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8. 数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得$DE// AC$。同学们回答完毕之后，老师在投影屏上分别展示了四位同学添加的条件，并说明其中一位同学添加的条件是不符合要求的，则这个条件是（
C
）答案
8.C
解析
【分析】
本题要求选出不能判定$DE// AC$的条件，解题核心是熟练运用平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。首先识别每类角是哪两条直线被哪条截线所截形成的，再结合判定定理逐一判断选项即可。
【解析】
我们结合平行线的判定定理逐个分析选项：
1. 选项A：$∠ A$和$∠ 1$是直线$DE$、$AC$被直线$AB$所截得到的同位角，若$∠ A=∠ 1$，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
2. 选项B：$∠ 2$和$∠ 4$是直线$DE$、$AC$被直线$DF$所截得到的同旁内角，若$∠ 2+∠ 4=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
3. 选项C：$∠ A$和$∠ 3$是直线$AB$、$DF$被直线$AC$所截得到的同位角，若$∠ A=∠ 3$，根据“同位角相等，两直线平行”，推出的是$AB// DF$，无法得到$DE// AC$，不符合要求。
4. 选项D：$∠ 3$和$∠ 4$是直线$DE$、$AC$被直线$DF$所截得到的内错角，若$∠ 3=∠ 4$，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角与同旁内角
【点评】
本题解题的关键是准确识别“三线八角”中角的对应关系，明确每类角对应的截线和被截直线，避免混淆不同直线的平行关系，是平行线判定类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题要求选出不能判定$DE// AC$的条件，解题核心是熟练运用平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。首先识别每类角是哪两条直线被哪条截线所截形成的，再结合判定定理逐一判断选项即可。
【解析】
我们结合平行线的判定定理逐个分析选项：
1. 选项A：$∠ A$和$∠ 1$是直线$DE$、$AC$被直线$AB$所截得到的同位角，若$∠ A=∠ 1$，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
2. 选项B：$∠ 2$和$∠ 4$是直线$DE$、$AC$被直线$DF$所截得到的同旁内角，若$∠ 2+∠ 4=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
3. 选项C：$∠ A$和$∠ 3$是直线$AB$、$DF$被直线$AC$所截得到的同位角，若$∠ A=∠ 3$，根据“同位角相等，两直线平行”，推出的是$AB// DF$，无法得到$DE// AC$，不符合要求。
4. 选项D：$∠ 3$和$∠ 4$是直线$DE$、$AC$被直线$DF$所截得到的内错角，若$∠ 3=∠ 4$，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$DE// AC$，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角与同旁内角
【点评】
本题解题的关键是准确识别“三线八角”中角的对应关系，明确每类角对应的截线和被截直线，避免混淆不同直线的平行关系，是平行线判定类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9.如图,这是小康设计的一个纸风车的示意图,其中AB与CD的交点O在风车杆上.若∠A=∠B=56°,∠D=84°,则∠C的度数为 (
A.56°
B.64°
C.76°
D.84°
D
)A.56°
B.64°
C.76°
D.84°
答案
9.D
解析
【分析】
观察图形可知，AB与CD相交于点O，形成一组对顶角∠AOD和∠BOC，对顶角相等。同时△AOD和△BOC的内角和均为180°，我们可以利用三角形内角和定理，结合已知的∠A=∠B的条件，推导出∠C和∠D的关系，进而求出∠C的度数。
【解析】
在△AOD中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠D + ∠AOD = 180°，即∠AOD = 180° - ∠A - ∠D
在△BOC中，同理可得：
∠B + ∠C + ∠BOC = 180°，即∠BOC = 180° - ∠B - ∠C
∵ AB与CD交于点O，∠AOD和∠BOC是对顶角
∴ ∠AOD = ∠BOC
∴ 180° - ∠A - ∠D = 180° - ∠B - ∠C
化简得：∠A + ∠D = ∠B + ∠C
又
∵ ∠A = ∠B = 56°
∴ ∠C = ∠D
已知∠D = 84°，因此∠C = 84°
