m+2(3m-1)=9m-2$.
$\because m＞0,\therefore-2m-1＜-m$.
$\therefore f(-2m-1,-m)=-m+3(-2m-1)=-7m-3$.
$\therefore$原不等式组可以化为$\begin{cases} 9m-2＞7, \\ -7m-3≥7k+4. \end{cases}$
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜m≤-k-1$.
$\because$原不等式组恰好有3个整数解,
$\therefore4≤-k-1＜5.\therefore-6＜k≤-5$.
(2)$\because m＞0,\therefore3m＞3m-1$.
$\therefore f(3m,3m-1)=3m+2(3m-1)=9m-2$.
$\because m＞0,\therefore-2m-1＜-m$.
$\therefore f(-2m-1,-m)=-m+3(-2m-1)=-7m-3$.
$\therefore$原不等式组可以化为$\begin{cases} 9m-2＞7, \\ -7m-3≥7k+4. \end{cases}$
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜m≤-k-1$.
$\because$原不等式组恰好有3个整数解,
$\therefore4≤-k-1＜5.\therefore-6＜k≤-5$.
解析
【分析】
(1) 求解新定义运算的值时，首先要判断参与运算的两个数的大小关系，再对应选择运算公式代入计算即可。本题先比较3和4的大小，发现3＜4，选择x＜y对应的公式即可算出f(3,4)。
(2) 求解含参数的不等式组问题时，首先根据m是正数的条件，分别判断两个新运算中两个自变量的大小，代入对应公式将不等式组转化为普通一元一次不等式组，解出解集后，根据恰好有3个整数解的条件确定整数解为2、3、4，进而得到关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围，注意要仔细判断端点值是否可取。
【解析】
(1) 比较3和4的大小：$\because 3＜4$，符合新运算中$x＜y$的情况，
$\therefore f(3,4)=4+3×3=4+9=13$。
(2) 已知$m$是正数，即$m＞0$：
① 比较$3m$和$3m-1$的大小：$3m-(3m-1)=1＞0$，$\therefore 3m＞3m-1$，符合$x≥y$的情况，
代入得$f(3m,3m-1)=3m+2(3m-1)=9m-2$。
② 比较$-2m-1$和$-m$的大小：$(-2m-1)-(-m)=-m-1＜0$（$m＞0$），$\therefore -2m-1＜-m$，符合$x＜y$的情况，
代入得$f(-2m-1,-m)=-m+3(-2m-1)=-7m-3$。
$\therefore$原不等式组可化为：
$\begin{cases} 9m-2＞7 \quad① \\ -7m-3≥7k+4 \quad② \end{cases}$
解不等式①得：$9m＞9$，即$m＞1$。
解不等式②得：$-7m≥7k+7$，两边除以$-7$，不等号方向改变，得$m≤-k-1$。
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜m≤-k-1$。
$\because$不等式组恰好有3个整数解，大于1的连续3个正整数为2、3、4，
$\therefore 4≤-k-1＜5$，
解这个不等式：
由$4≤-k-1$得$k≤-5$，由$-k-1＜5$得$k＞-6$，
即$k$的取值范围为$-6＜k≤-5$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{-6＜k≤-5}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组，不等式组整数解应用
【点评】
本题将新定义运算与一元一次不等式组结合考查，解题核心是准确理解新运算的分类规则，正确化简不等式，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题时需特别注意不等号方向的变化以及端点值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解新定义运算的值时，首先要判断参与运算的两个数的大小关系，再对应选择运算公式代入计算即可。本题先比较3和4的大小，发现3＜4，选择x＜y对应的公式即可算出f(3,4)。
(2) 求解含参数的不等式组问题时，首先根据m是正数的条件，分别判断两个新运算中两个自变量的大小，代入对应公式将不等式组转化为普通一元一次不等式组，解出解集后，根据恰好有3个整数解的条件确定整数解为2、3、4，进而得到关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围，注意要仔细判断端点值是否可取。
【解析】
(1) 比较3和4的大小：$\because 3＜4$，符合新运算中$x＜y$的情况，
$\therefore f(3,4)=4+3×3=4+9=13$。
(2) 已知$m$是正数，即$m＞0$：
① 比较$3m$和$3m-1$的大小：$3m-(3m-1)=1＞0$，$\therefore 3m＞3m-1$，符合$x≥y$的情况，
代入得$f(3m,3m-1)=3m+2(3m-1)=9m-2$。
② 比较$-2m-1$和$-m$的大小：$(-2m-1)-(-m)=-m-1＜0$（$m＞0$），$\therefore -2m-1＜-m$，符合$x＜y$的情况，
代入得$f(-2m-1,-m)=-m+3(-2m-1)=-7m-3$。
$\therefore$原不等式组可化为：
$\begin{cases} 9m-2＞7 \quad① \\ -7m-3≥7k+4 \quad② \end{cases}$
解不等式①得：$9m＞9$，即$m＞1$。
解不等式②得：$-7m≥7k+7$，两边除以$-7$，不等号方向改变，得$m≤-k-1$。
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜m≤-k-1$。
$\because$不等式组恰好有3个整数解，大于1的连续3个正整数为2、3、4，
$\therefore 4≤-k-1＜5$，
解这个不等式：
由$4≤-k-1$得$k≤-5$，由$-k-1＜5$得$k＞-6$，
即$k$的取值范围为$-6＜k≤-5$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{-6＜k≤-5}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组，不等式组整数解应用
【点评】
本题将新定义运算与一元一次不等式组结合考查，解题核心是准确理解新运算的分类规则，正确化简不等式，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题时需特别注意不等号方向的变化以及端点值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4 000多年的历史. 某商家销售A,B两种材质的围棋，每套进价分别为40元、120元，下表所示是近两个月的销售情况.
