13. 如图，$AD// BC$，$∠ BAD$的平分线交$CD$于点$E$，交$BC$的延长线于点$F$，且$∠ CEF=∠ F$。求证：$∠ B+∠ BCD=180°$。
请你将下面的证明过程补充完整：
证明：$\because AD// BC$，
$\therefore$ $=∠ F($ $)$.
$\because AF$平分$∠ BAD$，
$\therefore$ $=$ (角平分线的定义).
$\therefore ∠ BAF=∠ F($等量代换$)$.
$\because ∠ CEF=∠ F($已知$)$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CEF($等量代换$)$.
$\therefore$ $//$ ( ).
$\therefore ∠ B+∠ BCD=180°($ $)$.

13.∠DAF 两直线平行，内错角相等 ∠DAF ∠BAF AB CD 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补

【分析】
这是一道平行线性质与判定的综合证明题，解题思路如下：首先根据AD//BC的条件，利用平行线的性质得到相等的内错角；再结合角平分线的定义，通过等量代换得到角的等量关系；接着将已知的∠CEF=∠F代入，得到同位角相等，进而判定两条直线平行；最后利用平行线的性质推出同旁内角互补，即可得到要证明的结论。
【解析】
我们逐步补充证明过程：
1. 已知$AD// BC$，AD和BC被AF所截，∠DAF和∠F是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\boldsymbol{∠DAF}=∠F$。
2. 已知AF平分$∠BAD$，根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，因此$\boldsymbol{∠DAF}=\boldsymbol{∠BAF}$。
3. 经过前两步的等量代换得到$∠BAF=∠F$，结合已知$∠CEF=∠F$，再次等量代换得$∠BAF=∠CEF$，这两个角是AB、CD被AF所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出$\boldsymbol{AB}//\boldsymbol{CD}$。
4. 得到AB//CD后，AB和CD被BF所截，∠B和∠BCD是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠B+∠BCD=180°$。
【答案】
∠DAF；两直线平行，内错角相等；∠DAF；∠BAF；AB；CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关定理的基础应用题型，解题的关键是结合图形准确识别内错角、同位角、同旁内角，再结合已知条件逐步推导角的数量关系和直线的位置关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75

14. 如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一块直角三角尺AOB的直角顶点与点O重合，OA平分∠COE。
(1)求∠BOD的度数。
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒(0≤t≤40)。
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB？
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值。

14.解:(1)
∵∠COE=60°,OA平分∠COE,
∴∠AOC=30°.又
∵∠AOB=90°,
∴∠BOD=180°-30°-90°=60°.
(2)①分两种情况:Ⅰ.如图1,当OE平分∠AOB时,∠AOE=45°,即 9t+30-3t=45,解得t=2.5；
Ⅱ.如图2,当OF平分∠AOB时,∠AOF=45°,即9t-150-3t=45,解得t=32.5.
综上所述,当t=2.5 s或32.5 s时,直线EF平分∠AOB.
②t的值为12 s或36 s.

【分析】
(1) 求解第一问时，先利用角平分线的定义，由已知∠COE的度数求出∠AOC的度数，再结合平角为180°、直角∠AOB=90°，用平角减去∠AOC和∠AOB的度数就能得到∠BOD的度数。
(2) 求解第二问的动态问题时，需结合分类讨论思想：
① 直线EF平分∠AOB存在两种情况：一是OE在∠AOB内部平分∠AOB，二是OF在∠AOB内部平分∠AOB，分别根据两种情况的角度等量关系，结合两个图形的旋转速度列一元一次方程求解即可。
② 同理，直线EF平分∠BOD也分两种情况，对应列出角度方程求解即可得到t的值。
【解析】
(1)
∵∠COE=60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC = $\frac{1}{2}$∠COE = 30°，
又
∵∠AOB=90°，CD为直线，∠COD=180°，
∴∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠AOB = 180° - 30° - 90° = 60°。
(2) ① 分两种情况讨论：
Ⅰ. 当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，
已知三角尺每秒顺时针转3°，直线EF每秒顺时针转9°，初始∠AOE=30°，可列方程：
9t + 30 - 3t = 45
解得t=2.5；

Ⅱ. 当OF平分∠AOB时，∠AOF=45°，
初始∠AOF=180°-30°=150°，可列方程：
9t - 150 - 3t = 45
解得t=32.5。
综上，t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB。
② 分情况计算后得t的值为12s或36s。
【答案】
(1) ∠BOD的度数为60°；
(2) ① 当t=2.5 s或32.5 s时，直线EF平分∠AOB；
② t的值为12 s或36 s。
【知识点】
角平分线定义，角度计算，动态角问题
【点评】
本题结合静态角度计算和动态旋转场景考查角的相关性质，解题时需要用到分类讨论思想分析所有符合条件的位置情况，能够锻炼学生的逻辑思维和分析问题的能力，易错点是忽略另一种平分情况导致漏解。
【难度系数】
0.6