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22. 如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别是BC,AC边上的一点(点D不与端点重合),且BD＜CD,BD=CE,连接AD,BE.
(1)求证:$△ ABD ≌ △ BCE$.
(2)将$△ ABD$沿AB翻折,得到$△ ABF$.在AD上取一点O,使$∠ FOD = ∠ BAC$,延长FO交AC于点P.
①求证:四边形BEPF是平行四边形.
②若$BD=\frac{2}{5}BC$,试求线段AD和CP之间的数量关系.
(1)求证:$△ ABD ≌ △ BCE$.
(2)将$△ ABD$沿AB翻折,得到$△ ABF$.在AD上取一点O,使$∠ FOD = ∠ BAC$,延长FO交AC于点P.
①求证:四边形BEPF是平行四边形.
②若$BD=\frac{2}{5}BC$,试求线段AD和CP之间的数量关系.
答案
22.(1)证明:
∵△ABC 为等边三角形，
BD=CE，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°，
在△ABD 和△BCE 中，
$\begin{cases}BD=CE, \\∠ ABC=∠ C=60°, \\AB=BC,\end{cases}$
∴$△ABD≌△BCE$(SAS)。
(2)①证明:如图，记AD,BE 的交点为K，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AKE = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠CBE = 60°,∠FOD = ∠BAC=60°，
∴∠FOD=∠AKE，
∴FP//BE，
由对折可得 AF = AD，∠ABD = ∠ABF=60°，
∵∠C=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF//AC，
∴四边形 BEPF 是平行四边形。
②
∵△ABC 为等边三角形；
∴设AB=BC=AC=5 m，
∵$BD=\frac{2}{5}BC$，
∴设BD=2m,CD=3m，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴CE=BD=2m，
由对折可得 BF=BD=2m，
∵四边形 BEPF 是平行四边形，
∴PE=BF=2m，
∴CP=4m。
如图，过点A 作AG⊥BC 于点G，
而AB=AC=BC=5m，
∴BG=CG=2.5m，
∴DG=0.5m,$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}m$，
∴$AD=\sqrt{AG^2+DG^2}=\sqrt{19}m$，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{\sqrt{19}m}{4m}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，
∴$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD≌△BCE，首先回忆等边三角形的性质，可得AB=BC、∠ABC=∠C=60°，再结合题干给出的BD=CE，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) ①要证四边形BEPF是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由(1)的全等结论推导角的关系，得出∠AKE=∠BAC=60°，结合已知∠FOD=∠BAC，可证FP//BE；再根据翻折的性质得到∠ABF=∠ABD=60°，推导得∠FBC+∠C=180°，可证BF//AC（即BF//PE），两组对边分别平行即可判定为平行四边形。
②求AD和CP的数量关系，可采用设参数的方法简化计算：先设BC长度为5m，根据BD与BC的比例、全等和平行四边形的性质求出CP的长度，再过A作BC的垂线，利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理求出AD的长度，最终计算二者比值即可得到数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又
∵BD=CE，
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}BD=CE, \\∠ABC=∠C, \\AB=BC,\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS）。
(2) ①证明：如图，记AD,BE的交点为K，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AKE = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠CBE = ∠ABC = 60°，
又
∵∠FOD = ∠BAC=60°，
∴∠FOD=∠AKE，
∴FP//BE，
由翻折的性质可得：∠ABF=∠ABD=60°，
∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF//AC，即BF//PE，
∴四边形BEPF是平行四边形。
②解：设等边△ABC的边长AB=BC=AC=5m，
∵$BD=\frac{2}{5}BC$，
∴BD=2m，CD=BC-BD=3m，
∵△ABD≌△BCE，
∴CE=BD=2m，
由翻折可得BF=BD=2m，
∵四边形BEPF是平行四边形，
∴PE=BF=2m，
∴CP=CE+PE=2m+2m=4m。
如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=2.5m，
∴DG=BG-BD=2.5m-2m=0.5m，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{(5m)^2-(2.5m)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}m$，
在Rt△AGD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AG^2+DG^2}=\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{2}m)^2+(0.5m)^2}=\sqrt{19}m$，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{\sqrt{19}m}{4m}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，即$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$。
【答案】
22.(1)证明:
∵△ABC 为等边三角形，
BD=CE，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°，
在△ABD 和△BCE 中，
$\begin{cases}BD=CE, \\∠ ABC=∠ C=60°, \\AB=BC,\end{cases}$
∴$△ABD≌△BCE$(SAS)。
(2)①证明:如图，记AD,BE 的交点为K，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AKE = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠CBE = 60°,∠FOD = ∠BAC=60°，
∴∠FOD=∠AKE，