(1)求A,B两种材质的围棋每套的售价.
(2)若商家准备用不多于2 700元的金额再采购A,B两种材质的围棋共30套，则B种材质的围棋最多能采购多少套？
(3)在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋后能否实现利润为650元的目标？请说明理由.
(1)求A,B两种材质的围棋每套的售价.
(2)若商家准备用不多于2 700元的金额再采购A,B两种材质的围棋共30套，则B种材质的围棋最多能采购多少套？
(3)在(2)的条件下，商家销售完这30套围棋后能否实现利润为650元的目标？请说明理由.
答案
21.解:(1)设A种材质的围棋每套的售价为$x$元,B种材质的围棋每套的售价为$y$元.
根据题意,得$\begin{cases} 2x+5y=846, \\ 3x+10y=1\ 644. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=48, \\ y=150. \end{cases}$
答:A种材质的围棋每套的售价为48元,B种材质的围棋每套的售价为150元.
(2)设采购$m$套B种材质的围棋,则采购$(30-m)$套A种材质的围棋.
根据题意,得$40(30-m)+120m≤2\ 700.$解得$m≤\dfrac{75}{4}$.
又$m$为正整数,$\therefore m$的最大值为18.
答:B种材质的围棋最多能采购18套.
(3)在(2)的条件下,商家销售完这30套围棋后不能实现利润为650元的目标.理由如下:
假设能实现利润为650元的目标.
根据题意,得$(48-40)(30-m)+(150-120)m=650$,解得$m=\dfrac{205}{11}$.
又$m≤\dfrac{75}{4}$,$\therefore m=\dfrac{205}{11}$不符合题意.
$\therefore$假设不成立,即在(2)的条件下,商家销售完这30套围棋后不能实现利润为650元的目标.
根据题意,得$\begin{cases} 2x+5y=846, \\ 3x+10y=1\ 644. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=48, \\ y=150. \end{cases}$
答:A种材质的围棋每套的售价为48元,B种材质的围棋每套的售价为150元.
(2)设采购$m$套B种材质的围棋,则采购$(30-m)$套A种材质的围棋.
根据题意,得$40(30-m)+120m≤2\ 700.$解得$m≤\dfrac{75}{4}$.
又$m$为正整数,$\therefore m$的最大值为18.
答:B种材质的围棋最多能采购18套.
(3)在(2)的条件下,商家销售完这30套围棋后不能实现利润为650元的目标.理由如下:
假设能实现利润为650元的目标.
根据题意,得$(48-40)(30-m)+(150-120)m=650$,解得$m=\dfrac{205}{11}$.
又$m≤\dfrac{75}{4}$,$\therefore m=\dfrac{205}{11}$不符合题意.
$\therefore$假设不成立,即在(2)的条件下,商家销售完这30套围棋后不能实现利润为650元的目标.
