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6. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ADC$的平分线$DE$交$BC$于点$E$.若$AB=11$,$BE=4$,则$AD$的长为 （
A.15
B.11
C.20
D.52
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
A
）A.15
B.11
C.20
D.52
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的关系与平行关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出等腰三角形，求出CE的长度，最后根据BC=BE+CE得到BC的长度，也就得到了和BC相等的AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，CD=AB=11，
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴△CDE为等腰三角形，EC=CD=11，
又
∵BE=4，
∴BC=BE+EC=4+11=15，
∴AD=BC=15。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是结合平行、角平分线两个条件推导等腰三角形，进而求出对应边长，这类题型是平行四边形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的关系与平行关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导出等腰三角形，求出CE的长度，最后根据BC=BE+CE得到BC的长度，也就得到了和BC相等的AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，CD=AB=11，
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等），
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴△CDE为等腰三角形，EC=CD=11，
又
∵BE=4，
∴BC=BE+EC=4+11=15，
∴AD=BC=15。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是结合平行、角平分线两个条件推导等腰三角形，进而求出对应边长，这类题型是平行四边形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥ BC$于点$E$,$AF⊥ CD$于点$F$.若$AE=4$,$AF=6$,且$□ ABCD$的周长为$40$,则$□ ABCD$的面积为（
A.$48$
B.$36$
C.$40$
D.$24$
A
）A.$48$
B.$36$
C.$40$
D.$24$
答案
7.A
解析
【分析】
要计算平行四边形的面积，已知两条高的长度，我们可以先结合周长条件求出平行四边形的底边长。首先根据平行四边形周长求出邻边之和，再利用平行四边形面积的两种不同表示方法（底×对应高）建立等量关系，列方程求出其中一条底的长度，最后计算面积即可。
【解析】
∵ 平行四边形ABCD的周长为40
∴ 2(BC + CD) = 40，即$BC + CD = 20$
设BC的长为$x$，则CD的长为$20-x$
∵ 平行四边形的面积 = 底×对应高，$AE⊥BC$，$AF⊥CD$
∴ $S_{▱ABCD} = BC·AE = CD·AF$
代入$AE=4$，$AF=6$得：
$4x = 6(20 - x)$
展开：$4x = 120 - 6x$
移项合并同类项：$10x = 120$
解得：$x = 12$
则平行四边形面积为$12×4=48$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，等面积法，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行四边形面积计算的典型题，核心是利用平行四边形面积的两种表示形式构造等量关系，结合周长条件求解，熟练掌握等面积法在几何计算中的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
要计算平行四边形的面积，已知两条高的长度，我们可以先结合周长条件求出平行四边形的底边长。首先根据平行四边形周长求出邻边之和，再利用平行四边形面积的两种不同表示方法（底×对应高）建立等量关系，列方程求出其中一条底的长度，最后计算面积即可。
【解析】
∵ 平行四边形ABCD的周长为40
∴ 2(BC + CD) = 40，即$BC + CD = 20$
设BC的长为$x$，则CD的长为$20-x$
∵ 平行四边形的面积 = 底×对应高，$AE⊥BC$，$AF⊥CD$
∴ $S_{▱ABCD} = BC·AE = CD·AF$
代入$AE=4$，$AF=6$得：
$4x = 6(20 - x)$
展开：$4x = 120 - 6x$
移项合并同类项：$10x = 120$
解得：$x = 12$
则平行四边形面积为$12×4=48$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，等面积法，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行四边形面积计算的典型题，核心是利用平行四边形面积的两种表示形式构造等量关系，结合周长条件求解，熟练掌握等面积法在几何计算中的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，$∠ ABC=60°$，以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$BC$于点$E$，则$EC$的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先根据作弧的规则得到AE与AB的长度相等，再结合∠ABC=60°可判定△ABE是等边三角形，从而求出BE的长度，最后用BC的长度减去BE的长度即可得到EC的长。
