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20. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E在边AB上,
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
①
.请从条件“①∠B=∠AED；②AE=BE,AE=CD”中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
答案
20.(1)解:选择①.
证明:
∵∠B=∠AED，
∴DE//CB，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明:
∵AE=BE,AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形。
(2)解:由(1)得DE=BC=10，
∵AD⊥AB,AD=8，
∴AE=$\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
证明:
∵∠B=∠AED，
∴DE//CB，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明:
∵AE=BE,AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形。
(2)解:由(1)得DE=BC=10，
∵AD⊥AB,AD=8，
∴AE=$\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)若选条件①，先由同位角相等判定DE//BC，结合已知AB//CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；若选条件②，先由等量代换得到CD=BE，结合AB//CD可得CD和BE平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。(2)首先根据平行四边形对边相等得到DE的长度，再由AD⊥AB可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
选择条件①：
∵∠B=∠AED，
∴DE//CB（同位角相等，两直线平行），
又
∵AB//CD，
∴四边形BCDE两组对边分别平行，即四边形BCDE为平行四边形。
选择条件②：
∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE（等量代换），
又
∵AB//CD，即CD//BE，
∴CD与BE平行且相等，即四边形BCDE为平行四边形。
(2) 求AE的长：
由(1)得四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=10（平行四边形对边相等），
∵AD⊥AB，
∴∠DAE=90°，△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，AD=8，DE=10，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
(1) 所选条件对应证明过程见解析，四边形BCDE为平行四边形成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的判定，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行四边形的判定方法和勾股定理的应用，两种可选条件分别对应平行四边形两类常见的判定思路，解题时需结合已知条件灵活选用判定规则，第二问通过平行四边形的性质转化边长，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1)若选条件①，先由同位角相等判定DE//BC，结合已知AB//CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；若选条件②，先由等量代换得到CD=BE，结合AB//CD可得CD和BE平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。(2)首先根据平行四边形对边相等得到DE的长度，再由AD⊥AB可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
选择条件①：
∵∠B=∠AED，
∴DE//CB（同位角相等，两直线平行），
又
∵AB//CD，
∴四边形BCDE两组对边分别平行，即四边形BCDE为平行四边形。
选择条件②：
∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE（等量代换），
又
∵AB//CD，即CD//BE，
∴CD与BE平行且相等，即四边形BCDE为平行四边形。
(2) 求AE的长：
由(1)得四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=10（平行四边形对边相等），
∵AD⊥AB，
∴∠DAE=90°，△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，AD=8，DE=10，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
(1) 所选条件对应证明过程见解析，四边形BCDE为平行四边形成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的判定，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行四边形的判定方法和勾股定理的应用，两种可选条件分别对应平行四边形两类常见的判定思路，解题时需结合已知条件灵活选用判定规则，第二问通过平行四边形的性质转化边长，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
21. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB＞2AD$,点$E,F$分别在边$AB,CD$上.将$△ ADF$沿$AF$折叠,点$D$的对应点$G$恰好落在对角线$AC$上;将$△ CBE$沿$CE$折叠,点$B$的对应点$H$恰好也落在对角线$AC$上.连接$GE$,$FH$.求证:
(1)$△ AEH≌△ CFG$;
(2)四边形$EGFH$为平行四边形.
(1)$△ AEH≌△ CFG$;
(2)四边形$EGFH$为平行四边形.
