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13.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别是AB,DC上的动点,EF//BC,则AF+CE的最小值是
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
10
.（第13题图）（第14题图）
（第15题图）
答案
13.10
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是将两条线段的和转化为可求最短长度的折线模型。首先利用矩形性质可知EF为水平线段，E、F纵坐标相同，我们可以通过建立平面直角坐标系，用勾股定理表示出AF和CE的长度，再转化为将军饮马模型，利用对称点将折线和转化为两点间的线段长度求解。
【解析】
以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，根据AB=6，AD=4，可得各点坐标：A(0,6)，C(4,0)，D(4,6)。
因为EF//BC，BC为水平边，所以E、F纵坐标相等，设E(0,t)（0≤t≤6），则F(4,t)。
根据勾股定理：
$AF=\sqrt{(4-0)^2+(t-6)^2}=\sqrt{16+(6-t)^2}$
$CE=\sqrt{(0-4)^2+(t-0)^2}=\sqrt{16+t^2}$
则$AF+CE=\sqrt{t^2+4^2}+\sqrt{(6-t)^2+4^2}$，该式可看作x轴上动点$(t,0)$到点P(0,4)和点Q(6,4)的距离之和。
作点P关于x轴的对称点$P'(0,-4)$，根据两点之间线段最短，距离之和的最小值等于$P'Q$的长度：
$P'Q=\sqrt{(6-0)^2+[4-(-4)]^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
将军饮马模型、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题结合矩形性质考查最短路径的求解，解题关键是将两条线段的和转化为经典的将军饮马模型，通过作对称点将折线和转化为两点间的线段长度，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类问题，解题核心是将两条线段的和转化为可求最短长度的折线模型。首先利用矩形性质可知EF为水平线段，E、F纵坐标相同，我们可以通过建立平面直角坐标系，用勾股定理表示出AF和CE的长度，再转化为将军饮马模型，利用对称点将折线和转化为两点间的线段长度求解。
【解析】
以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，根据AB=6，AD=4，可得各点坐标：A(0,6)，C(4,0)，D(4,6)。
因为EF//BC，BC为水平边，所以E、F纵坐标相等，设E(0,t)（0≤t≤6），则F(4,t)。
根据勾股定理：
$AF=\sqrt{(4-0)^2+(t-6)^2}=\sqrt{16+(6-t)^2}$
$CE=\sqrt{(0-4)^2+(t-0)^2}=\sqrt{16+t^2}$
则$AF+CE=\sqrt{t^2+4^2}+\sqrt{(6-t)^2+4^2}$，该式可看作x轴上动点$(t,0)$到点P(0,4)和点Q(6,4)的距离之和。
作点P关于x轴的对称点$P'(0,-4)$，根据两点之间线段最短，距离之和的最小值等于$P'Q$的长度：
$P'Q=\sqrt{(6-0)^2+[4-(-4)]^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
将军饮马模型、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题结合矩形性质考查最短路径的求解，解题关键是将两条线段的和转化为经典的将军饮马模型，通过作对称点将折线和转化为两点间的线段长度，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
14.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB$的长为4，射线$CD// AB$，$E$为射线$CD$上一点，过点$E$作$EF⊥ BC$于点$F$，连接$AE$，点$M$为$AE$的中点，则$MF$的最小值为________。
答案
14.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：首先根据Rt△ABC的已知角度和边长求出各顶点坐标，再结合CD//AB得到射线CD的解析式，设出E点坐标后推导得出F点和AE中点M的坐标，最后用两点距离公式写出MF的表达式，利用完全平方的非负性求最小值即可得到结果。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，令点C为原点(0,0)，BC在x轴上，AC在y轴上。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2，BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$，
可得A(0,2)，B(2$\sqrt{3}$,0)。
∵CD//AB，直线AB的斜率为$\frac{0-2}{2\sqrt{3}-0}$=$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，且CD过点C(0,0)，
∴射线CD的解析式为$y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$（$x≥0$）。
设E点坐标为$(a, -\frac{a}{\sqrt{3}})$（$a≥0$），
∵EF⊥BC，BC在x轴上，
∴F点横坐标与E相同，纵坐标为0，即F(a, 0)。
∵M是AE的中点，根据中点坐标公式得M的坐标为$(\frac{0+a}{2}, \frac{2-\frac{a}{\sqrt{3}}}{2})$，即$(\frac{a}{2}, 1-\frac{a}{2\sqrt{3}})$。
