15. 解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1 - 3x}{4} ≤ 1, \\2x + 1 ＜ 3,\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来.

解:$\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤1,①\\2x+1＜3,②\end{cases}$
解不等式①,得$x≥-3$.
解不等式②,得$x＜1$.
$\therefore$不等式组的解集为$-3≤ x＜1$.
解集在数轴上表示如图所示.

【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式，再取两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集。第一步处理带分母的不等式：先通过去分母消去分数，再经过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意当未知数系数为负数时，不等号方向要改变；第二步解第二个不含分母的一元一次不等式，直接移项化简即可得到解集；第三步根据“大小小大中间找”的解集判断规则，确定两个解集的公共范围；最后按照数轴表示规则：包含端点用实心点、不包含端点用空心圈，画出对应解集即可。
【解析】
将不等式组标记序号：
$\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤1,①\\2x+1＜3,②\end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘4去分母，得$2x + 1 - 3x ≤ 4$
移项、合并同类项，得$-x ≤ 3$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ≥ -3$
解不等式②：
移项得$2x ＜ 3 - 1$
合并同类项得$2x ＜ 2$
系数化为1，得$x ＜ 1$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-3 ≤ x ＜ 1$，再按规则在数轴上表示解集即可。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-3≤ x＜1}$。
解集在数轴上表示如图所示.
【知识点】
解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式组的基础考察题，主要考查一元一次不等式的求解步骤和不等式组解集的判定规则，易错点为去分母时漏乘常数项、负数系数化1时忘记改变不等号方向、数轴表示时混淆实心点和空心圈的用法，掌握基础解法即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

16. 如图,已知:AD是∠BAE的平分线,∠DAE+∠AEF=180°,∠DAE=∠DEF,求证:AB//CD.
证明:∵∠DAE+∠AEF=180°(已知),
∴AD//EF().
∴∠D=(两直线平行,内错角相等).
∵∠DAE=∠DEF(已知),
∴∠D=(等量代换).
∵AD平分∠BAE(已知),
∴=∠DAE().
∴∠BAD=(等量代换).
∴AB//CD().

16.同旁内角互补,两直线平行 $∠ DEF$ $∠ DAE$ $∠ BAD$ 角平分线的定义 $∠ D$ 内错角相等,两直线平行

【分析】
这是一道几何证明填空题，解题时需结合前后给出的条件、结论以及括号内的提示，匹配对应的几何定理填空。首先第一步已知两个角和为180°，是同旁内角互补的特征，对应平行线的判定定理；接着利用平行线的性质得到内错角相等，再结合已知的角相等关系进行等量代换；之后利用角平分线的定义得到两个角相等，再次等量代换得到AB、CD被AD所截形成的内错角相等，最后用平行线的判定定理得到两直线平行，按这个逻辑依次填空即可。
【解析】
我们按证明步骤逐一推导：
1. 已知$∠ DAE+∠ AEF=180°$，这两个角是直线$AD$、$EF$被直线$AE$所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定$AD// EF$。
2. 由$AD// EF$，两直线平行内错角相等，直线$AD$、$EF$被直线$DE$所截的内错角为$∠ D$和$∠ DEF$，因此$∠ D=∠ DEF$。
3. 已知$∠ DAE=∠ DEF$，结合上一步结论，通过等量代换可得$∠ D=∠ DAE$。
4. 已知$AD$平分$∠ BAE$，根据角平分线的定义，可得$∠ BAD=∠ DAE$。
5. 结合$∠ D=∠ DAE$、$∠ BAD=∠ DAE$，通过等量代换可得$∠ BAD=∠ D$。
6. $∠ BAD$和$∠ D$是直线$AB$、$CD$被直线$AD$所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可判定$AB// CD$。
【答案】
同旁内角互补,两直线平行；$∠ DEF$；$∠ DAE$；$∠ BAD$；角平分线的定义；$∠ D$；内错角相等,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的几何推理填空题，核心考查平行线的判定和性质、角平分线定义的应用，要求学生能准确识别三线八角，熟练掌握相关定理的条件和结论，理清推导的逻辑顺序即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

17. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x+y=3, \\ mx-ny=9 \end{cases}$和$\begin{cases} (n-1)x+my=0, \\ x-y=1 \end{cases}$有相同的解.
(1)求$m,n$的值；
(2)证明:无论$a$取何值,方程组的解都是关于$x,y$的方程$(2a-1)x-(3+4a)y=-5$的解.

17.(1)解:由题意,联立得$\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=3. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
将$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入含有$m,n$的方程,得$\begin{cases} 2(n-1)+m=0, \\ 2m-n=9. \end{cases}$
整理,得$\begin{cases} m+2n=2, \\ 2m-n=9. \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=-1. \end{cases}$
(2)证明:当$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$时,方程的左边$=(2a-1)×2-(3+4a)×1=4a-2-3-4a=-5=$右边,
$\therefore$无论$a$取何值,方程组的解都是关于$x,y$的方程$(2a-1)x-(3+4a)y=-5$的解.

【分析】
（1）两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程，因此先联立不含参数m、n的方程$x+y=3$和$x-y=1$，求出公共解$x、y$的值；再将$x、y$代入另外两个含m、n的方程，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值。
（2）要证明无论a取何值，方程组的解都是给定方程的解，只需将公共解代入方程左边，化简后判断是否恒等于右边即可。
【解析】
(1) 由题意联立不含m、n的方程：
$\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}$
两式相加得$2x=4$，解得$x=2$，将$x=2$代入$x+y=3$，解得$y=1$，即公共解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
将$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$代入含m、n的方程，得：
$\begin{cases} 2m - n = 9 \\ 2(n-1) + m = 0 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} 2m - n = 9 ① \\ m + 2n = 2 ② \end{cases}$
①×2 + ②得$5m=20$，解得$m=4$，将$m=4$代入①得$8-n=9$，解得$n=-1$。
(2) 证明：将$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$代入方程左边：
左边$=(2a-1)×2 - (3+4a)×1 = 4a - 2 - 3 - 4a = -5$，和右边相等，
因此无论a取何值，方程组的解都满足该方程。
【答案】
(1) $\begin{cases} m=4 \\ n=-1 \end{cases}$；
(2) 无论a取何值，方程组的解都是关于$x,y$的方程$(2a-1)x-(3+4a)y=-5$的解，证明成立。
【知识点】
二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，二元一次方程的解
【点评】
本题考查同解方程组的性质，解题关键是先求出公共解再代入求参数，第二问通过代入验证即可完成证明，属于常规基础题型，掌握对应方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7