【解析】
连接AE，
∵ 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，
∴ AE = AB = 3，
又
∵ ∠ABC = 60°，
∴ △ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BE = AB = 3，
∵ BC = 5，
∴ EC = BC - BE = 5 - 3 = 2。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是结合圆的半径相等的性质，判断出△ABE为等边三角形，进而求出BE的长度，整体计算量小，只要熟练掌握相关基础概念即可解答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据作弧的规则得到AE与AB的长度相等，再结合∠ABC=60°可判定△ABE是等边三角形，从而求出BE的长度，最后用BC的长度减去BE的长度即可得到EC的长。
【解析】
连接AE，
∵ 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，
∴ AE = AB = 3，
又
∵ ∠ABC = 60°，
∴ △ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BE = AB = 3，
∵ BC = 5，
∴ EC = BC - BE = 5 - 3 = 2。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质；等边三角形的判定；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是结合圆的半径相等的性质，判断出△ABE为等边三角形，进而求出BE的长度，整体计算量小，只要熟练掌握相关基础概念即可解答。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB。若AB=4，AC=6，则BD的长为（
A.10
B.5
C.$2\sqrt{5}$
D.2
A
）A.10
B.5
C.$2\sqrt{5}$
D.2
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可以先求出AO的长度；已知AC⊥AB，说明△OAB是直角三角形，结合给出的AB长度，用勾股定理即可算出OB的长度，最后根据BD=2OB就能得到BD的总长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$BD=2OB$
已知$AC=6$，
∴$OA=\frac{1}{2}×6=3$
又
∵$AC⊥AB$，
∴$∠OAB=90°$，△OAB是直角三角形
在$Rt△OAB$中，$AB=4$，$OA=3$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
∴$BD=2OB=2×5=10$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质转化线段长度，再结合直角三角形的勾股定理求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可以先求出AO的长度；已知AC⊥AB，说明△OAB是直角三角形，结合给出的AB长度，用勾股定理即可算出OB的长度，最后根据BD=2OB就能得到BD的总长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$BD=2OB$
已知$AC=6$，
∴$OA=\frac{1}{2}×6=3$
又
∵$AC⊥AB$，
∴$∠OAB=90°$，△OAB是直角三角形
在$Rt△OAB$中，$AB=4$，$OA=3$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
∴$BD=2OB=2×5=10$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质转化线段长度，再结合直角三角形的勾股定理求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.有下列说法:①平行四边形的对边平行且相等;②两组对边分别平行的四边形是平行四边形;③平行四边形的对角相等;④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形.其中能判定一个四边形是平行四边形的是 (
A.②④
B.②③
C.①④
D.①②③
A
)A.②④
B.②③
C.①④
D.①②③
答案
10.A
解析
【分析】
本题核心是区分平行四边形的性质和判定：性质是已知四边形为平行四边形时得到的边、角特征，判定是通过给出的条件可证明四边形是平行四边形的依据。解题时需逐个分析4个说法，先排除属于性质的表述，再验证剩余表述是否可作为判定依据即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：“平行四边形的对边平行且相等”是平行四边形的性质，是已知四边形为平行四边形后得到的结论，无法用来判定未知四边形是否为平行四边形，不符合要求；
2. 说法②：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是平行四边形的定义判定，属于判定定理，满足该条件的四边形一定是平行四边形，符合要求；