由两点距离公式得：
$MF=\sqrt{(a-\frac{a}{2})^2+(0-(1-\frac{a}{2\sqrt{3}}))^2}$
$=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2\sqrt{3}}-1)^2}$
$=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1}$
$=\sqrt{\frac{a^2}{3}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1}$
对根号内的式子配方：
$\frac{a^2}{3}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1=\frac{1}{3}(a^2-\sqrt{3}a)+1=\frac{1}{3}(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{3}{4}$
根据完全平方的非负性，$(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2≥0$，因此当$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，根号内的式子取得最小值$\frac{3}{4}$，
∴$MF_{min}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，平行线性质，完全平方的非负性
【点评】
本题是典型的几何最值问题，通过建立坐标系将几何问题代数化，可简化思考过程，解题核心是正确表示出各点坐标，再利用完全平方的非负性求最值，也可结合中位线、垂线段最短等几何性质求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：首先根据Rt△ABC的已知角度和边长求出各顶点坐标，再结合CD//AB得到射线CD的解析式，设出E点坐标后推导得出F点和AE中点M的坐标，最后用两点距离公式写出MF的表达式，利用完全平方的非负性求最小值即可得到结果。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，令点C为原点(0,0)，BC在x轴上，AC在y轴上。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2，BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$，
可得A(0,2)，B(2$\sqrt{3}$,0)。
∵CD//AB，直线AB的斜率为$\frac{0-2}{2\sqrt{3}-0}$=$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，且CD过点C(0,0)，
∴射线CD的解析式为$y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$（$x≥0$）。
设E点坐标为$(a, -\frac{a}{\sqrt{3}})$（$a≥0$），
∵EF⊥BC，BC在x轴上，
∴F点横坐标与E相同，纵坐标为0，即F(a, 0)。
∵M是AE的中点，根据中点坐标公式得M的坐标为$(\frac{0+a}{2}, \frac{2-\frac{a}{\sqrt{3}}}{2})$，即$(\frac{a}{2}, 1-\frac{a}{2\sqrt{3}})$。
由两点距离公式得：
$MF=\sqrt{(a-\frac{a}{2})^2+(0-(1-\frac{a}{2\sqrt{3}}))^2}$
$=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2\sqrt{3}}-1)^2}$
$=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1}$
$=\sqrt{\frac{a^2}{3}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1}$
对根号内的式子配方：
$\frac{a^2}{3}-\frac{a}{\sqrt{3}}+1=\frac{1}{3}(a^2-\sqrt{3}a)+1=\frac{1}{3}(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{3}{4}$
根据完全平方的非负性，$(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2≥0$，因此当$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，根号内的式子取得最小值$\frac{3}{4}$，
∴$MF_{min}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，平行线性质，完全平方的非负性
【点评】
本题是典型的几何最值问题，通过建立坐标系将几何问题代数化，可简化思考过程，解题核心是正确表示出各点坐标，再利用完全平方的非负性求最值，也可结合中位线、垂线段最短等几何性质求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
15.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD＞BC,BC=6 cm,点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,则
2
s后四边形ABQP为平行四边形.答案
15.2
解析
【分析】
要判断四边形ABQP为平行四边形，已知AD//BC，可得AP//BQ，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，只需满足AP=BQ即可。我们设运动时间为t秒，分别用含t的式子表示出AP和BQ的长度，再列方程求解即可。