解析
【分析】
(1) 要求A、B两种材质围棋的售价，可设两个未知量，从表格中提取两组销售数据对应的等量关系：①2套A的售价+5套B的售价=846元；②3套A的售价+10套B的售价=1644元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 要求B种围棋最多采购的数量，可设B的采购量为m套，则A的采购量为(30-m)套，根据总采购金额不超过2700元的限制，列一元一次不等式求解，再结合m为正整数的实际要求取最大值即可。
(3) 要判断能否实现650元的利润目标，可先假设可以实现，根据“总利润=单套利润×销售数量”列一元一次方程，解出m的值后与(2)中得到的m的取值范围对比，若符合要求则可以实现，反之则不能实现。
【解析】
(1) 设A种材质的围棋每套的售价为$x$元，B种材质的围棋每套的售价为$y$元。
根据题意列方程组：$\begin{cases} 2x+5y=846 \\ 3x+10y=1644 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$4x+10y=1692$，减去第二个方程得$x=48$，将$x=48$代入$2x+5y=846$，解得$y=150$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=48 \\ y=150 \end{cases}$。
(2) 设采购$m$套B种材质的围棋，则采购$(30-m)$套A种材质的围棋。
根据采购金额限制列不等式：$40(30-m)+120m≤2700$
去括号得：$1200-40m+120m≤2700$
合并同类项得：$80m≤1500$
解得：$m≤\frac{75}{4}=18.75$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为18。
(3) 不能实现利润为650元的目标，理由如下：
假设能实现利润为650元的目标，根据利润计算公式列方程：
$(48-40)(30-m)+(150-120)m=650$
化简得：$8(30-m)+30m=650$
去括号得：$240-8m+30m=650$
合并同类项得：$22m=410$
解得：$m=\frac{205}{11}\approx18.64$
由(2)可知$m≤18.75$，且$m$需为正整数，$\frac{205}{11}$不符合实际要求，因此假设不成立。
【答案】
(1) A种材质的围棋每套售价为48元，B种材质的围棋每套售价为150元；
(2) B种材质的围棋最多能采购18套；
(3) 不能实现利润为650元的目标，理由见解析。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的实际应用类题目，需要从表格中提取有效信息建立对应的数学模型，既考查了方程组、不等式的基础计算能力，也考查了对实际问题隐含条件（如数量为正整数）的把握，难度适中，贴合日常生产生活场景。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A、B两种材质围棋的售价，可设两个未知量，从表格中提取两组销售数据对应的等量关系：①2套A的售价+5套B的售价=846元；②3套A的售价+10套B的售价=1644元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 要求B种围棋最多采购的数量，可设B的采购量为m套，则A的采购量为(30-m)套，根据总采购金额不超过2700元的限制，列一元一次不等式求解，再结合m为正整数的实际要求取最大值即可。
(3) 要判断能否实现650元的利润目标，可先假设可以实现，根据“总利润=单套利润×销售数量”列一元一次方程，解出m的值后与(2)中得到的m的取值范围对比，若符合要求则可以实现，反之则不能实现。
【解析】
(1) 设A种材质的围棋每套的售价为$x$元，B种材质的围棋每套的售价为$y$元。
根据题意列方程组：$\begin{cases} 2x+5y=846 \\ 3x+10y=1644 \end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$4x+10y=1692$，减去第二个方程得$x=48$，将$x=48$代入$2x+5y=846$，解得$y=150$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=48 \\ y=150 \end{cases}$。
(2) 设采购$m$套B种材质的围棋，则采购$(30-m)$套A种材质的围棋。
根据采购金额限制列不等式：$40(30-m)+120m≤2700$
去括号得：$1200-40m+120m≤2700$
合并同类项得：$80m≤1500$
解得：$m≤\frac{75}{4}=18.75$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为18。
(3) 不能实现利润为650元的目标，理由如下：
假设能实现利润为650元的目标，根据利润计算公式列方程：
$(48-40)(30-m)+(150-120)m=650$
化简得：$8(30-m)+30m=650$
去括号得：$240-8m+30m=650$
合并同类项得：$22m=410$
解得：$m=\frac{205}{11}\approx18.64$
由(2)可知$m≤18.75$，且$m$需为正整数，$\frac{205}{11}$不符合实际要求，因此假设不成立。
【答案】
(1) A种材质的围棋每套售价为48元，B种材质的围棋每套售价为150元；
(2) B种材质的围棋最多能采购18套；
(3) 不能实现利润为650元的目标，理由见解析。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的实际应用类题目，需要从表格中提取有效信息建立对应的数学模型，既考查了方程组、不等式的基础计算能力，也考查了对实际问题隐含条件（如数量为正整数）的把握，难度适中，贴合日常生产生活场景。
【难度系数】
0.7