3. 说法③：“平行四边形的对角相等”是平行四边形的性质，不是判定依据，无法用来判定四边形是否为平行四边形，不符合要求；
4. 说法④：“一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形”可推导证明：假设四边形ABCD中AB//CD，∠A=∠C，由AB//CD得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C可推出∠C+∠D=180°，即AD//BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此该表述可作为判定依据，符合要求。
综上，能判定四边形是平行四边形的是②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题易错点是混淆平行四边形的性质和判定，解题时要注意：只有可以通过给定条件推出四边形是平行四边形的表述，才属于判定依据，不能将性质直接当作判定使用。
【难度系数】
0.7
本题核心是区分平行四边形的性质和判定：性质是已知四边形为平行四边形时得到的边、角特征，判定是通过给出的条件可证明四边形是平行四边形的依据。解题时需逐个分析4个说法，先排除属于性质的表述，再验证剩余表述是否可作为判定依据即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：“平行四边形的对边平行且相等”是平行四边形的性质，是已知四边形为平行四边形后得到的结论，无法用来判定未知四边形是否为平行四边形，不符合要求；
2. 说法②：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是平行四边形的定义判定，属于判定定理，满足该条件的四边形一定是平行四边形，符合要求；
3. 说法③：“平行四边形的对角相等”是平行四边形的性质，不是判定依据，无法用来判定四边形是否为平行四边形，不符合要求；
4. 说法④：“一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形”可推导证明：假设四边形ABCD中AB//CD，∠A=∠C，由AB//CD得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C可推出∠C+∠D=180°，即AD//BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此该表述可作为判定依据，符合要求。
综上，能判定四边形是平行四边形的是②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题易错点是混淆平行四边形的性质和判定，解题时要注意：只有可以通过给定条件推出四边形是平行四边形的表述，才属于判定依据，不能将性质直接当作判定使用。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$□ ABCD$中，过AC上的点O作$MN// AB$，$PQ// AD$，M，N，P，Q均在平行四边形的边上，且$CN = 3BN$，$S_{△ CON}=9$，则四边形DMOQ的面积为
（第11题图）
（第12题图）
6
。（第11题图）（第12题图）
答案
11.6
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行的性质，结合已知的两组平行线，判断出图中存在四个小平行四边形；再根据同高的三角形面积比等于底边长的比，由CN=3BN和$S_{△CON}=9$求出△BON的面积；接着利用平行四边形对角线平分面积的性质，算出平行四边形PBNO的面积；最后根据AC平分大平行四边形的面积，减去两组对应小三角形的面积，即可推出四边形DMOQ和PBNO面积相等，得到最终结果。
【解析】
1. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AB// CD$，$AD// BC$，结合$MN// AB$，$PQ// AD$，可得$MN// CD$，$PQ// BC$，因此四边形$APOM$、$PBNO$、$ONCQ$、$DMOQ$均为平行四边形。
2. $△CON$和$△BON$同高（从点$O$到$BC$的垂线段为公共高），且$CN=3BN$，因此面积比等于底的比：$S_{△CON}:S_{△BON}=CN:BN=3:1$。
已知$S_{△CON}=9$，代入得$9:S_{△BON}=3:1$，解得$S_{△BON}=3$。
3. $OB$是平行四边形$PBNO$的对角线，平行四边形对角线平分其面积，因此$S_{平行四边形PBNO}=2S_{△BON}=2×3=6$。
4. $AC$是平行四边形$ABCD$的对角线，故$S_{△ABC}=S_{△ADC}$；$AO$是平行四边形$APOM$的对角线，故$S_{△AOP}=S_{△AOM}$；$OC$是平行四边形$ONCQ$的对角线，故$S_{△CON}=S_{△COQ}$。
因此$S_{△ABC}-S_{△AOP}-S_{△CON}=S_{△ADC}-S_{△AOM}-S_{△COQ}$，即$S_{平行四边形PBNO}=S_{四边形DMOQ}=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题重点考查平行四边形的性质和面积的等积变换，解题的关键是梳理清楚图形中各三角形、小平行四边形的面积关系，不需要复杂计算，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行的性质，结合已知的两组平行线，判断出图中存在四个小平行四边形；再根据同高的三角形面积比等于底边长的比，由CN=3BN和$S_{△CON}=9$求出△BON的面积；接着利用平行四边形对角线平分面积的性质，算出平行四边形PBNO的面积；最后根据AC平分大平行四边形的面积，减去两组对应小三角形的面积，即可推出四边形DMOQ和PBNO面积相等，得到最终结果。
【解析】
1. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AB// CD$，$AD// BC$，结合$MN// AB$，$PQ// AD$，可得$MN// CD$，$PQ// BC$，因此四边形$APOM$、$PBNO$、$ONCQ$、$DMOQ$均为平行四边形。
2. $△CON$和$△BON$同高（从点$O$到$BC$的垂线段为公共高），且$CN=3BN$，因此面积比等于底的比：$S_{△CON}:S_{△BON}=CN:BN=3:1$。
已知$S_{△CON}=9$，代入得$9:S_{△BON}=3:1$，解得$S_{△BON}=3$。
3. $OB$是平行四边形$PBNO$的对角线，平行四边形对角线平分其面积，因此$S_{平行四边形PBNO}=2S_{△BON}=2×3=6$。
4. $AC$是平行四边形$ABCD$的对角线，故$S_{△ABC}=S_{△ADC}$；$AO$是平行四边形$APOM$的对角线，故$S_{△AOP}=S_{△AOM}$；$OC$是平行四边形$ONCQ$的对角线，故$S_{△CON}=S_{△COQ}$。
因此$S_{△ABC}-S_{△AOP}-S_{△CON}=S_{△ADC}-S_{△AOM}-S_{△COQ}$，即$S_{平行四边形PBNO}=S_{四边形DMOQ}=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题重点考查平行四边形的性质和面积的等积变换，解题的关键是梳理清楚图形中各三角形、小平行四边形的面积关系，不需要复杂计算，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$□ ABCD$中，$AD=8$，$∠ BAD$的平分线与$DC$的延长线交于点$E$，与$BC$交于点$F$，且$F$为边$BC$的中点，过点$C$作$CG⊥ AE$，垂足为$G$。若$CG=2$，则$AE$的长为________。
答案
12.$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义得到角的等量关系，推导出等腰三角形；再根据F是BC中点，证明△ABF和△ECF全等，得到AF=EF，可知AE=2EF；最后利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出EF的长度，即可得到AE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，AD=BC=8，
∵F为BC的中点，
∴$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=4，
∵AB//DE，
∴∠BAF=∠E，
在△ABF和△ECF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAF=∠ E\\ ∠ AFB=∠ EFC\\ BF=CF\end{array} $
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴AF=EF，CE=AB=4，
∴CE=CF=4，即△CEF为等腰三角形，
∵CG⊥AE，根据等腰三角形三线合一，G为EF的中点，
在Rt△CGF中，CF=4，CG=2，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{CF^2-CG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴EF=2GF=$4\sqrt{3}$，
∴AE=AF+EF=2EF=$2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是结合平行线和角平分线的性质推导等腰三角形，再通过全等三角形得到线段的等量关系，最后利用勾股定理计算所求线段长度，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义得到角的等量关系，推导出等腰三角形；再根据F是BC中点，证明△ABF和△ECF全等，得到AF=EF，可知AE=2EF；最后利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出EF的长度，即可得到AE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，AD=BC=8，
∵F为BC的中点，
∴$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=4，
∵AB//DE，
∴∠BAF=∠E，
在△ABF和△ECF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAF=∠ E\\ ∠ AFB=∠ EFC\\ BF=CF\end{array} $
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴AF=EF，CE=AB=4，
∴CE=CF=4，即△CEF为等腰三角形，
∵CG⊥AE，根据等腰三角形三线合一，G为EF的中点，
在Rt△CGF中，CF=4，CG=2，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{CF^2-CG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴EF=2GF=$4\sqrt{3}$，
∴AE=AF+EF=2EF=$2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是结合平行线和角平分线的性质推导等腰三角形，再通过全等三角形得到线段的等量关系，最后利用勾股定理计算所求线段长度，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