【解析】
设t秒后四边形ABQP为平行四边形。
∵AD//BC，
∴AP//BQ，
要使四边形ABQP是平行四边形，需满足AP=BQ。
由题意得：AP的长度为1×t = t（cm），
点Q的运动路程CQ=2×t = 2t（cm），
∴BQ = BC - CQ = 6 - 2t（cm），
列方程：t = 6 - 2t，
移项得：3t = 6，
解得：t = 2。
验证：t=2时，AP=2cm，BQ=6-4=2cm，AP=BQ且AP//BQ，符合平行四边形判定条件。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于几何动点基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，根据动点的运动方向正确表示出对应线段的长度，找到等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
要判断四边形ABQP为平行四边形，已知AD//BC，可得AP//BQ，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，只需满足AP=BQ即可。我们设运动时间为t秒，分别用含t的式子表示出AP和BQ的长度，再列方程求解即可。
【解析】
设t秒后四边形ABQP为平行四边形。
∵AD//BC，
∴AP//BQ，
要使四边形ABQP是平行四边形，需满足AP=BQ。
由题意得：AP的长度为1×t = t（cm），
点Q的运动路程CQ=2×t = 2t（cm），
∴BQ = BC - CQ = 6 - 2t（cm），
列方程：t = 6 - 2t，
移项得：3t = 6，
解得：t = 2。
验证：t=2时，AP=2cm，BQ=6-4=2cm，AP=BQ且AP//BQ，符合平行四边形判定条件。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于几何动点基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，根据动点的运动方向正确表示出对应线段的长度，找到等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
16.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,且∠BAD,∠ADC的平分线AE,DF分别交BC于点E,F.若EF=1,AB=4,则AD的长为
(第16题图)
(第17题图)
(第18题图)
7
.(第16题图)
(第17题图)
(第18题图)
答案
16.7
解析
【分析】
首先由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，可得AD=BC、AD//BC、AB=CD的结论。再结合角平分线定义和平行线的性质，可推导出△ABE和△DCF均为等腰三角形，得到BE、CF的长度。最后根据BE、CF与BC的重叠部分为EF，通过线段和差关系即可求出AD的长度。
【解析】
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=4，AD//BC。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=4。
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CF=CD=4。
由线段和差关系可知：BE + CF = BC + EF，又BC=AD，
代入数值：4 + 4 = AD + 1，
解得AD=7。
【答案】
7
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是掌握“平行线+角平分线”可推出等腰三角形这一常用模型，结合平行四边形对边相等的性质，通过线段和差关系即可求解，解题时注意观察线段的重叠部分避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，可得AD=BC、AD//BC、AB=CD的结论。再结合角平分线定义和平行线的性质，可推导出△ABE和△DCF均为等腰三角形，得到BE、CF的长度。最后根据BE、CF与BC的重叠部分为EF，通过线段和差关系即可求出AD的长度。
【解析】
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=4，AD//BC。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=4。
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CF=CD=4。
由线段和差关系可知：BE + CF = BC + EF，又BC=AD，
代入数值：4 + 4 = AD + 1，
解得AD=7。
【答案】
7
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是掌握“平行线+角平分线”可推出等腰三角形这一常用模型，结合平行四边形对边相等的性质，通过线段和差关系即可求解，解题时注意观察线段的重叠部分避免计算错误。
【难度系数】
0.7
17.如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$∠ A=30°$，$AC=4$，$E$为$AC$的中点，$F$为边$AB$上的一个动点，将$△ ABC$沿$EF$折叠，点$A$的对应点为$A'$，当以$E$，$F$，$A'$，$C$为顶点的四边形是平行四边形时，线段$AF$的长为
2 或 $2\sqrt{3}$
。答案
17.2 或 $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中∠A=30°，AC=4，E是AC中点，故AE=EC=2；由折叠的性质可得△AEF≌△A'EF，因此A'E=AE=2，AF=A'F，对应角相等。要使以E、F、A'、C为顶点的四边形是平行四边形，需分两种情况讨论：①EC为平行四边形的边，此时EC与A'F平行且相等；②EC为平行四边形的对角线，此时EF与A'C平行且相等。两种情况分别结合角度关系和直角三角形性质计算AF的长度即可。