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是找到两个三角形中相等的对顶角，结合三角形内角和建立已知角和未知角的关系，无需计算中间角的度数即可快速得到结果，考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，AB与CD相交于点O，形成一组对顶角∠AOD和∠BOC，对顶角相等。同时△AOD和△BOC的内角和均为180°，我们可以利用三角形内角和定理，结合已知的∠A=∠B的条件，推导出∠C和∠D的关系，进而求出∠C的度数。
【解析】
在△AOD中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠D + ∠AOD = 180°，即∠AOD = 180° - ∠A - ∠D
在△BOC中，同理可得：
∠B + ∠C + ∠BOC = 180°，即∠BOC = 180° - ∠B - ∠C
∵ AB与CD交于点O，∠AOD和∠BOC是对顶角
∴ ∠AOD = ∠BOC
∴ 180° - ∠A - ∠D = 180° - ∠B - ∠C
化简得：∠A + ∠D = ∠B + ∠C
又
∵ ∠A = ∠B = 56°
∴ ∠C = ∠D
已知∠D = 84°，因此∠C = 84°
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是找到两个三角形中相等的对顶角，结合三角形内角和建立已知角和未知角的关系，无需计算中间角的度数即可快速得到结果，考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
10.如图，图1是一款小型手推升降机，图2是其平面示意图，其中$AB// CD$.经测量，$∠ A=25°$，$∠ CDE=110°$，则$∠ ADE$的度数为
85°
.答案
10.85°
解析
【分析】
本题可根据平行线的性质先求出相关角的度数，再结合角度和差关系求解。首先已知$AB// CD$，根据两直线平行内错角相等，可得到$∠ ADC$与$∠ A$相等，再观察图形可知$∠ ADE=∠ CDE-∠ ADC$，代入已知角度计算即可。
【解析】
解：$\because AB// CD$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ A=25°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ CDE=110°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE-∠ ADC=110°-25°=85°$。
【答案】
$85°$
【知识点】
平行线的性质，角度的和差计算
【点评】
本题结合生活中的升降机场景考查几何基础知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，是比较典型的基础几何应用题。
【难度系数】
0.85
本题可根据平行线的性质先求出相关角的度数，再结合角度和差关系求解。首先已知$AB// CD$，根据两直线平行内错角相等，可得到$∠ ADC$与$∠ A$相等，再观察图形可知$∠ ADE=∠ CDE-∠ ADC$，代入已知角度计算即可。
【解析】
解：$\because AB// CD$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ A=25°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ CDE=110°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE-∠ ADC=110°-25°=85°$。
【答案】
$85°$
【知识点】
平行线的性质，角度的和差计算
【点评】
本题结合生活中的升降机场景考查几何基础知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，是比较典型的基础几何应用题。
【难度系数】
0.85
11. 如图，AB=4 cm，BC=5 cm，AC=2 cm，将三角形ABC沿射线BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到三角形DEF，连接AD，则阴影部分的周长为
11
cm.答案
11.11
解析
【分析】
解题时先回忆平移的性质：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先根据平移性质写出各对应边的长度以及平移距离的等量关系，再将阴影部分的周长拆解为各段边的和，代入等量关系后会发现平移距离a被抵消，即可求出周长。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线BC方向平移a cm得到△DEF，
∴根据平移的性质可得：
AD=BE=a cm，DE=AB=4 cm，AC=2 cm，BC=5 cm，
∴EC = BC - BE = (5 - a) cm，
观察阴影部分的周长组成，将各段边拼接可得：
阴影部分周长 = AD + DE + AC + EC
代入各段长度得：
周长 = a + 4 + 2 + (5 - a) = 11 cm
【答案】
11
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质转化线段长度，无需知道平移距离a的具体数值，通过抵消未知量即可求出结果，重点考查对图形周长的拆分和转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平移的性质：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先根据平移性质写出各对应边的长度以及平移距离的等量关系，再将阴影部分的周长拆解为各段边的和，代入等量关系后会发现平移距离a被抵消，即可求出周长。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线BC方向平移a cm得到△DEF，
