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22. 根据以下信息，完成探究任务.
制作长方体形状的无盖纸盒
素材1 某同学用如图(1)所示的长方形纸板做成如图(2)所示的竖式和横式两种长方体形状的无盖纸盒(纸盒的每一面都需用一张完整的纸板).已知两种长方形纸板(分别记为A型和B型)的规格分别为 30 cm×20 cm,20 cm×20 cm
素材2 该同学发现手边已有规格为 120 cm×40 cm 的大纸板若干张,可通过裁切大纸板的方式得到 A,B 型小纸板(不计裁切损耗)
探图任务
任务1 拟定裁切方案 若要不造成纸板浪费,有多种裁切大纸板的方法(可以只裁切成一种类型的纸板,也可以分别裁切成一定数量的两种类型纸板),请根据提示补全如下几种裁切方案.
方法一:裁切成 A 型纸板 0 张和 B 型纸板
方法二:裁切成 A 型纸板
方法三:裁切成 A 型纸板 8 张和 B 型纸板
任务2 确定制作方案 现通过裁切得到 A 型纸板 162 张,B 型纸板 90 张,若要做成两种纸盒共 50 个,且 A 型与 B 型纸板恰好用完,则横式和竖式纸盒分别有多少个
制作长方体形状的无盖纸盒
素材1 某同学用如图(1)所示的长方形纸板做成如图(2)所示的竖式和横式两种长方体形状的无盖纸盒(纸盒的每一面都需用一张完整的纸板).已知两种长方形纸板(分别记为A型和B型)的规格分别为 30 cm×20 cm,20 cm×20 cm
素材2 该同学发现手边已有规格为 120 cm×40 cm 的大纸板若干张,可通过裁切大纸板的方式得到 A,B 型小纸板(不计裁切损耗)
探图任务
任务1 拟定裁切方案 若要不造成纸板浪费,有多种裁切大纸板的方法(可以只裁切成一种类型的纸板,也可以分别裁切成一定数量的两种类型纸板),请根据提示补全如下几种裁切方案.
方法一:裁切成 A 型纸板 0 张和 B 型纸板
12
张；方法二:裁切成 A 型纸板
4
张和 B 型纸板 6 张；方法三:裁切成 A 型纸板 8 张和 B 型纸板
0
张任务2 确定制作方案 现通过裁切得到 A 型纸板 162 张,B 型纸板 90 张,若要做成两种纸盒共 50 个,且 A 型与 B 型纸板恰好用完,则横式和竖式纸盒分别有多少个
答案
22.解:任务1 12 4 0
任务2 设竖式纸盒$x$个,横式纸盒$y$个,
根据题意,得$\begin{cases} 4x+3y=162, \\ x+2y=90. \end{cases}$
由$x+y=50$,得$x=50-y$,代入$x+2y=90$,得
$50-y+2y=90$,解得$y=40$,则$x=10$.
答:横式纸盒有40个,竖式纸盒有10个.
任务2 设竖式纸盒$x$个,横式纸盒$y$个,
根据题意,得$\begin{cases} 4x+3y=162, \\ x+2y=90. \end{cases}$
由$x+y=50$,得$x=50-y$,代入$x+2y=90$,得
$50-y+2y=90$,解得$y=40$,则$x=10$.
答:横式纸盒有40个,竖式纸盒有10个.
解析
【分析】
任务1解题思路
首先明确裁切无浪费的核心是：裁切出的所有小纸板总面积和大纸板总面积相等。先分别计算大纸板、A型纸板、B型纸板的面积，再根据每种方法已知的某类纸板数量，用总面积减去该类纸板占的面积，除以另一类纸板的面积即可求出未知数量。
任务2解题思路
首先确定两类纸盒的耗材：1个竖式无盖纸盒需要4张A型纸板、1张B型纸板；1个横式无盖纸盒需要3张A型纸板、2张B型纸板。设竖式、横式纸盒的数量分别为未知数，根据“总纸盒数为50个”“A型纸板共162张”“B型纸板共90张”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先计算三类纸板面积：
大纸板面积：$120×40=4800\ \mathrm{cm}^2$
A型纸板面积：$30×20=600\ \mathrm{cm}^2$
B型纸板面积：$20×20=400\ \mathrm{cm}^2$
任务1求解
方法一：A型纸板0张时，B型纸板数量为$4800÷400=12$张；
方法二：B型纸板6张时，B型总占地面积为$6×400=2400\ \mathrm{cm}^2$，剩余面积可裁A型纸板数量为$(4800-2400)÷600=4$张；
方法三：A型纸板8张时，A型总占地面积为$8×600=4800\ \mathrm{cm}^2$，刚好等于大纸板面积，因此B型纸板数量为0张。
任务2求解
设竖式纸盒有$x$个，横式纸盒有$y$个，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=50\\4x+3y=162\\x+2y=90\end{cases}$
由$x+y=50$得$x=50-y$，代入$x+2y=90$可得：
$50-y+2y=90$，解得$y=40$，则$x=50-40=10$。
【答案】
任务1：$\boxed{12}$；$\boxed{4}$；$\boxed{0}$
任务2：横式纸盒有$\boxed{40}$个，竖式纸盒有$\boxed{10}$个
【知识点】
面积计算、二元一次方程组应用、方案设计
【点评】
本题结合手工制作的实际场景命题，既考查了基础的面积运算能力，也考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题核心是理清两类纸盒的耗材数量和裁切时总面积不变的原则，能有效锻炼学生的实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路
首先明确裁切无浪费的核心是：裁切出的所有小纸板总面积和大纸板总面积相等。先分别计算大纸板、A型纸板、B型纸板的面积，再根据每种方法已知的某类纸板数量，用总面积减去该类纸板占的面积，除以另一类纸板的面积即可求出未知数量。
任务2解题思路
首先确定两类纸盒的耗材：1个竖式无盖纸盒需要4张A型纸板、1张B型纸板；1个横式无盖纸盒需要3张A型纸板、2张B型纸板。设竖式、横式纸盒的数量分别为未知数，根据“总纸盒数为50个”“A型纸板共162张”“B型纸板共90张”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先计算三类纸板面积：
大纸板面积：$120×40=4800\ \mathrm{cm}^2$
A型纸板面积：$30×20=600\ \mathrm{cm}^2$
B型纸板面积：$20×20=400\ \mathrm{cm}^2$
任务1求解
方法一：A型纸板0张时，B型纸板数量为$4800÷400=12$张；
方法二：B型纸板6张时，B型总占地面积为$6×400=2400\ \mathrm{cm}^2$，剩余面积可裁A型纸板数量为$(4800-2400)÷600=4$张；
方法三：A型纸板8张时，A型总占地面积为$8×600=4800\ \mathrm{cm}^2$，刚好等于大纸板面积，因此B型纸板数量为0张。
任务2求解
设竖式纸盒有$x$个，横式纸盒有$y$个，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=50\\4x+3y=162\\x+2y=90\end{cases}$
由$x+y=50$得$x=50-y$，代入$x+2y=90$可得：
$50-y+2y=90$，解得$y=40$，则$x=50-40=10$。
【答案】
任务1：$\boxed{12}$；$\boxed{4}$；$\boxed{0}$
任务2：横式纸盒有$\boxed{40}$个，竖式纸盒有$\boxed{10}$个
【知识点】
面积计算、二元一次方程组应用、方案设计
【点评】
本题结合手工制作的实际场景命题，既考查了基础的面积运算能力，也考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题核心是理清两类纸盒的耗材数量和裁切时总面积不变的原则，能有效锻炼学生的实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