【解析】
∵E为AC中点，AC=4，
∴AE=EC=2。
由折叠的性质可得：A'E=AE=2，AF=A'F，∠AEF=∠A'EF，∠EA'F=∠A=30°。
分两种情况讨论：
1. 当EC为平行四边形的边时，四边形ECA'F为平行四边形，此时EC//A'F且EC=A'F。
∵EC=2，AF=A'F，
∴AF=2。
2. 当EC为平行四边形的对角线时，四边形EFA'C为平行四边形，此时EF//A'C，A'E=CF=2。
可得∠AEF=120°，在△AEF中，∠A=30°，∠AEF=120°，
∴∠AFE=180°-30°-120°=30°，即∠A=∠AFE，
∴EF=AE=2。
过E作EG⊥AB于G，在Rt△AEG中，∠A=30°，AE=2，
∴EG=1/2·AE=1，AG=√(AE²-EG²)=√3。
在Rt△EFG中，∠EFG=30°，EF=2，
∴GF=√(EF²-EG²)=√3。
∴AF=AG+GF=√3+√3=2√3。
综上，AF的长为2或2√3。
【答案】
2或$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠变换与平行四边形、直角三角形的综合题，解题的关键是根据平行四边形的构成合理分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后图形全等的性质转化边和角的关系。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：△ABC中∠A=30°，AC=4，E是AC中点，故AE=EC=2；由折叠的性质可得△AEF≌△A'EF，因此A'E=AE=2，AF=A'F，对应角相等。要使以E、F、A'、C为顶点的四边形是平行四边形，需分两种情况讨论：①EC为平行四边形的边，此时EC与A'F平行且相等；②EC为平行四边形的对角线，此时EF与A'C平行且相等。两种情况分别结合角度关系和直角三角形性质计算AF的长度即可。
【解析】
∵E为AC中点，AC=4，
∴AE=EC=2。
由折叠的性质可得：A'E=AE=2，AF=A'F，∠AEF=∠A'EF，∠EA'F=∠A=30°。
分两种情况讨论：
1. 当EC为平行四边形的边时，四边形ECA'F为平行四边形，此时EC//A'F且EC=A'F。
∵EC=2，AF=A'F，
∴AF=2。
2. 当EC为平行四边形的对角线时，四边形EFA'C为平行四边形，此时EF//A'C，A'E=CF=2。
可得∠AEF=120°，在△AEF中，∠A=30°，∠AEF=120°，
∴∠AFE=180°-30°-120°=30°，即∠A=∠AFE，
∴EF=AE=2。
过E作EG⊥AB于G，在Rt△AEG中，∠A=30°，AE=2，
∴EG=1/2·AE=1，AG=√(AE²-EG²)=√3。
在Rt△EFG中，∠EFG=30°，EF=2，
∴GF=√(EF²-EG²)=√3。
∴AF=AG+GF=√3+√3=2√3。
综上，AF的长为2或2√3。
【答案】
2或$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质，平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠变换与平行四边形、直角三角形的综合题，解题的关键是根据平行四边形的构成合理分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用折叠前后图形全等的性质转化边和角的关系。
【难度系数】
0.6
18.如图,在四边形ABCD中,AD=CD=4,∠C=∠ADC=90°,点E,F在边BC上,且EF=2.连接AE,DF,则四边形AEFD周长的最小值为
$2\sqrt{17}+6$
.答案
18.$2\sqrt{17}+6$
解析
【分析】
四边形AEFD的周长为AE+EF+FD+AD，其中AD=4、EF=2为固定值，因此求周长最小值的核心是求AE+FD的最小值。我们可以通过平移构造平行四边形，将FD转化为和AE共端点的线段，再结合轴对称的将军饮马模型，利用两点之间线段最短求出两条线段和的最小值，最后加上定值部分即可得到周长最小值。
【解析】
1. 确定定值部分：
已知AD=4，EF=2，因此四边形AEFD的周长=AE+EF+FD+AD=(AE+FD)+6，只需计算AE+FD的最小值即可。
2. 平移构造平行四边形：
由∠ADC=∠C=90°可知AD//BC，将点D向左平移2个单位得到点D'，则DD'=EF=2且DD'//EF，因此四边形DD'EF是平行四边形，可得FD=D'E。
3. 轴对称转化线段：
作点A关于BC所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质可得AE=A'E，因此AE+FD=A'E+D'E。
4. 计算最短距离：
根据两点之间线段最短，A'E+D'E的最小值为线段A'D'的长度。由AD=CD=4可知，A'与D'的水平距离为2，竖直距离为4+4=8，由勾股定理得：
$A'D'=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{4+64}=2\sqrt{17}$
即AE+FD的最小值为$2\sqrt{17}$。
5. 计算周长最小值：
四边形AEFD周长最小值为$2\sqrt{17}+6$。
【答案】
$2\sqrt{17}+6$
【知识点】
将军饮马模型，平行四边形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题关键是通过平移转化线段，将双动点的最短路径问题转化为经典的将军饮马模型，再用勾股定理计算最短距离，对转化思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
四边形AEFD的周长为AE+EF+FD+AD，其中AD=4、EF=2为固定值，因此求周长最小值的核心是求AE+FD的最小值。我们可以通过平移构造平行四边形，将FD转化为和AE共端点的线段，再结合轴对称的将军饮马模型，利用两点之间线段最短求出两条线段和的最小值，最后加上定值部分即可得到周长最小值。