∴根据平移的性质可得：
AD=BE=a cm，DE=AB=4 cm，AC=2 cm，BC=5 cm，
∴EC = BC - BE = (5 - a) cm，
观察阴影部分的周长组成，将各段边拼接可得：
阴影部分周长 = AD + DE + AC + EC
代入各段长度得：
周长 = a + 4 + 2 + (5 - a) = 11 cm
【答案】
11
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质转化线段长度，无需知道平移距离a的具体数值，通过抵消未知量即可求出结果，重点考查对图形周长的拆分和转化能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$AF// CD$，$CB$平分$∠ ACD$，$BD$平分$∠ EBF$，且$BC⊥ BD$，下列结论：①$BC$平分$∠ ABE$；②$AC// BE$；③$∠ CBE+∠ D=90°$；④$∠ DEB=2∠ ABC$。其中正确的有
①②③④
（填序号）。答案
12.①②③④
解析
【分析】
解题时先结合已知的垂直、角平分线、平行条件，从角的等量关系入手，逐个验证4个结论：首先利用垂直得到互余的角对，再结合角平分线性质推导相等的角，再利用平行线的判定和性质验证其余结论即可。
【解析】
解：1. 验证结论①：
∵ $BC⊥BD$，
∴ $∠CBD=90°$，即$∠CBE + ∠EBD = 90°$，$∠ABC + ∠DBF = 180° - ∠CBD = 90°$。
∵ $BD$平分$∠EBF$，
∴ $∠EBD = ∠DBF$，
∴ 结合两个互余关系可得$∠CBE = ∠ABC$，即$BC$平分$∠ABE$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ $CB$平分$∠ACD$，
∴ $∠ACB = ∠BCD$。
∵ $AF//CD$，
∴ $∠BCD = ∠ABC$（两直线平行，内错角相等）。
由①得$∠ABC=∠CBE$，
∴ $∠ACB = ∠CBE$，
∴ $AC//BE$（内错角相等，两直线平行），故②正确。
3. 验证结论③：
∵ $AF//CD$，
∴ $∠D = ∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $BD$平分$∠EBF$，
∴ $∠DBF = ∠EBD$，
又
∵ $∠CBE + ∠EBD = 90°$，
∴ 代入得$∠CBE + ∠D = 90°$，故③正确。
4. 验证结论④：
∵ $AF//CD$，
∴ $∠DEB = ∠ABE$（两直线平行，内错角相等）。
由①得$BC$平分$∠ABE$，即$∠ABE = 2∠ABC$，
∴ $∠DEB = 2∠ABC$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用角的等量关系推导结论，需要熟练掌握平行线、角平分线、垂直的性质，解题时逐个验证结论即可，注意推导角的关系时不要混淆内错角、同位角的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知的垂直、角平分线、平行条件，从角的等量关系入手，逐个验证4个结论：首先利用垂直得到互余的角对，再结合角平分线性质推导相等的角，再利用平行线的判定和性质验证其余结论即可。
【解析】
解：1. 验证结论①：
∵ $BC⊥BD$，
∴ $∠CBD=90°$，即$∠CBE + ∠EBD = 90°$，$∠ABC + ∠DBF = 180° - ∠CBD = 90°$。
∵ $BD$平分$∠EBF$，
∴ $∠EBD = ∠DBF$，
∴ 结合两个互余关系可得$∠CBE = ∠ABC$，即$BC$平分$∠ABE$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ $CB$平分$∠ACD$，
∴ $∠ACB = ∠BCD$。
∵ $AF//CD$，
∴ $∠BCD = ∠ABC$（两直线平行，内错角相等）。
由①得$∠ABC=∠CBE$，
∴ $∠ACB = ∠CBE$，
∴ $AC//BE$（内错角相等，两直线平行），故②正确。
3. 验证结论③：
∵ $AF//CD$，
∴ $∠D = ∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $BD$平分$∠EBF$，
∴ $∠DBF = ∠EBD$，
又
∵ $∠CBE + ∠EBD = 90°$，
∴ 代入得$∠CBE + ∠D = 90°$，故③正确。
4. 验证结论④：
∵ $AF//CD$，
∴ $∠DEB = ∠ABE$（两直线平行，内错角相等）。
由①得$BC$平分$∠ABE$，即$∠ABE = 2∠ABC$，
∴ $∠DEB = 2∠ABC$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用角的等量关系推导结论，需要熟练掌握平行线、角平分线、垂直的性质，解题时逐个验证结论即可，注意推导角的关系时不要混淆内错角、同位角的对应关系。
【难度系数】
0.6