∴FP//BE，
由对折可得 AF = AD，∠ABD = ∠ABF=60°，
∵∠C=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF//AC，
∴四边形 BEPF 是平行四边形。
②
∵△ABC 为等边三角形；
∴设AB=BC=AC=5 m，
∵$BD=\frac{2}{5}BC$，
∴设BD=2m,CD=3m，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴CE=BD=2m，
由对折可得 BF=BD=2m，
∵四边形 BEPF 是平行四边形，
∴PE=BF=2m，
∴CP=4m。
如图，过点A 作AG⊥BC 于点G，
而AB=AC=BC=5m，
∴BG=CG=2.5m，
∴DG=0.5m,$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}m$，
∴$AD=\sqrt{AG^2+DG^2}=\sqrt{19}m$，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{\sqrt{19}m}{4m}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，
∴$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，围绕等边三角形展开，依次考查了全等证明、平行四边形判定和线段数量关系求解，解题时要灵活运用翻折的性质转化边角关系，求线段比值时设参数的方法可大幅简化计算，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明△ABD≌△BCE，首先回忆等边三角形的性质，可得AB=BC、∠ABC=∠C=60°，再结合题干给出的BD=CE，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) ①要证四边形BEPF是平行四边形，需证两组对边分别平行：首先由(1)的全等结论推导角的关系，得出∠AKE=∠BAC=60°，结合已知∠FOD=∠BAC，可证FP//BE；再根据翻折的性质得到∠ABF=∠ABD=60°，推导得∠FBC+∠C=180°，可证BF//AC（即BF//PE），两组对边分别平行即可判定为平行四边形。
②求AD和CP的数量关系，可采用设参数的方法简化计算：先设BC长度为5m，根据BD与BC的比例、全等和平行四边形的性质求出CP的长度，再过A作BC的垂线，利用等边三角形三线合一的性质和勾股定理求出AD的长度，最终计算二者比值即可得到数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又
∵BD=CE，
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}BD=CE, \\∠ABC=∠C, \\AB=BC,\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS）。
(2) ①证明：如图，记AD,BE的交点为K，
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AKE = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠CBE = ∠ABC = 60°，
又
∵∠FOD = ∠BAC=60°，
∴∠FOD=∠AKE，
∴FP//BE，
由翻折的性质可得：∠ABF=∠ABD=60°，
∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF//AC，即BF//PE，
∴四边形BEPF是平行四边形。
②解：设等边△ABC的边长AB=BC=AC=5m，
∵$BD=\frac{2}{5}BC$，
∴BD=2m，CD=BC-BD=3m，
∵△ABD≌△BCE，
∴CE=BD=2m，
由翻折可得BF=BD=2m，
∵四边形BEPF是平行四边形，
∴PE=BF=2m，
∴CP=CE+PE=2m+2m=4m。
如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=2.5m，
∴DG=BG-BD=2.5m-2m=0.5m，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{(5m)^2-(2.5m)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}m$，
在Rt△AGD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AG^2+DG^2}=\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{2}m)^2+(0.5m)^2}=\sqrt{19}m$，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{\sqrt{19}m}{4m}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，即$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$。
【答案】
22.(1)证明:
∵△ABC 为等边三角形，
BD=CE，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°，
在△ABD 和△BCE 中，
$\begin{cases}BD=CE, \\∠ ABC=∠ C=60°, \\AB=BC,\end{cases}$
∴$△ABD≌△BCE$(SAS)。
(2)①证明:如图，记AD,BE 的交点为K，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AKE = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠CBE = 60°,∠FOD = ∠BAC=60°，
∴∠FOD=∠AKE，
∴FP//BE，
由对折可得 AF = AD，∠ABD = ∠ABF=60°，
∵∠C=60°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF//AC，
∴四边形 BEPF 是平行四边形。
②
∵△ABC 为等边三角形；
∴设AB=BC=AC=5 m，
∵$BD=\frac{2}{5}BC$，
∴设BD=2m,CD=3m，
∵$△ABD≌△BCE$，
∴CE=BD=2m，
由对折可得 BF=BD=2m，
∵四边形 BEPF 是平行四边形，
∴PE=BF=2m，
∴CP=4m。
如图，过点A 作AG⊥BC 于点G，
而AB=AC=BC=5m，
∴BG=CG=2.5m，
∴DG=0.5m,$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}m$，
∴$AD=\sqrt{AG^2+DG^2}=\sqrt{19}m$，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{\sqrt{19}m}{4m}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，
∴$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，围绕等边三角形展开，依次考查了全等证明、平行四边形判定和线段数量关系求解，解题时要灵活运用翻折的性质转化边角关系，求线段比值时设参数的方法可大幅简化计算，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