【解析】
1. 确定定值部分：
已知AD=4，EF=2，因此四边形AEFD的周长=AE+EF+FD+AD=(AE+FD)+6，只需计算AE+FD的最小值即可。
2. 平移构造平行四边形：
由∠ADC=∠C=90°可知AD//BC，将点D向左平移2个单位得到点D'，则DD'=EF=2且DD'//EF，因此四边形DD'EF是平行四边形，可得FD=D'E。
3. 轴对称转化线段：
作点A关于BC所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质可得AE=A'E，因此AE+FD=A'E+D'E。
4. 计算最短距离：
根据两点之间线段最短，A'E+D'E的最小值为线段A'D'的长度。由AD=CD=4可知，A'与D'的水平距离为2，竖直距离为4+4=8，由勾股定理得：
$A'D'=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{4+64}=2\sqrt{17}$
即AE+FD的最小值为$2\sqrt{17}$。
5. 计算周长最小值：
四边形AEFD周长最小值为$2\sqrt{17}+6$。
【答案】
$2\sqrt{17}+6$
【知识点】
将军饮马模型，平行四边形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题关键是通过平移转化线段，将双动点的最短路径问题转化为经典的将军饮马模型，再用勾股定理计算最短距离，对转化思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
19.如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF。给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF。其中所有正确结论的序号是
①③④
。答案
19.①③④
解析
【分析】
我们需要逐个验证4个结论：首先利用等腰直角三角形边相等、特殊角为45°/90°的性质，通过角的和差关系验证结论①；再通过边角边判定证明△DEF≌△BEA，验证结论③；接着结合全等得到的角的关系，判断②的正误；最后通过全等、平行四边形判定等知识验证结论④，最终选出所有正确结论。
【解析】
1. 验证结论①：
∵△BAC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=90°，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∴∠DBE - ∠ABE = ∠ABC - ∠ABE，即∠DBA=∠EBC，故①正确。
2. 验证结论③：
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠DEB=∠AEF=90°，
∴DE=BE，AE=EF，
∵∠DEB + ∠BEF = ∠AEF + ∠BEF，即∠DEF=∠BEA，
在△DEF和△BEA中：
$\{\begin{array}{l}DE=BE\\ ∠ DEF=∠ BEA\\ EF=AE\end{array} $
∴△DEF≌△BEA（SAS），
∴DF=AB，故③正确。
3. 验证结论②：
由△DEF≌△BEA得∠EDF=∠EBA，
在△BHE中，∠BHE=180°-∠DEB-∠EBA=90°-∠EBA，
∠EGF是△AGD的外角，∠EGF=∠EDF + ∠DAG=∠EBA + ∠DAG，
仅当∠DAG=90°-2∠EBA时两角相等，该关系不是恒成立，故②错误。
4. 验证结论④：
由△DEF≌△BEA可得∠ADB=∠FBE，结合∠DBA=∠EBC，可推导得DF平行且等于AC，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要逐一推导每个结论，解题时要充分挖掘等腰直角三角形的边角特征，灵活运用全等、平行四边形相关知识进行推理，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们需要逐个验证4个结论：首先利用等腰直角三角形边相等、特殊角为45°/90°的性质，通过角的和差关系验证结论①；再通过边角边判定证明△DEF≌△BEA，验证结论③；接着结合全等得到的角的关系，判断②的正误；最后通过全等、平行四边形判定等知识验证结论④，最终选出所有正确结论。
【解析】
1. 验证结论①：
∵△BAC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=90°，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∴∠DBE - ∠ABE = ∠ABC - ∠ABE，即∠DBA=∠EBC，故①正确。
2. 验证结论③：
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠DEB=∠AEF=90°，
∴DE=BE，AE=EF，
∵∠DEB + ∠BEF = ∠AEF + ∠BEF，即∠DEF=∠BEA，
在△DEF和△BEA中：
$\{\begin{array}{l}DE=BE\\ ∠ DEF=∠ BEA\\ EF=AE\end{array} $
∴△DEF≌△BEA（SAS），
∴DF=AB，故③正确。
3. 验证结论②：
由△DEF≌△BEA得∠EDF=∠EBA，
在△BHE中，∠BHE=180°-∠DEB-∠EBA=90°-∠EBA，
∠EGF是△AGD的外角，∠EGF=∠EDF + ∠DAG=∠EBA + ∠DAG，
仅当∠DAG=90°-2∠EBA时两角相等，该关系不是恒成立，故②错误。
4. 验证结论④：
由△DEF≌△BEA可得∠ADB=∠FBE，结合∠DBA=∠EBC，可推导得DF平行且等于AC，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要逐一推导每个结论，解题时要充分挖掘等腰直角三角形的边角特征，灵活运用全等、平行四边形相关知识进行推理，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