答案
21.证明:(1)
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD = BC，∠B = ∠D = 90°，
AB//CD，
∴∠EAH=∠FCG，
由折叠可得，AG = AD，CH = CB，
∠CHE=∠B=90°，
∠AGF=∠D=90°，
∴CH = AG，∠AHE = ∠CGF = 90°,
∴AH=CG，
在$△AEH$ 和$△CFG$ 中，
$\begin{cases}∠ EAH=∠ FCG, \\AH=CG, \\∠ AHE=∠ CGF=90°,\end{cases}$
∴$△AEH≌△CFG$(ASA)。
(2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°，
$△AEH≌△CFG$，
∴EH//FG,EH=FG，
∴四边形 EGFH 为平行四边形。
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD = BC，∠B = ∠D = 90°，
AB//CD，
∴∠EAH=∠FCG，
由折叠可得，AG = AD，CH = CB，
∠CHE=∠B=90°，
∠AGF=∠D=90°，
∴CH = AG，∠AHE = ∠CGF = 90°,
∴AH=CG，
在$△AEH$ 和$△CFG$ 中，
$\begin{cases}∠ EAH=∠ FCG, \\AH=CG, \\∠ AHE=∠ CGF=90°,\end{cases}$
∴$△AEH≌△CFG$(ASA)。
(2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°，
$△AEH≌△CFG$，
∴EH//FG,EH=FG，
∴四边形 EGFH 为平行四边形。
解析
【分析】
要证明(1)中两个三角形全等，首先结合矩形性质得到边、角的基础关系，再利用折叠的性质得到相等的边和角，推导得到全等所需的三组条件，用ASA判定即可；证明(2)中四边形是平行四边形，可借助(1)的全等结论，得到一组对边平行且相等，即可判定平行四边形。
具体思考步骤：①先利用矩形性质，得到对边相等、对角为直角、对边平行，可推出∠EAH=∠FCG，AD=BC；②根据折叠的性质，折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AG=AD、CH=BC，∠AGF=∠D=90°，∠CHE=∠B=90°，进而推出AH=CG，∠AHE=∠CGF=90°，凑齐ASA全等的三组条件；③由全等结论可得EH=FG，再结合EH、FG都垂直于AC，可得EH//FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD = BC$，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AB// CD$，
∴$∠ EAH=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：$AG = AD$，$CH = CB$，$∠ CHE=∠ B=90°$，$∠ AGF=∠ D=90°$，
∴$CH = AG$，$∠ AHE = 180°-∠ CHE=90°$，$∠ CGF = 180°-∠ AGF=90°$，即$∠ AHE=∠ CGF=90°$，
∴$AG - GH = CH - GH$，即$AH=CG$。
在$△ AEH$ 和$△ CFG$ 中，
$\begin{cases}∠ EAH=∠ FCG, \\AH=CG, \\∠ AHE=∠ CGF=90°,\end{cases}$
∴$△ AEH≌△ CFG$(ASA)。
(2) 证明：
由(1)可知$∠ AHE=∠ CGF=90°$，且$△ AEH≌△ CFG$，
∴$EH=FG$，
又
∵$∠ AHE=∠ CGF=90°$，
∴$EH⊥ AC$，$FG⊥ AC$，
∴$EH// FG$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴EH与FG平行且相等，
∴四边形$EGFH$为平行四边形。
【答案】
(1) $△ AEH≌△ CFG$，得证；
(2) 四边形$EGFH$为平行四边形，得证。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练掌握折叠变换的性质，结合矩形的性质推导全等的判定条件，再利用全等三角形的性质得到平行四边形的判定依据，整体逻辑链条清晰，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明(1)中两个三角形全等，首先结合矩形性质得到边、角的基础关系，再利用折叠的性质得到相等的边和角，推导得到全等所需的三组条件，用ASA判定即可；证明(2)中四边形是平行四边形，可借助(1)的全等结论，得到一组对边平行且相等，即可判定平行四边形。
具体思考步骤：①先利用矩形性质，得到对边相等、对角为直角、对边平行，可推出∠EAH=∠FCG，AD=BC；②根据折叠的性质，折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AG=AD、CH=BC，∠AGF=∠D=90°，∠CHE=∠B=90°，进而推出AH=CG，∠AHE=∠CGF=90°，凑齐ASA全等的三组条件；③由全等结论可得EH=FG，再结合EH、FG都垂直于AC，可得EH//FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD = BC$，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AB// CD$，
∴$∠ EAH=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：$AG = AD$，$CH = CB$，$∠ CHE=∠ B=90°$，$∠ AGF=∠ D=90°$，
∴$CH = AG$，$∠ AHE = 180°-∠ CHE=90°$，$∠ CGF = 180°-∠ AGF=90°$，即$∠ AHE=∠ CGF=90°$，
∴$AG - GH = CH - GH$，即$AH=CG$。
在$△ AEH$ 和$△ CFG$ 中，
$\begin{cases}∠ EAH=∠ FCG, \\AH=CG, \\∠ AHE=∠ CGF=90°,\end{cases}$
∴$△ AEH≌△ CFG$(ASA)。
(2) 证明：
由(1)可知$∠ AHE=∠ CGF=90°$，且$△ AEH≌△ CFG$，
∴$EH=FG$，
又
∵$∠ AHE=∠ CGF=90°$，
∴$EH⊥ AC$，$FG⊥ AC$，
∴$EH// FG$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴EH与FG平行且相等，
∴四边形$EGFH$为平行四边形。
【答案】
(1) $△ AEH≌△ CFG$，得证；
(2) 四边形$EGFH$为平行四边形，得证。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练掌握折叠变换的性质，结合矩形的性质推导全等的判定条件，再利用全等三角形的性质得到平行四边形的判定依据，整体逻辑链条清晰，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
